2023年山东省淄博市周村区中考数学一模试卷（含答案）

2023年山东省淄博市周村区中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列实数中，无理数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列图案，是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  上网搜索“淄博烧烤”，网页显示找到相关结果约个数据用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

5.  化简的结果是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  如图，线段是的直径，，为上两点，如果，，那么的度数是(    )

A.
B.
C.
D.

7.  有一个铁制零件正方体中间挖去一个圆柱形孔如图放置，它的左视图是(    )

A.
B.
C.
D.

8.  每年的月日为“世界读书日”，某学校为了鼓励学生多读书，开展了“书香校园”的活动如图是初三某班班长统计的全班名学生一学期课外图书的阅读量单位：本，则这名学生图书阅读数量的中位数、众数和平均数分别为(    )

A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，

9.  如图，在矩形中，过点作对角线的垂线，垂足为，过点作的垂线交于点，如果，，那么的长是(    )

A.
B.
C.
D.

10.  如图，在平面直角坐标系中，点，都在反比例函数的图象上，且是等边三角形，若，则的值为(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共5小题，共20.0分）

11.  计算：______．

12.  某人连续抛掷一枚质地均匀的硬币次，结果都是正面朝上，则他第次抛掷这枚硬币，正面朝上的概率是______．

13.  如图，在▱中，，的平分线交于点，连接若，则的度数为___．

14.  魏晋时期，数学家刘徽利用如图所示的“青朱出入图”证明了勾股定理，其中四边形、四边形和四边形都是正方形如果图中与的面积比为，那么的值为        ．

15.  如图，为坐标原点，点，，，，在轴的正半轴上，点，，，，在函数位于第一象限的图象上，若，，，，都是等边三角形，则线段的长是______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共90.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
已知，，求下列各式的值：
；
．

17.  本小题分
如图，中，，．
求的长：
是边上的高，请你补全图形，并求的长．

18.  本小题分
已知：如图，在中，是边上的一点，是的中点，过点作的平行线交于的延长线于点，且，连接．
求证：是的中点；
如果，试判断四边形的形状，并证明你的结论．

19.  本小题分
某校组织七年级学生赴社会实践基地开展课外社会实践活动，现有甲、乙两种客车可租，已知辆甲种客车和辆乙种客车共需租金元，辆甲种客车和辆乙种客车共需租金元．
求每辆甲种客车和每辆乙种客车的租金分别是多少元？
学校七年级师生共人，计划租用甲、乙两种客车共辆，已知甲种客车每辆载客人，乙种客车每辆载客人，则租车所需费用最少为多少元？

20.  本小题分
如图，是的弦，为上一点，过点作的垂线与的延长线交于点，连接并延长，与交于点，连接，．
求证：是的切线；
若，，求的长．

21.  本小题分
如图，反比例函数上的一点，其中，过点作轴于点，连接．
已知的面积是，求的值；
将绕点逆时针旋转得到，且点的对应点恰好落在该反比例函数上，求的值．

22.  本小题分
如图，在正方形中，是边上的一点，过点作的垂线交于点，交于点，连接并延长交于点．
求证：；
若，求的度数；
若，，求的面积．

23.  本小题分
抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点，的坐标分别为和，抛物线的对称轴为，直线交抛物线于点．
求抛物线和直线的解析式；
如图Ⅰ，点是线段上一动点，过点作，交于点，连接，求面积的最大值；
如图Ⅱ，直线交轴于点，点，分别是抛物线对称轴和抛物线上的点，若以，，，为顶点的四边形是平行四边形，求点的坐标．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：．，是整数，属于有理数，故本选项不符合题意；
B.是无理数，故本选项符合题意；
C.，是整数，属于有理数，故本选项不符合题意；
D.是分数，属于有理数，故本选项不符合题意．
故选：．
根据无理数的定义判断即可．
本题考查了无理数的定义，无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．
 

2.【答案】 

【解析】解：选项A、、都不能找到这样的一个点，使这些图形绕某一点旋转与原来的图形重合，所以不是中心对称图形；
选项D能找到这样的一个点，使这个图形绕某一点旋转与原来的图形重合，所以是中心对称图形；
故选：．
一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．
 

3.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

4.【答案】 

【解析】解：，故选项A正确；
B.，故选项B错误；
C.与不能合并，故选项C错误；
D.，故选项D错误；
故选：．
分析：根据各个选项中的式子，可以计算出正确的结果，从而可以解答本题．
本题考查积的乘方、同底数幂的乘法、合并同类项、完全平方公式，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．
 

5.【答案】 

【解析】解：；
故选：．
先把分母因式分解，再进行通分，然后分母不变，分子相加，最后约分即可．
此题考查了分式的加减，熟练掌握分式的加减法则是解题的关键，是一道常考题．
 

6.【答案】 

【解析】解：如图，连接，
是直径，
，
，，
，
，
，
故选：．
连接，构造直角三角形，利用已知边的长度结合锐角三角函数的定义求得的度数，最后利用圆周角定理确定的度数即可．
考查了圆周角定理的知识，解题的关键是能够作出半径构造直角三角形，难度不大．
 

7.【答案】 

【解析】解：左边看去是一个正方形，中间有一个圆柱形孔，圆柱的左视图是矩形，所以左视图的正方形里面还要两条虚线．
故选：．
找到从左面看所得到的图形即可．
本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图；注意看到的用实线表示，看不到的用虚线表示．
 

8.【答案】 

【解析】解：由折线统计图得这组数据的中位数为，
众数为，
平均数为．
故选：．
利用折线统计图得到个数据，其中第个数为本，第个数是本，从而得到数据的中位数，再求出众数和平均数．
本题考查了折线统计图：折线图是用一个单位表示一定的数量，根据数量的多少描出各点，然后把各点用线段依次连接起来．以折线的上升或下降来表示统计数量增减变化．也考查了中位数、众数和平均数．
 

9.【答案】 

【解析】解：四边形为矩形，，，
，，，，
在中，，
，
，即，
，
，
在中，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
又，
，
∽，
，即，
．
故选：．
根据矩形的性质可得，，，，由勾股定理可求出，由面积法求出，再根据勾股定理求得，因此，由同角的余角相等可得，，由平行线的性质得，进而得到，以此证明∽，最后根据相似三角形的性质即可求解．
本题主要考查矩形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质，根据题意，正确找出∽是解题关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：根据题意设，则，
为等边三角形，
，
，，
解得，
故选：．
根据反比例函数的对称性以及等边三角形的性质设，则，根据勾股定理得到，，解得．
本题考查了反比例函数的性质，等边三角形的性质，发现、的坐标特征是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：

．
故答案为．
根据有理数的减法运算法则，减去一个是等于加上这个数的相反数进行计算．
本题考查了有理数的减法，熟记减去一个是等于加上这个数的相反数是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：某人连续抛掷一枚质地均匀的硬币次，结果都是正面朝上，则他第次抛掷这枚硬币，正面朝上的概率为：．
故答案为：．
利用概率的意义直接得出答案．
此题主要考查了概率的意义，正确把握概率的定义是解题关键．
 

13.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，三角形和内角和定理等知识；关键是掌握平行四边形对边平行，对角相等．
由平行四边形的性质得出，，得出，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出，即可得出的度数．
【解答】

解：四边形是平行四边形，
，，
，
平分，
，
，
，
．
故答案为．
 

14.【答案】 

【解析】解：都是正方形，
，
，
∽，
，
与的面积比为，
，
设，则，
，
在中，
，
由“青朱出入图”可知：，
．
故答案为：．
证明∽，可得，而与的面积比为，即得，设，则，在中，有，又，故．
本题考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握正方形性质和相似三角形的判定定理．
 

15.【答案】 

【解析】解：如图，分别过点，，作轴得垂线，
垂足为分别为、、，
设 ， ， ，
则，，，
在等边三角形 中，，
代入中，得，
解得，
，
在等边三角形 中，，
代入中，得，
解得，
，
在等边三角形 中，，
代入中，得，
解得，
，

依此类推由此可得．
故答案为：．
分别过，，作轴的垂线，垂足分别为、、，设，，，则，，，再根据所求正三角形的边长，分别表示，，的纵坐标，逐步代入抛物线中，求、、的值，得出规律．
本题主要考查等边三角形的性质，二次函数图象上点的坐标特征，关键是根据正三角形的性质表示点的坐标，利用抛物线解析式求正三角形的边长，得到规律．
 

16.【答案】解：



；




． 

【解析】先把所求的式子进行整理，再代入相应的值运算即可；
先把所求的式子进行整理，再代入相应的值运算即可．
本题主要考查二次根式的化简求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

17.【答案】解：过点作于，
．
，
．
，
．
补全图形，
，
，
．
于，，
．
 

【解析】过点作，垂足为，利用等腰三角形的性质可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义可求出的长，从而进行计算即可解答；
利用的结论可得，然后中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形，等腰三角形的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

18.【答案】证明：是的中点，
．
，
，．
在和中，
，
．
．
，
．
即：是的中点．
解：四边形是矩形；
证明：，，
四边形是平行四边形．
，，
即．
平行四边形是矩形． 

【解析】可证，得出，进而根据，得出是中点的结论；
若，则是等腰三角形，根据等腰三角形三线合一的性质知；而与平行且相等，故四边形是平行四边形，又，则四边形是矩形．
此题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行四边形、矩形的判定等知识综合运用．
 

19.【答案】解：设每辆甲种客车的租金是元，每辆乙种客车的租金是元，
根据题意得：，
解得：．
答：每辆甲种客车的租金是元，每辆乙种客车的租金是元；
设租用甲种客车辆，则租用乙种客车辆，
根据题意得：，
解得：，
又，均为正整数，
可以为，，
共有种租车方案，
方案：租用辆甲种客车，辆乙种客车，所需租车费用为元；
方案：租用辆甲种客车，辆乙种客车，所需租车费用为元．
，
租车所需费用最少为元．
答：租车费用最少为元． 

【解析】设每辆甲种客车的租金是元，每辆乙种客车的租金是元，根据“辆甲种客车和辆乙种客车共需租金元，辆甲种客车和辆乙种客车共需租金元”，可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设租用甲种客车辆，则租用乙种客车辆，根据租用的辆客车至少可载客人，可得出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，结合，均为正整数，即可得出各租车方案，利用总租金每辆甲种客车的租金租用甲种客车的数量每辆乙种客车的租金租用乙种客车的数量，可求出选择各方案所需租车费用，比较后即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
 

20.【答案】证明：连接，
，
，
，
，

，
，
，
，
是的切线；
解：连接，，
是的直径，
，
，
，
，
，
，，，
，
，
． 

【解析】连接，根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质得到，根据平行线的性质得到，于是得到是的切线；
连接，，根据圆周角定理得到，推出，得到，根据三角函数的定义得到结论．
本题考查了切线的判定和性质，解直角三角形，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
 

21.【答案】解：反比例函数上的一点，过点作轴于点，
，，
又的面积是，
，
，
点在反比例函数上，
；
如图，延长交轴于，
由旋转可得≌，，
，，，
轴，
，
四边形是矩形，
，
，，，
点坐标为，
点，都在反比例函数上，
，
即，
方程两边同时除以，得
，
解得，
，
． 

【解析】本题主要考查了反比例函数系数的几何意义，旋转中的坐标变化．
依据的面积是，即可得到，进而得出的值；
延长交轴于，依据四边形是矩形，即可得到，，，进而得到，根据点，都在反比例函数上，即可得到，进而得出的值．
 

22.【答案】证明：于，
．
在正方形中，，
，．
，．
；
解：过点作交于，
．
．
，，
．
在和中，
，
≌，
．
，
．
，，
，．
，
．
，
，
，
；
解：过点作交于，
，．
在和中，
，
≌，
．
又，，
∽，
．
设，则，，
，
解得，，
或，
作于，
，，
点为的中点，
，
或．
，
或． 

【解析】由正方形的性质得出，则可得出结论；
作交于，证明≌，得出证出，则可得出结论；
作交于，证明≌，得出证明∽，由相似三角形的性质得出设，则，，求出或，作于，求出的长，则可得出答案．
本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握正方形的性质是解题关键．
 

23.【答案】解：根据题意得，，解得：，
抛物线的解析式为：；
，对称轴为，
，
在抛物线的解析式上，
，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为；

如图，作轴，设，
，
∽，
，
即，
解得：，
，
，
面积的最大值是；

直线交轴于点，
，
抛物线的顶点坐标，
如图，若为平行四边形的一边，则点于抛物线的顶点重合，此时，，
点的坐标，；
如图，若为平行四边形的一条对角线，则与互相平分，
过点，分别向轴作垂线，垂足分别为，，与交于点，
易得≌，
点，的横坐标分别是，，
，
，
，
，
综上所述，点的坐标为：或或 

【解析】待定系数法得到抛物线的解析式为：；直线的解析式为；
如图，作轴，设，根据相似三角形的性质得到，求得，根据二次函数的性质即可得到结论；
如图，若为平行四边形的一边，则点于抛物线的顶点重合，于是得到点的坐标，；如图，若为平行四边形的一条对角线，则与互相平分，过点，分别向轴作垂线，垂足分别为，，与交于点，即可得到结论．
本题考查了待定系数法求函数的解析式，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的性质，正确的作出图形是解题的关键．