人教A版（2019）数学必修第一册 3 函数的奇偶性和周期性 综合练习（含解析）

这是一份人教A版（2019）数学必修第一册 3 函数的奇偶性和周期性 综合练习（含解析），共7页。
函数的奇偶性和周期性一、选择题1．(2020届江西新余四中高三月考)已知函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，f(x)＝4x，则f(－)＋f(1)＝(　　)A．－2     B．0     C．2     D．12．下列函数中，既是偶函数又在区间(1，2)内单调递减的是(　　)A．f(x)＝      B．f(x)＝C．f(x)＝2x＋2－x     D．f(x)＝－cos x3．(2019·成都市第二次诊断性检测)已知定义域为R的奇函数f(x)满足f＝f，且当0≤x≤1时，f(x)＝x3，则f＝(　　)A．－ B．－  C.　　　 D.4．(多选题)已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的有(　　)A．y＝f(|x|)     B．y＝f(－x)C．y＝xf(x)     D．y＝f(x)＋x5．已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，f(2)＝0，若f(x－1)＞0，则x的取值范围是(　　)A．(3，＋∞)B．(－∞，－3)C．(－∞，－1)∪(3，＋∞)D．(－1，3)6．(2020届安徽六安第一中学高三月考)函数f(x)满足f(x)·f(x＋2)＝13，若f(1)＝2，则f(99)＝(　　)A．13     B．2   C.      D.7．若函数f(x)＝ax2＋bx＋8(a≠0)是偶函数，则g(x)＝2ax3＋bx2＋9x是(　　)A．奇函数   B．偶函数C．非奇非偶函数   D．既奇又偶函数8．函数f(x)是周期为4的偶函数，当x∈[0，2]时，f(x)＝x－1，则不等式xf(x)>0在[－1，3]上的解集为(　　)A．(1，3)   B．(－1，1)C．(－1，0)∪(1，3)   D．(－1，0)∪(0，1)9．设f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f(x)＝若对任意的x∈[m，m＋1]，不等式f(1－x)≤f(x＋m)恒成立，则实数m的最大值是(　　)A．－1     B．－   C．－     D.二、填空题10．(2019·山西八校第一次联考)已知f(x)是定义在R上的函数，且满足f(x＋2)＝－，当2≤x≤3时，f(x)＝x，则f＝________．11．奇函数f(x)在区间[3，6]上是增函数，且在区间[3，6]上的最大值为8，最小值为－1，则f(6)＋f(－3)的值为________．12．已知奇函数f(x)的图象关于直线x＝3对称，当x∈[0，3]时，f(x)＝－x，则f(－16)＝________.13．(2020届陕西汉中汉台中学高三月考)若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x)＞0，f(x＋2)＝对任意x∈R恒成立，则f(2023)＝________.三、解答题14．设f(x)是定义域为R的周期函数，最小正周期为2，且f(1＋x)＝f(1－x)，当－1≤x≤0时，f(x)＝－x.(1)判定f(x)的奇偶性；(2)试求出函数f(x)在区间[－1，2]上的表达式．           15．(2020届云南曲靖第一中学高三月考)设f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x.(1)求f(π)的值；(2)当－4≤x≤4时，求f(x)的图象与x轴所围成图形的面积．     
参考答案1．A解析：∵函数f(x)为定义在R上的奇函数，且周期为2，∴f(1)＝－f(－1)＝－f(－1＋2)＝－f(1)，∴f(1)＝0，f＝f＝－4＝－2，∴f＋f(1)＝－2.故选A.2．B解析：函数f(x)＝是偶函数，且在(1,2)内单调递减，符合题意．故选B.3. B解析：因为f＝f，所以f＝f＝f＝f，又因为函数为奇函数，所以f＝－f＝－＝－. 4．BD解析：由奇函数的定义f(－x)＝－f(x)验证．A中，f(|－x|)＝f(|x|)，为偶函数；B中，f(－(－x))＝f(x)＝－f(－x)，为奇函数；C中，－xf(－x)＝－x·[－f(x)]＝xf(x)，为偶函数；D中，f(－x)＋(－x)＝－[f(x)＋x]，为奇函数．故选BD.5．D解析：由偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，f(2)＝0，得f(x)＝f(|x|)．因为f(x－1)＞0，所以f(|x－1|)＞f(2)，即|x－1|＜2，解得－1＜x＜3，即x的取值范围是(－1,3)．故选D.6．D解析：∵f(x)·f(x＋2)＝13，∴f(x＋2)＝，则f(x＋4)＝＝＝f(x)，故函数f(x)的周期为4，∴f(99)＝f(3)＝＝.故选D.7. A解析：因为函数f(x)＝ax2＋bx＋8(a≠0)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)，即bx＝－bx，得b＝0.所以g(x)＝2ax3＋bx2＋9x＝2ax3＋9x，g(－x)＝2a(－x)3＋9(－x)＝－(2ax2＋9x)＝－g(x)．所以g(x)为奇函数．故选A.8. C解析： f(x)的图象如图．当x∈(－1，0)时，由xf(x)>0得x∈(－1，0)；当x∈(0，1)时，由xf(x)>0得x∈∅.当x∈(1，3)时，由xf(x)>0得x∈(1，3)．故x∈(－1，0)∪(1，3)．9．B解析：易知函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，又函数f(x)是定义在R上的偶函数，所以函数f(x)在(－∞，0)上单调递增，则由f(1－x)≤f(x＋m)，得|1－x|≥|x＋m|，即(1－x)2≥(x＋m)2，即g(x)＝(2m＋2)x＋m2－1≤0在x∈[m，m＋1]上恒成立，当m＝－1时，g(x)＝0，符合要求，当m≠－1时，则,解得－1＜m≤－，所以－1≤m≤－，即m的最大值为－. 故选B.10. 解析：因为f(x＋2)＝－，所以f(x＋4)＝－＝f(x)，所以f＝f，又2≤x≤3时，f(x)＝x，所以f＝，所以f＝.11．9解析：因为f(x)在[3,6]上为增函数，所以f(x)的最大值为f(6)＝8，f(x)的最小值为f(3)＝－1.因为f(x)为奇函数，所以f(－3)＝－f(3)＝1，所以f(6)＋f(－3)＝8＋1＝9.12．2解析：根据题意，函数f(x)的图象关于直线x＝3对称，则有f(x)＝f(6－x)．又函数为奇函数，则f(－x)＝－f(x)，则有f(x)＝－f(x＋6)＝f(x＋12)，则f(x)的最小正周期是12，故f(－16)＝f(－4)＝－f(4)＝－f(2)＝－(－2)＝2.13．1解析：因为f(x)>0，f(x＋2)＝，所以f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝＝＝f(x)，即函数f(x)的周期是4，所以f(2 023)＝f(506×4－1)＝f(－1)．因为函数f(x)为偶函数，所以f(2 023)＝f(－1)＝f(1)．当x＝－1时，f(－1＋2)＝，得f(1)＝ .由f(x)＞0，得f(1)＝1，所以f(2 023)＝f(1)＝1.14. 解：(1)因为f(1＋x)＝f(1－x)，所以f(－x)＝f(2＋x)．又f(x＋2)＝f(x)，所以f(－x)＝f(x)．又f(x)的定义域为R，所以f(x)是偶函数．(2)当x∈[0，1]时，－x∈[－1，0]，则f(x)＝f(－x)＝x；从而当1≤x≤2时，－1≤x－2≤0，f(x)＝f(x－2)＝－(x－2)＝－x＋2.故f(x)＝15．解：(1)由f(x＋2)＝－f(x)，得f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)是以4为周期的函数，所以f(π)＝f(－1×4＋π)＝f(π－4)＝－f(4－π)＝－(4－π)＝π－4.(2)由f(x)是奇函数且f(x＋2)＝－f(x)，得f[(x－1)＋2]＝－f(x－1)＝f[－(x－1)]，即f(1＋x)＝f(1－x)．故知函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称．又当0≤x≤1时，f(x)＝x，且f(x)的图象关于原点成中心对称，则f(x)的图象如图所示：当－4≤x≤4时，f(x)的图象与x轴围成的图形面积为S，则S＝4S△OAB＝4×＝4.