2023年山东省淄博市高青县中考数学二模试卷（含解析）

2023年山东省淄博市高青县中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  如图几何体的三视图是(    )

A.  B.
C.  D.

2.  如图，一个含有角的直角三角尺的两个顶点放在直尺的对边上如果，那么的度数是(    )
 

A.  B.  C.  D.

3.  如图，放在水平桌面上，已调节平衡的天平左、右两个盘里，分别放入甲、乙两个实心正方体，天平仍然保持平衡，下列比较甲、乙的质量和，密度和大小关系正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  某男子足球队队员的年龄分布如图所示，这些队员年龄的众数和中位数是(    )

A. 岁和岁 B. 岁和岁 C. 岁和岁 D. 岁和岁

5.  若的整数部分为，则的算术平方根的值最接近整数(    )

A.  B.  C.  D.

6.  主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好若舞台长米，主持人从舞台一侧进入，设他至少走米时恰好站在舞台的黄金分割点上长为，则满足的方程是(    )

A.  B.  C.  D. 以上都不对

7.  已知，关于的一元二次方程的解为，，则下列结论正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

8.  如图，在由边长为的小正方形组成的网格图中，一段圆弧经过格点，，，的延长线经过格点，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

9.  如图，在中，，是的中点，，，则等于(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，正方形的顶点在轴上，点，点在反比例函数图象上．若直线的函数表达式为，则反比例函数表达式为(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共5小题，共20.0分）

11.  如图，在长为米，宽为米的长方形地块上，有纵横交错的几条小路，宽均为米，其它部分均种植花草，则种植花草的面积        平方米．

12.  定义一种新运算：对于任意非零实数，，，若，则的值为        ．

13.  公元世纪初，中国古代数学家赵爽注周髀算经时，创造了“赵爽弦图”如图，设勾，弦，则小正方形的面积是______．

 

14.  边长为的正方形的顶点在轴的正半轴上，如图将正方形绕顶点顺时针旋转得正方形，使点恰好落在函数的图象上，则的值为______．

15.  如图，点为等边三角形外一点，连接、且，过点作分别交、于点、，若，，则线段的长______．

三、解答题（本大题共8小题，共90.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
解不等式组，并求它的整数解．

17.  本小题分
如图，在中，，，点是线段上任意一点，连接，作，交线段于点．
若，求的度数；
若，求证：≌．

18.  本小题分
如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和，点的纵坐标是，点在轴上，且点的横坐标是．
求一次函数和反比例函数的解析式；
根据图象直接写出当时，的取值范围；
求的面积．

19.  本小题分
春季开学后，某校为了让学生有效应用压岁钱，开展有意义的“尊老、敬老”慈善捐款活动，将捐款捐赠给本市敬老院学生会为了了解学生捐款的情况，随机调查了该校部分学生，根据调查结果，绘制了两幅不完整的统计图请根据相关信息，解答下列问题：

本次调查的学生人数为        人，在扇形统计图中，捐款金额为元所在扇形的圆心角的度数是        度，在调查的这组学生中，捐款金额的中位数是        元；
补全条形统计图；
学生会为了更好地引导学生合理支配压岁钱，选出甲，乙，丙和丁四人从不同的方面在全校进行讲解，但由于时间的限定，临时调整只能两人讲解因此，学生会采用随机抽签的方式从甲，乙，丙和丁四人中确定两名讲解人选请用列表或画树状图的方式说明抽中甲和乙的概率是多少？

20.  本小题分
某汽车网站对两款价格相同，续航里程相同的汽车做了一次评测，一款为燃油车，另一款为纯电新能源车得到相关数据如下：

设两款车的续航里程均为千米，请用含的代数式表示燃油车和纯电新能源车的每千米行驶费用；
若燃油车每千米行驶费用比纯电新能源车多元．
请分别求出这两款车的每千米行驶费用；
若燃油车和纯电新能源车每年的其它费用分别为元和元问：每年行驶里程超过多少千米时，新能源车的年费用更低？年费用年行驶费用年其它费用
 

21.  本小题分
综合与探究
问题提出：某兴趣小组在综合与实践活动中提出这样一个问题：在等腰直角三角板中，，，为的中点，用两根小木棒构建角，将顶点放置于点上，得到，将绕点旋转，射线，分别与边，交于，两点，如图所示．

操作发现：如图，当，分别是，的中点时，试猜想线段与的数量关系是        ；
类比探究：如图，当，不是，的中点，但满足时，求证≌；
拓展应用：如图，将两根小木棒构建的角，放置于边长为的正方形纸板上，顶点和正方形对角线的中点重合，射线，分别与，交于，两点，且满足，请求出四边形的面积．

22.  本小题分
如图，内接于，为的直径，点是弧的中点，交于，交于，．
求证：是的切线；
求证：；
若，，求的长．

23.  本小题分
如图，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，抛物线的对称轴为直线，且连接，点是线段上一点不与点、重合，过点作轴的垂线，交于点，交抛物线于点．
求抛物线的表达式；
当线段最大时，求点的坐标；
连接，以、、为顶点的三角形是否能够与相似？若能，请求出点的坐标；若不能，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：该几何体的三视图是：

故选：．
根据三视图的定义画出图形即可．
本题考查了简单组合体的三视图，解题的关键是理解三视图的定义，属于中考常考题型．
 

2.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查的是平行线的性质以及直角三角形的性质．本题关键是根据平行线的性质找出图中角度之间的关系．
根据平行线的性质即可求解．
【解答】
解：如图所示，

，
两直线平行，内错角相等，
，
，
，
，
故选：．  

3.【答案】 

【解析】解：由图可知，在已调节平衡的天平左右两个盘里，分别放入甲乙两个实心物体，天平仍然保持平衡，说明甲乙两个实心物体质量相等，由于甲的体积大于乙的体积，根据密度公式可知，甲的密度小于乙的密度，即．
故选：．
天平仍然保持平衡，且游码未移动，说明甲乙两个实心物体质量相等，根据密度公式，可求甲的密度与乙的密度关系．
本题考查了不等式的性质及认识立体图形，密度计算公式的应用，掌握公式是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：根据图示可得，岁的队员人数最多，
故众数为岁，
根据图示可得，共有人数：人，
故第和名队员年龄的平均值为中位数，
即中位数为：岁．
故选：．
根据众数和中位数的概念求解．
本题考查了众数和中位数的知识，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
 

5.【答案】 

【解析】解：，
，
的整数部分为，
，
的算术平方根为，
，
，
，
的值最接近整数，
故选：．
先估算出的值的范围，从而求出的值，然后再估算出的值的范围，即可解答．
本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握完全平方数是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：由题意知，点是的黄金分割点，且，米，则米，
，
，
故选：．
点是的黄金分割点，且，米，则米，即可求解．
本题考查了黄金分割，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：二次函数的图象如图所示：
它与轴的交点坐标为，，
关于的一元二次方程的解为，，可以看作是直线与二次函数交点的横坐标，
由图象可知，；
，
故选：．
可以将关于的方程的解为，看作直线与二次函数交点的横坐标，而与轴交点坐标可以通过二次函数的关系式求得，结合图象可以求出与的取值范围，进而做出判断．
本题主要考查了抛物线与轴的交点，根的判别式以及根与系数的关系，理清一元二次方程与二次函数的关系，将的方程的解为，的问题转化为二次函数与轴交点的横坐标，借助图象得出答案．
 

8.【答案】 

【解析】解：如图，连接、，取的中点，连接，

，
为直径，
，，
，
为等腰直角三角形，
，
，
，
的长为
故选：．
找出圆心，根据勾股定理即可求出半径，根据图形得出的度数，根据弧长公式求出即可．
本题考查了勾股定理，垂径定理，弧长公式的应用，主要考查学生的计算能力．
 

9.【答案】 

【解析】解：过作于，
是的中点，
，
，，，
，
，
，
，
，
令，，
，
，
，
．
故选：．
过作于，由锐角的正切求出的长，由勾股定理求出长，由的正切，勾股定理求出长，即可求解．
本题考查解直角三角形，关键是通过作辅助线构造直角三角形．
 

10.【答案】 

【解析】解：在中，令，则，
令，则，
，，
，，
过作轴于，过作轴于，
四边形是正方形，
，，
，
，
在与中，
，
≌，
，，
，，
∽，
，
设，，
，，
，，
点，点在反比例函数图象上，
，
，不合题意舍去，
，
，
反比例函数表达式为，
故选：．
解方程求得，，得到，，过作轴于，过作轴于，根据正方形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，，根据相似三角形的性质得到，设，，根据反比例函数图象上点的坐标特征即可得到结论．
本题考查了反比例函数的综合题，待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：根据题意，小路的面积相当于横向与纵向的两条小路，
种植花草的面积．
答：种植花草的面积是．
可以根据平移的性质，此小路相当于一条横向长为米与一条纵向长为米的小路，种植花草的面积总面积小路的面积小路交叉处的面积，计算即可．
本题考查了图形的平移的性质，把小路进行平移，求出相当面积的小路的面积是解题的关键，要注意小路的交叉处算了两次，这是容易出错的地方．
 

12.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
，
解得：，
经检验是方程的解，
故答案为：．
根据新定义可得，由此建立方程，解方程即可得到的值．
本题考查了新定义下的实数运算，解分式方程，正确理解题意得到关于的方程是解题关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：勾，弦，
股，
小正方形的边长，
小正方形的面积
故答案为．
应用勾股定理和正方形的面积公式可求解．
本题运用了勾股定理和正方形的面积公式，关键是运用了数形结合的数学思想．
 

14.【答案】 

【解析】解：连接，
旋转，
轴正半轴与的夹角为，
，
与轴正半轴夹角为，
过作轴于，
，，
，
，
，
把点坐标代入中得：，
解之得：．
根据题意，求出点坐标代入函数即可解题．
此题主要考查坐标转换问题，先给一个确定的坐标再通过旋转求出旋转以后的坐标，问题就解决了．
 

15.【答案】 

【解析】解：方法一：如图，过点作平行线交于点，

，
四边形是平行四边形，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
四边形是菱形，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
设，则，
是等边三角形，
，
，
，
解得，
，
方法二：如图，连接交于点，

，
，
设，则，
是等边三角形，
，，
，，
是的垂直平分线，
，平分，
，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，，
，，
∽，
，
，
解得，舍去，
．
故答案为：．
方法一：如图，过点作平行线交于点，可得四边形是平行四边形，证明是等边三角形，，然后证明≌，可得，得四边形是菱形，所以，由，设，则，列式可得，进而可以解决问题；
方法二：连接交于点，可得是的垂直平分线，设，则，证明∽，对应边成比例，列出方程求出的值，进而可得的长．
本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是得到∽．
 

16.【答案】解：
解不等式，得：，
解不等式，得：，
不等式组的解集是．
原不等式组的整数解是，，，，． 

【解析】先解出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集，然后写出相应的整数解即可．
本题考查解一元一次不等式组、一元一次不等式组的整数解，熟练掌握解一元一次不等式的方法是解答本题的关键．
 

17.【答案】解：，，
，
，
，
，，
；
证明：，，
，
，
，
≌． 

【解析】直接利用三角形内角和定理可求出；然后根据平角的定义和等腰三角形的性质求出和，再根据三角形内角和定理求出即可；
求出，利用即可证明≌．
此题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定，三角形外角的性质，三角形内角和定理等知识，涉及到的知识点较多，综合性较强，但难度不大，属于基础题．
 

18.【答案】解：反比例函数的图象经过点，
，
反比例函数的解析式是，
点的纵坐标是，且在反比例函数的图象上，
，
一次函数的图象经过点，，
，
解得，
一次函数的解析式是；
观察图象可得当时，的取值范围或；
当时，，则，
直线与轴的交点为，

点的横坐标是，
，
的面积． 

【解析】利用待定系数法即可求得；
根据图象即可求得；
求得直线与轴的交点，然后根据三角形面积公式求得即可．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，函数与不等式的关系，三角形面积，熟知待定系数法是解题的关键．
 

19.【答案】     

【解析】解：捐款金额为元的有人，所占的百分比为，
这次被调查的学生共有：人；
捐款金额为元所在扇形的圆心角的度数是：；
捐款金额的中位数是第、两个数，即元；
故答案为：，，；
捐款金额为元对应人数为：人
捐款金额为元对应人数为：人；
补全条形统计图如图．

解：画树状图得：

共有种等可能的情况，恰好选中甲、乙两位同学的有种，
选中甲、乙．
由捐款金额为元的有人，所占的百分比为，即可求得这次被调查的学生数；用度乘以捐款金额为元所占的百分比，即可求得所占扇形的圆心角；根据中位数的求法可求得捐款金额的中位数；
首先求得捐款金额为元对应人数、捐款金额为元对应人数，即可补全统计图；
首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好选中甲、乙两位同学的情况，再利用概率公式即可求得答案．
本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后根据概率公式求出事件或的概率．也考查了条形统计图与扇形统计图的综合运用．
 

20.【答案】解：燃油车每千米行驶费用为元，纯电新能源车每千米行驶费用为元，
答：燃油车每千米行驶费用为元，纯电新能源车每千米行驶费用为元；
由题意得：，
解得：，
经检验，是分式方程的解，且符合题意，
元，元，
答：燃油车每千米行驶费用为元，纯电新能源车每千米行驶费用为元；
设每年行驶里程为千米时，买新能源车的年费用更低，
由题意得：，
解得：，
答：当每年行驶里程大于千米时，买新能源车的年费用更低． 

【解析】本题考查分式方程的应用、列代数式以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：正确列出代数式；找准等量关系，正确列出分式方程；找出数量关系，正确列出一元一次不等式．
根据表中的信息，可以表示出燃油车和纯电新能源车的每千米行驶费用；
根据燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元和表中的信息，列出分式方程，解方程，即可解决问题；
设每年行驶里程为千米时，由年费用年行驶费用年其它费用，列出一元一次不等式，解不等式即可．
 

21.【答案】相等 

【解析】解：与的数量关系是：相等，理由：
当点、、分别是、、的中点时，
则，且，
同理可得：，
即，
故答案为：相等；

证明：点是的中点，
，，
，
≌；

解：如下图，连接，

由题意知，点是正方形对角线的交点，
，，
，
≌，
和面积相等，
则的面积



．
当点、、分别是、、的中点时，则，且，同理可得：，即可求解；
点是的中点，则，，即可求解；
证明≌，则的面积，即可求解．
本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
 

22.【答案】证明：是的直径，
，
点是弧的中点，
，
，
，，
，
，
是的半径，且，
是的切线．
证明：，
，
，
，
．
解：作于点，
，平分，
，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
的长是． 

【解析】由是的直径，得，由，得，由，，得，所以，即可证明是的切线；
由，，得，则；
作于点，则，由勾股定理得，则，可求得，所以，即可由，求得．
此题重点考查等腰三角形的性质、圆周角定理、切线的判定、同角的余角相等、勾股定理、角平分线的性质、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
 

23.【答案】解：，
，
，
，
，
抛物线的对称轴为直线，点与点关于直线对称，
，
把，，分别代入，
得：，
解得：，
该抛物线的表达式为；
设直线的解析式为，把，分别代入得：，
解得：，
直线的解析式为，
设，且，
则，，
，
，
当时，最大，最大值为，
此时点的坐标为；
以、、为顶点的三角形能够与相似．理由如下：
设，且，则，
又，，
，，，，

当∽时，
，
，即，
解得：或或，
，
或均不符合题意，即当时，∽成立，此时；
当∽时，
，
，即，
解得：或或，
，
或或均不符合题意，即∽不成立；
综上所述，以、、为顶点的三角形当时与相似，此时点的坐标为． 

【解析】根据题意可得：，，，分别代入，即可求得答案；
利用待定系数法可得直线的解析式为，设，且，则，，可得，再运用二次函数性质即可得出答案；
以、、为顶点的三角形当时与相似，此时点的坐标为设，且，则，分两种情况：当∽时，当∽时，分别利用相似三角形性质建立方程求解即可得出答案．
本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，相似三角形的判定和性质等，解题关键是运用分类讨论思想和方程思想思考解决问题．