2023年广东省清远市佛冈县二校中考数学一模试卷(含答案)

这是一份2023年广东省清远市佛冈县二校中考数学一模试卷(含答案)，共19页。试卷主要包含了选择题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年广东省清远市佛冈县二校中考数学一模试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（3分）手机已逐渐成为人们日常通讯的主要工具，其背后离不开通讯运营商的市场支持，如图展现的是我国四大通讯运营商的企业图标，其中是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（3分）计算（﹣a）2•的结果为（　　）
A．b B．﹣b C．ab D．
3．（3分）函数y＝ax2+bx+c和y＝ax+b在同一坐标系中的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
4．（3分）在下列四个图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形是（　　）
A． B． C． D．
5．（3分）若二次根式有意义，则下列各数符合要求的是（　　）
A．8 B．9 C．10 D．4
6．（3分）下列给出5个命题：①对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；②六边形的内角和等于720°； ③相等的圆心角所对的弧相等； ④顺次连接菱形各边中点所得的四边形是矩形；⑤若顺次连接四边形ABCD四边的中点，得到的图形是一个矩形，其中正确命题的个数是（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
7．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A、B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝﹣1，点B的坐标为（1，0），则下列结论：①AB＝4；②b2﹣4ac＞0；③ab＜0；④a2﹣ab+ac＜0，其中正确的结论有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．（3分）如图，A、B、C是⊙O上的三个点，∠ABC＝50°，则∠AOC的度数是（　　）

A．25° B．65° C．50° D．100°
9．（3分）如图，正方形ABCD和正△AEF都内接于⊙O，EF与BC、CD分别相交于点G、H，则的值是（　　）

A． B． C． D．2
10．（3分）如图，在6×6的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，其中A、B、C为格点．作△ABC的外接圆⊙O，则的长等于（　　）

A． B． C． D．
二、填空题（本大题5小题，每小题5分，共25分）请将下列各题的正确答案填写在答题卡的位置上．
11．（5分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，将△ABC沿直线MN翻折后，顶点C恰好落在AB边上的点D处，已知MN∥AB，MC＝6，NC＝，那么四边形MABN的面积是　 　．

12．（5分）一个不透明的袋子中装有6个红球和若干个黑球，这些球除了颜色外都相同，从袋子中随机摸出一个球是红球的概率为，则袋子中有　 　个黑球．
13．（5分）钻石标尺的最小刻度是0.2nm（1nm＝10﹣9m），那么这个最小刻度用科学记数法表示是　 　（单位：m）．
14．（5分）如果一个无理数a与的积是一个有理数，写出a的一个值是　 　．
三、计算题（本大题2小题，每小题6分，共12分）
15．（6分）解不等式组．
16．（6分）解不等式组：
四、解答题（本大题4小题，共33分）
17．如图，光明中学一教学楼顶上竖有一块高为AB的宣传牌，点E和点D分别是教学楼底部和外墙上的一点（A，B，D，E在同一直线上），小红同学在距E点9米的C处测得宣传牌底部点B的仰角为67°，同时测得教学楼外墙外点D的仰角为30°，从点C沿坡度为1：的斜坡向上走到点F时，DF正好与水平线CE平行．
（1）求点F到直线CE的距离（结果保留根号）；
（2）若在点F处测得宣传牌顶部A的仰角为45°，求出宣传牌AB的高度（结果精确到0.01）．（注：sin67°≈0.92，tan67°≈2.36，≈1.41，≈1.73）

18．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣2x+c与直线y＝kx+b都经过A（0，﹣3）、B（3，0）两点，该抛物线的顶点为C．
（1）求此抛物线和直线AB的解析式；
（2）设直线AB与该抛物线的对称轴交于点E，在射线EB上是否存在一点M，过M作x轴的垂线交抛物线于点N，使点M、N、C、E是平行四边形的四个顶点？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）设点P是直线AB下方抛物线上的一动点，当△PAB面积最大时，求点P的坐标，并求△PAB面积的最大值．

19．在△ABC中，AB＝AC．
（1）如图①，点A在以BC为直径的半圆外，AB、AC分别与半圆交于点D、E．求证BD＝EC；
（2）如图②，点A在以BC为直径的半圆内，请用无刻度的直尺在半圆上画出一点D，使得△DBC是等腰直角三角形（保留画图痕迹，不写画法）．

20．如图，三角形纸片ABC，分别取AB、AC的中点D、G，沿DG折叠，使点A的对应点A′落在BC边上；继续将纸片折叠，使BD与DA′重合，CG与GA′重合，折痕分别为DE，GF，折叠后的三个三角形拼合形成一个矩形．连接AA′，则AA′为△ABC的高线．
（1）若△ABC面积为10，则矩形DEFG的面积为 　 　；
（2）若点A′恰好是边BC的中点，求证：四边形ADA′G为菱形；
（3）当△ABC满足什么条件时，矩形DEFG为正方形，请说明理由．


2023年广东省清远市佛冈县二校中考数学一模试卷
（参考答案）
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（3分）手机已逐渐成为人们日常通讯的主要工具，其背后离不开通讯运营商的市场支持，如图展现的是我国四大通讯运营商的企业图标，其中是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
B、是轴对称图形，故本选项符合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
D、不是轴对称图形，故本选项不合题意．
故选：B．
2．（3分）计算（﹣a）2•的结果为（　　）
A．b B．﹣b C．ab D．
【解答】解：（﹣a）2•
＝
＝b．
故选：A．
3．（3分）函数y＝ax2+bx+c和y＝ax+b在同一坐标系中的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：B、C中，两函数图象反映的a的符号不相符，错误；
当a＞0，b＞0时，直线过一、二、三象限，抛物线开口向上且对称轴在y轴左侧，A正确；
当a＜0，b＜0时，直线过二、三、四象限，抛物线开口向下，对称轴在y轴左侧，D错误．
故选：A．
4．（3分）在下列四个图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：A、此图形沿一条直线对折后能够完全重合，∴此图形是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；
B、此图形沿一条直线对折后不能够完全重合，∴此图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项错误．
C、此图形沿一条直线对折后能够完全重合，∴此图形是轴对称图形，旋转180°不能与原图形重合，不是中心对称图形，故此选项错误；
D、此图形沿一条直线对折后不能够完全重合，∴此图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误．
故选：A．
5．（3分）若二次根式有意义，则下列各数符合要求的是（　　）
A．8 B．9 C．10 D．4
【解答】解：∵7﹣x≥0，
∴x≤7，
故选：D．
6．（3分）下列给出5个命题：①对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；②六边形的内角和等于720°； ③相等的圆心角所对的弧相等； ④顺次连接菱形各边中点所得的四边形是矩形；⑤若顺次连接四边形ABCD四边的中点，得到的图形是一个矩形，其中正确命题的个数是（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【解答】解：①对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，所以①错误；
②六边形的内角和等于720°，所以②正确；
③在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所以③错误；
④顺次连接菱形各边中点所得的四边形是矩形，所以④正确；
⑤若顺次连接四边形ABCD四边的中点，得到的图形是一个平行四边形，所以⑤错误；
故选：A．
7．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A、B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝﹣1，点B的坐标为（1，0），则下列结论：①AB＝4；②b2﹣4ac＞0；③ab＜0；④a2﹣ab+ac＜0，其中正确的结论有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，点B的坐标为（1，0），
∴A（﹣3，0），
∴AB＝1﹣（﹣3）＝4，所以①正确；
∵抛物线与x轴有2个交点，
∴Δ＝b2﹣4ac＞0，所以②正确；
∵抛物线开口向下，
∴a＞0，
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，
∴b＝2a＞0，
∴ab＞0，所以③错误；
∵x＝﹣1时，y＜0，
∴a﹣b+c＜0，
而a＞0，
∴a（a﹣b+c）＜0，所以④正确．
故选：C．
8．（3分）如图，A、B、C是⊙O上的三个点，∠ABC＝50°，则∠AOC的度数是（　　）

A．25° B．65° C．50° D．100°
【解答】解：由圆周角定理得，∠AOC＝2∠ABC＝100°，
故选：D．
9．（3分）如图，正方形ABCD和正△AEF都内接于⊙O，EF与BC、CD分别相交于点G、H，则的值是（　　）

A． B． C． D．2
【解答】解：如图，连接AC、BD、OF，，
设⊙O的半径是r，
则OF＝r，
∵AO是∠EAF的平分线，
∴∠OAF＝60°÷2＝30°，
∵OA＝OF，
∴∠OFA＝∠OAF＝30°，
∴∠COF＝30°+30°＝60°，
∴FI＝r•sin60°＝，
∴EF＝，
∵AO＝2OI，
∴OI＝，CI＝r﹣＝，
∴，
∴，
∴＝，
即则的值是．
故选：C．
10．（3分）如图，在6×6的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，其中A、B、C为格点．作△ABC的外接圆⊙O，则的长等于（　　）

A． B． C． D．
【解答】解：连接OC，由图形可知OA⊥OC，
即∠AOC＝90°，
由勾股定理，得OA＝＝，
∴的长＝＝．
故选：D．

二、填空题（本大题5小题，每小题5分，共25分）请将下列各题的正确答案填写在答题卡的位置上．
11．（5分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，将△ABC沿直线MN翻折后，顶点C恰好落在AB边上的点D处，已知MN∥AB，MC＝6，NC＝，那么四边形MABN的面积是　　．

【解答】解：连接CD，交MN于E，
∵将△ABC沿直线MN翻折后，顶点C恰好落在AB边上的点D处，
∴MN⊥CD，且CE＝DE，
∴CD＝2CE，
∵MN∥AB，
∴CD⊥AB，
∴△CMN∽△CAB，
∴＝（）2＝，
∵在△CMN中，∠C＝90°，MC＝6，NC＝2，
∴S△CMN＝CM•CN＝×6×2＝6，
∴S△CAB＝4S△CMN＝4×6＝24，
∴S四边形MABN＝S△CAB﹣S△CMN＝24﹣6＝18．
故答案为：18．
12．（5分）一个不透明的袋子中装有6个红球和若干个黑球，这些球除了颜色外都相同，从袋子中随机摸出一个球是红球的概率为，则袋子中有　9　个黑球．
【解答】解：设 有x个黑球，
根据题意得：＝，
解得：x＝9，
经检验x＝9是原方程的解，
故答案为：9．
13．（5分）钻石标尺的最小刻度是0.2nm（1nm＝10﹣9m），那么这个最小刻度用科学记数法表示是　2×10﹣10　（单位：m）．
【解答】解：0.2nm＝0.0000000002m＝2×10﹣10，
故答案为：2×10﹣10．
14．（5分）如果一个无理数a与的积是一个有理数，写出a的一个值是　（答案不唯一）　．
【解答】解：a＝时，
×＝4，
故答案为：（答案不唯一）
三、计算题（本大题2小题，每小题6分，共12分）
15．（6分）解不等式组．
【解答】解：解不等式3x+1≥2（x﹣1），得：x≥﹣3，
解不等式＜1，得：x＜4，
则不等式组的解集为﹣3≤x＜4．
16．（6分）解不等式组：
【解答】解：解不等式2x﹣1≤3得x≤2，
解不等式＞1得x＞﹣1，
所以不等式的解集为﹣1＜x≤2．
四、解答题（本大题4小题，共33分）
17．如图，光明中学一教学楼顶上竖有一块高为AB的宣传牌，点E和点D分别是教学楼底部和外墙上的一点（A，B，D，E在同一直线上），小红同学在距E点9米的C处测得宣传牌底部点B的仰角为67°，同时测得教学楼外墙外点D的仰角为30°，从点C沿坡度为1：的斜坡向上走到点F时，DF正好与水平线CE平行．
（1）求点F到直线CE的距离（结果保留根号）；
（2）若在点F处测得宣传牌顶部A的仰角为45°，求出宣传牌AB的高度（结果精确到0.01）．（注：sin67°≈0.92，tan67°≈2.36，≈1.41，≈1.73）

【解答】解：（1）过点F作FH⊥CE于H．
∵FD∥CE，
∵FH∥DE，DF∥HE，∠FHE＝90°，
∴四边形FHED是矩形，则FH＝DE，
在Rt△CDE中，DE＝CE•tan∠DCE＝9×tan30°＝3（米），
∴FH＝DE＝3（米）．
答：点F到CE的距离为3米．

（2）∵CF的坡度为1：，
∴在Rt△FCH中，CH＝FH＝9（米），
∴EH＝DF＝18（米），
在Rt△BCE中，BE＝CE•tan∠BCE＝9×tan67°≈21.24（米），
∴AB＝AD+DE﹣BE＝18+3﹣21.24≈1.95（米），
答：宣传牌AB的高度约为1.95米．

18．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣2x+c与直线y＝kx+b都经过A（0，﹣3）、B（3，0）两点，该抛物线的顶点为C．
（1）求此抛物线和直线AB的解析式；
（2）设直线AB与该抛物线的对称轴交于点E，在射线EB上是否存在一点M，过M作x轴的垂线交抛物线于点N，使点M、N、C、E是平行四边形的四个顶点？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）设点P是直线AB下方抛物线上的一动点，当△PAB面积最大时，求点P的坐标，并求△PAB面积的最大值．

【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2﹣2x+c经过A（0，﹣3）、B（3，0）两点，
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，
∵直线y＝kx+b经过A（0，﹣3）、B（3，0）两点，
∴，解得：，
∴直线AB的解析式为y＝x﹣3，
（2）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线的顶点C的坐标为（1，﹣4），
∵CE∥y轴，
∴E（1，﹣2），
∴CE＝2，
①如图1，连接CN，若点M在x轴下方，四边形CEMN为平行四边形，则CE＝MN，

设M（a，a﹣3），则N（a，a2﹣2a﹣3），
∴MN＝a﹣3﹣（a2﹣2a﹣3）＝﹣a2+3a，
∴﹣a2+3a＝2，
解得：a＝2，a＝1（舍去），
∴M（2，﹣1），
②如图2，连接EN，CM，MN，若点M在x轴上方，四边形CENM为平行四边形，则CE＝MN，

设M（a，a﹣3），则N（a，a2﹣2a﹣3），
∴MN＝a2﹣2a﹣3﹣（a﹣3）＝a2﹣3a，
∴a2﹣3a＝2，
解得：a＝，a＝（舍去），
∴M（，），
综合可得M点的坐标为（2，﹣1）或（）．
（3）如图3，作PG∥y轴交直线AB于点G，

设P（m，m2﹣2m﹣3），则G（m，m﹣3），
∴PG＝m﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+3m，
∴S△PAB＝S△PGA+S△PGB＝＝＝﹣，
∴当m＝时，△PAB面积的最大值是，此时P点坐标为（）．
19．在△ABC中，AB＝AC．
（1）如图①，点A在以BC为直径的半圆外，AB、AC分别与半圆交于点D、E．求证BD＝EC；
（2）如图②，点A在以BC为直径的半圆内，请用无刻度的直尺在半圆上画出一点D，使得△DBC是等腰直角三角形（保留画图痕迹，不写画法）．

【解答】（1）证明：连接BE、CD，如图①，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵BC为直径，
∴∠BDC＝∠CEB＝90°，
∴∠BCD＝∠CBE，
∴＝，
∴BD＝CE；
（2）解：如图②，点D为所作．

20．如图，三角形纸片ABC，分别取AB、AC的中点D、G，沿DG折叠，使点A的对应点A′落在BC边上；继续将纸片折叠，使BD与DA′重合，CG与GA′重合，折痕分别为DE，GF，折叠后的三个三角形拼合形成一个矩形．连接AA′，则AA′为△ABC的高线．
（1）若△ABC面积为10，则矩形DEFG的面积为 　5　；
（2）若点A′恰好是边BC的中点，求证：四边形ADA′G为菱形；
（3）当△ABC满足什么条件时，矩形DEFG为正方形，请说明理由．

【解答】解：（1）由题意知，S△DA'G＝S△DAG，S△DA'E＝S△DBE，SΔGA'F＝S△GFC，
∴S矩形DEFG＝S△DA'G+S△DA'E+SΔGA'F＝S△ABC＝5；
故答案为5．
（2）证明：由折叠可知A'D＝AD，∠A'DG＝∠ADG，A'G＝AG，∠A'GD＝∠AGD．
∵D，A'分别为AB，BC的中点，
∴DA'∥AC，DA'＝AC，
∴∠A'DG＝∠AGD，
∴∠ADG＝∠AGD，
∴AD＝AG，
∴A'D＝AD＝A'G＝AG，
∴四边形ADA'G为菱形；
（3）AA'＝BC．
理由如下：
∵D，E分别是AB，BA'的中点，
∴DE＝AA'．
又∵D，G分别是AB，AC的中点，
∴DG＝BC，
∵AA'＝BC，
∴DG＝DE．
∴矩形DEFG是正方形．