2021年山东省淄博市高青县中考数学一模试卷

2021年山东省淄博市高青县中考数学一模试卷

一、选择题（本题有12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不得分）

1．（5分）下列各式中，计算结果为的是　　

A． B． C． D．

2．（5分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是　　

A． B． 

C． D．

3．（5分）一组数据共100个，分为6组，第组的频数分别为10，14，16，20，第5组的频率为0.20，则第6组的频数为　　

A．20 B．22 C．24 D．30

4．（5分）如图，直线，点在直线上，下列结论正确的是　　

A． B． 

C． D．

5．（5分）下列计算正确的是　　

A． B． 

C． D．

6．（5分）如图是课本上介绍的一种科学计算器，用该计算器依次按键：，显示的结果在哪两个相邻整数之间　　

A． B． C． D．

7．（5分）如图，中，边，的垂直平分线相交于点．以下结论：①；②；③；④．一定正确的有　　

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

8．（5分）已知，则的值为　　

A．5 B．6 C．7 D．8

9．（5分）如图，曲线是由函数在第一象限内的图象绕坐标原点逆时针旋转得到的，过点，，，的直线与曲线相交于点、，则的面积为　　

A．2 B．3 C．4 D．5

10．（5分）如图①，的边与矩形的边都在直线上，且点与点重合，，将沿着射线方向移动至点与点重合时停止，设与矩形重叠部分的面积是，的长度为，与之间的关系图象如图②所示，则矩形的周长为　　

A．14 B．12 C．10 D．7

11．（5分）如图，正方形边长为2，从各边往外作等边三角形、、、，则四边形的周长为　　

A． B． C． D．

12．（5分）如图，圆心为M的量角器的直径的两个端点A，B分别在x轴正半轴，y轴正半轴上（包括原点O），AB＝4．点P，Q分别在量角器60°，120°刻度线外端，连接MP．量角器从点A与点O重合滑动至点Q与点O重合的过程中，线段MP扫过的面积为（　　）

A． B． C．3 D．

二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）

13．（4分）若，则的立方根是　　．

14．（4分）如图，将直角三角形沿方向平移后，得到直角三角形．已知，，，则阴影部分的面积为　　．

15．（4分）已知一元二次方程的两根为，，则代数式的值为　　．

16．（4分）如图，正方形的边长为，在、、、边上分别取点、、、，使，在边、、、上分别取点、、、，使，．依次规律继续下去，则正方形的面积为　　．

17．（4分）如图，在中，是边的中点，连接，把沿翻折，得到，联结．若，，则点到的距离为　　．

三、解答题（共7小题，共70分）

18．（8分）先化简，再求值：，并在2，3，，4这四个数中取一个合适的数作为的值代入求值．

19．（8分）如图，点、分别在、上，分别交、于点、，，．

（1）求证：四边形是平行四边形；

（2）已知，连接，若平分，求的长．

20．（10分）某校学生会向全校3000名学生发起了“爱心捐助”捐款活动，为了解捐款情况，学生会随机调查了部分学生的捐款金额，并用得到的数据绘制了如图所示的统计图

请根据相关信息，解答下列问题：

（1）本次接受随机调查的学生人数为　　，图1中的值是　　．

（2）求本次调查获取的样本数据的平均数、众数和中位数；

（3）根据样本数据，估计该校本次活动捐款金额为10元的学生人数．

21．（10分）如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，点，，的坐标分别为，，．反比例函数的函数图象经过点，点是反比例函数上一动点，直线的解析式为：．

（1）求反比例函数的解析式；

（2）对于一次函数，当随的增大而增大时，直接写出点的横坐标的取值范围．

22．（10分）为了维护国家主权和海洋权益，海监部门对我领海实施常态化巡航管理．如图，一艘正在执行巡航任务的海监船接到固定监测点处的值守人员报告；在处南偏东方向上，距离处14海里的处有一可疑船只滞留，海监船以每小时28海里的速度向正东方向航行，在处测得监测点在其北偏东方向上，继续航行半小时到达了处，此时测得监测点在其北偏东方向上．

（1）、两处间的距离为　　海里；如果联结图中的、两点，那么是　　三角形；如果海监船保持原航向继续航行，那么它　　填“能”或“不能” 到达处；

（2）如果监测点处周围12海里内有暗礁，那么海监船继续向正东方向航行是否安全？

23．（12分）如图，正方形中，，是边的中点，点是正方形内一动点，，连接，将线段绕点逆时针旋转得，连接，．

（1）求证：；

（2）若，，三点共线，连接，求线段的长．

（3）求线段长的最小值．

24．（12分）如图，已知二次函数经过，两点，轴于点，且点，，．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点是线段上一动点（不与，重合），过点作轴的垂线，交抛物线于点，当线段的长度最大时，求点的坐标及；

（3）点是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在这样的点，使成为直角三角形？若存在，求出所有点的坐标；若不存在，请说明理由．

2021年山东省淄博市高青县中考数学一模试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本题有12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不得分）

1．（5分）下列各式中，计算结果为的是　　

A． B． C． D．

【解答】解：、，不符合题意；

、，符合题意；

、，不符合题意；

、，不符合题意；

故选：．

2．（5分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是　　

A． B． 

C． D．

【解答】解：．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；

．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；

．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；

．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意．

故选：．

3．（5分）一组数据共100个，分为6组，第组的频数分别为10，14，16，20，第5组的频率为0.20，则第6组的频数为　　

A．20 B．22 C．24 D．30

【解答】解：一组数据共100个，第5组的频率为0.20，

第5组的频数是：，

一组数据共100个，分为6组，第组的频数分别为10，14，16，20，

第6组的频数为：．

故选：．

4．（5分）如图，直线，点在直线上，下列结论正确的是　　

A． B． 

C． D．

【解答】解：，

，

，

，

，

，

故选：．

5．（5分）下列计算正确的是　　

A． B． 

C． D．

【解答】解：，故本选项不符合题意；

．，故本选项不符合题意；

．，故本选项符合题意；

．，故本选项不符合题意；

故选：．

6．（5分）如图是课本上介绍的一种科学计算器，用该计算器依次按键：，显示的结果在哪两个相邻整数之间　　

A． B． C． D．

【解答】解：使用计算器计算得，

，

故选：．

7．（5分）如图，中，边，的垂直平分线相交于点．以下结论：①；②；③；④．一定正确的有　　

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【解答】解：边、的垂直平分线交于点，

，，

，①正确；

，，

，，

，

，故②错误；

同理：，故④正确；

，

，

，

，

；③正确；

故选：．

8．（5分）已知，则的值为　　

A．5 B．6 C．7 D．8

【解答】解：，

，即，

则，

故选：．

9．（5分）如图，曲线是由函数在第一象限内的图象绕坐标原点逆时针旋转得到的，过点，，，的直线与曲线相交于点、，则的面积为　　

A．2 B．3 C．4 D．5

【解答】解：，，，，

．

建立如图新的坐标系，为轴，为轴．

在新的坐标系中，，，

直线解析式为，

由，解得或，

，，

，

故选：．

10．（5分）如图①，的边与矩形的边都在直线上，且点与点重合，，将沿着射线方向移动至点与点重合时停止，设与矩形重叠部分的面积是，的长度为，与之间的关系图象如图②所示，则矩形的周长为　　

A．14 B．12 C．10 D．7

【解答】解：从图②看，向右平移2个单位时，两个图形完全重合，故，

由图②知，点运动到点时，，

，

再向右平移3个单位时，点、重合，故，

故矩形的周长为，

故选：．

11．（5分）如图，正方形边长为2，从各边往外作等边三角形、、、，则四边形的周长为　　

A． B． C． D．

【解答】解：连接，那么等腰三角形顶角，

等腰三角形顶角

又，所以，

．

同理，设中点为，连，可得为直角三角形，

，，由勾股定理得．

四边形的周长为：．

故选：．

12．（5分）如图，圆心为M的量角器的直径的两个端点A，B分别在x轴正半轴，y轴正半轴上（包括原点O），AB＝4．点P，Q分别在量角器60°，120°刻度线外端，连接MP．量角器从点A与点O重合滑动至点Q与点O重合的过程中，线段MP扫过的面积为（　　）

A． B． C．3 D．

【解答】解：由题意可知，点M的运动轨迹是以O为圆心，2为半径，圆心角为60°的扇形，

点P在第四象限内时，∠AOP是弧AP所对的圆周角，所以∠AOP＝30°，

点P在第二象限内时，∠BOP是弧BP所对的圆周角，所以∠BOP＝60°，所以点P的运动路径是一条线段，

当量角器从点A与O重合滑动至点Q与点O重合时，MP扫过的图形是如图所示的阴影部分，

它是由两个边长为2的等边三角形与一个扇形组成，所以PM扫过的面积为：

+2××22＝．

故选：D．

二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）

13．（4分）若，则的立方根是　　．

【解答】解：由题意得，，，

解得，，

所以，，

所以，的立方根是．

故答案为：．

14．（4分）如图，将直角三角形沿方向平移后，得到直角三角形．已知，，，则阴影部分的面积为　51　．

【解答】解：由平移的性质知，，，

为和的公共部分，

，

，

是梯形的高；

，

．

故答案为：51．

15．（4分）已知一元二次方程的两根为，，则代数式的值为　13　．

【解答】解：一元二次方程的两根为，，

，，

则原式

，

故答案为：13．

16．（4分）如图，正方形的边长为，在、、、边上分别取点、、、，使，在边、、、上分别取点、、、，使，．依次规律继续下去，则正方形的面积为　　．

【解答】解：在△中，由勾股定理可知；，即正方形的面积；

在△中，由勾股定理可知：；即正方形的面积

正方形的面积．

故答案为：．

17．（4分）如图，在中，是边的中点，连接，把沿翻折，得到，联结．若，，则点到的距离为　　．

【解答】解：如图，连接，交于点，过点作于点，

，是边上的中点，

，

由翻折知，，垂直平分，

，，，

，

为等边三角形，

，

，

，

在△中，

，，

，，

，

在中，

，

，

，

，

点到的距离为．

故答案为：．

三、解答题（共7小题，共70分）

18．（8分）先化简，再求值：，并在2，3，，4这四个数中取一个合适的数作为的值代入求值．

【解答】解：原式

，

且，

，

则原式

．

19．（8分）如图，点、分别在、上，分别交、于点、，，．

（1）求证：四边形是平行四边形；

（2）已知，连接，若平分，求的长．

【解答】（1）证明：，

，

，

又，

，

，

四边形是平行四边形；

（2）解：平分，

，

，

，

，

，

又，

．

20．（10分）某校学生会向全校3000名学生发起了“爱心捐助”捐款活动，为了解捐款情况，学生会随机调查了部分学生的捐款金额，并用得到的数据绘制了如图所示的统计图

请根据相关信息，解答下列问题：

（1）本次接受随机调查的学生人数为　50人　，图1中的值是　　．

（2）求本次调查获取的样本数据的平均数、众数和中位数；

（3）根据样本数据，估计该校本次活动捐款金额为10元的学生人数．

【解答】解：（1）本次接受随机调查的学生人数为（人，

，即，

故答案为：50人，32；

（2）本次调查获取的样本数据的平均数是：（元，

本次调查获取的样本数据的众数是：10元，

本次调查获取的样本数据的中位数是：15元；

（3）估计该校本次活动捐款金额为10元的学生人数为（人．

21．（10分）如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，点，，的坐标分别为，，．反比例函数的函数图象经过点，点是反比例函数上一动点，直线的解析式为：．

（1）求反比例函数的解析式；

（2）对于一次函数，当随的增大而增大时，直接写出点的横坐标的取值范围．

【解答】解：（1），，

轴，，

又四边形是平行四边形，，

，

又点在反比例函数的图象上，

，

反比例函数的关系式为；

（2）如图，过作轴、轴的平行线，交双曲线于点、，

，

当时，，当时，，

，，，

当点在、之间的双曲线上时，直线，即直线，随的增大而增大，

点的横坐标的取值范围为．

22．（10分）为了维护国家主权和海洋权益，海监部门对我领海实施常态化巡航管理．如图，一艘正在执行巡航任务的海监船接到固定监测点处的值守人员报告；在处南偏东方向上，距离处14海里的处有一可疑船只滞留，海监船以每小时28海里的速度向正东方向航行，在处测得监测点在其北偏东方向上，继续航行半小时到达了处，此时测得监测点在其北偏东方向上．

（1）、两处间的距离为　14　海里；如果联结图中的、两点，那么是　　三角形；如果海监船保持原航向继续航行，那么它　　填“能”或“不能” 到达处；

（2）如果监测点处周围12海里内有暗礁，那么海监船继续向正东方向航行是否安全？

【解答】解：（1）如图1所示：

由题意得：（海里），，，

，，

（海里），

，

，

，

，

是等边三角形，

，

，

、、三点共线，

如果海监船保持原航向继续航行，那么它到达处，

故答案为：14，等边，能；

（2）过点作于，如图2所示：

由（1）得：，

在中，，

，

海监船继续向正东方向航行是安全的．

23．（12分）如图，正方形中，，是边的中点，点是正方形内一动点，，连接，将线段绕点逆时针旋转得，连接，．

（1）求证：；

（2）若，，三点共线，连接，求线段的长．

（3）求线段长的最小值．

【解答】（1）证明：如图1，由旋转得：，，

四边形是正方形，

，，

，

即，

，

在和中，

，

，

；

（2）解：如图2，过作的垂线，交的延长线于，

是的中点，且，

，，三点共线，

，

由勾股定理得：，

，

，

由（1）知：，

，，

，

，

，

，

，

，

设，则，

由勾股定理得：，

或（舍，

，，

由勾股定理得：，

（3）解：如图3，由于，所以点可以看作是以为圆心，2为半径的半圆上运动，

延长到点，使得，连接，

，，

，

，

当最小时，为、、三点共线，

，

，

的最小值是．

24．（12分）如图，已知二次函数经过，两点，轴于点，且点，，．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点是线段上一动点（不与，重合），过点作轴的垂线，交抛物线于点，当线段的长度最大时，求点的坐标及；

（3）点是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在这样的点，使成为直角三角形？若存在，求出所有点的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）点，，

，，

，

，

把和代入二次函数中得：

，解得：，

二次函数的解析式为：；

（2）如图1，直线经过点，，

设直线的解析式为，

，解得：，

直线的解析式为：，

二次函数，

设点，则，

，

当时，的最大值为，

点的坐标为，，

．

（3）存在，

，

设，

分三种情况：

①以点为直角顶点时，由勾股定理得：，

，

解得：，

；

②以点为直角顶点时，由勾股定理得：，

，

解得：，

；

③以点为直角顶点时，由勾股定理得：，

，

解得：或，

或；

综上，点的坐标为或或或．