初中数学北师大版八年级下册4 角平分线达标测试

北师大版八年级数学下册 1.4角平分线课后练习

 班级：________      姓名：________

一、单选题（共 10 小题）

1、如图，在ABC中，BA＝BC，∠B＝80°，观察图中尺规作图的痕迹，∠DCE的度数是（    ）

A．45° B．50° C．55° D．65°

2、如图，在中，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，交于点M，交于点N，分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点P，画射线，交于点D，若，则的度数是（    ）

A． B． C． D．

3、如图，△ABC中，∠ABC、∠EAC的角平分线BP、AP交于点P，延长BA、BC，则下列结论中正确的个数（　　）

①CP平分∠ACF；

②∠ABC+2∠APC＝180°；

③∠ACB＝2∠APB；

④若PM⊥BE，PN⊥BC，则AM+CN＝AC．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

4、如图，在△ABC中，点O是∠BAC的平分线与线段AC的垂直平分线的交点，OD⊥AB于点D，OF⊥AC于点F，则下列结论不一定成立的是（   ）

A．OA=OC B．OD=OF C．OA=OB D．AD=FC

5、如图，在中，，点D在边的延长线上，根据图中尺规作图的痕迹，可知的度数为（    ）

A． B． C． D．

6、已知：如图，BD为△ABC的角平分线，且BD＝BC，E为BD延长线上的一点，BE＝BA，过E作EF⊥AB，F为垂足，下列结论：①△ABD≌△EBC；②∠BCE＋∠BCD＝180°；③AD＝EF＝EC；④AE＝EC；⑤若AF＝2，则DE＝4．其中正确的有(       )个

A．①②④ B．①②④⑤ C．①②⑤ D．①②③⑤

7、如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=18，DE=3，AB=8，则AC长是（　　）

A．3 B．4 C．6 D．5

8、如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P，过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H，则下列结论：①∠APB＝135°；②BF＝BA；③PH＝PD；④连接CP，CP平分∠ACB，其中正确的是（　　）

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④

9、如图，已知在四边形中，，平分，，，，则四边形的面积是（  ）

A．24 B．30 C．36 D．42

10、如图是用直尺和圆规作已知角∠AOB平分线OP的示意图，仔细观察，根据三角形全等的知识，说明画出OP的依据是（    ）

A．边角边，全等三角形对应角相等

B．角边角，全等三角形对应角相等

C．边边边，全等三角形对应角相等

D．斜边直角边，全等三角形对应角相等

二、填空题（共 8 小题）

1、如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC = 36°，DE是线段AC的垂直平分线，若BE=，AE=，则用含、的代数式表示△ABC的周长为__________．

2、如图, 在△ABC中, ∠ACB的平分线交AB于点D,  DE⊥AC于点E, F为BC上一点,若DF=AD, △ACD与△CDF的面积分别为10和4, 则△AED的面积为______

3、如图，ΔABC的面积为8 cm2，AP垂直∠B的平分线BP于P， 则ΔPBC的面积为________．

4、如图，在△ABC中，，AD平分∠BAC，交BC于点D．若，，则△ABD的面积为_________．

5、如图，是等边的角平分线，，垂足为点，线段的垂直平分线交于点，垂足为，若，则的长为__________．

6、如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4cm，AD＝7cm，∠ABC的平分线交AD于点E，交CD的延长线于点F，则DF＝_____cm．

7、如图，的角平分线与的角平分线相交于点P，作于点E．若两平行线与间的距离为4，则 _____．

8、如图，在中，，，，以点A为圆心，适当长为半径画弧，交于点M，交于点N，分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点G，画射线，交于点D，点F在边上，且，连接，则的周长为______．

三、解答题（共 6 小题）

1、如图，在△ABC中，∠A=55°，∠ABD=32°，∠ACB=70°，且CE平分∠ACB，求∠DEC的度数．

2、如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，△ABC的面积是64cm2，AB＝20cm，AC＝12cm，求DE的长．

3、人教版初中数学教科书八年级上册第48页告诉我们一种作已知角的平分线的方法：

已知：

求作：的平分线

做法：（1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N，

（2）分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点C

（3）画射线OC，射线OC即为所求．

请你根据提供的材料完成下面问题：

（1）这种作已知角平分线的方法的依据是__________________(填序号)．

①   ② ③   ④

（2）请你证明OC为的平分线．

4、如图，已知△ABC，∠A＝100°，∠C＝30°，请用尺规作图法在AC上求作一点D，使得∠ABD＝25°．（保留作图痕迹，不写作法）

5、如图，在中，，是的平分线，于，在上，且．

(1)求证：；

(2)若，，不用写过程直接给出的值．

6、如图，在中，，请根据要求完成以下任务：

(1)利用直尺与圆规，作线段BC的垂直平分线DE交于点D、E，连接CD；

(2)利用直尺与圆规，作的角平分线BF交CD于点F；

(3)若，求的度数．

-参考答案-

一、单选题

1、D

【详解】由题尺规作图得CE为∠ACD的角平分线

∴

在ABC中，BA＝BC，∠B＝80°

∴

∵

∴

∴

故选：D．

2、A

【详解】由作法得BD平分∠ABC，

∴

设

∴

∵

∴

∵

∴

∵

∴，解得

∴

故选：A

3、D

【详解】①作PD⊥AC于D，PM⊥BE于M，PN⊥BC于N，

∵PB平分∠ABC，PA平分∠EAC，PM⊥BE，PN⊥BF，

∴PM＝PN，PM＝PD，

∴PM＝PN＝PD，

∴点P在∠ACF的角平分线上．

故①正确；

②∵PM⊥AB，PN⊥BC，

∴∠ABC+90°+∠MPN+90°＝360°，

∴∠ABC+∠MPN＝180°，

在Rt△PAM和Rt△PAD中，，

∴Rt△PAM≌Rt△PAD（HL），

∴∠APM＝∠APD，

同理：Rt△PCD≌Rt△PCN（HL），

∴∠CPD＝∠CPN，

∴∠MPN＝2∠APC，

∴∠ABC+2∠APC＝180°．

故②正确；

③∵PA平分∠CAE，BP平分∠ABC，

∴∠CAE＝∠ABC+∠ACB，∠PAM＝∠ABC+∠APB，

∴∠ACB＝2∠APB．

故③正确；

④∵Rt△PAM≌Rt△PAD（HL），

∴AD＝AM，

同理：Rt△PCD≌Rt△PCN（HL），

∴CD＝CN，

∴AM+CN＝AD+CD＝AC．

故④正确；

故选D．

4、C

【详解】解∵在中，点O是的平分线与线段AC的垂直平分线的交点，OD⊥AB，OF⊥AC，

∴，，故A、B选项成立；

，，，

在△AOD与△AOF中，

，

∴，

同理可得：，

∴，，，

∴，

∴，故D选项成立，

故选：C．

5、C

【详解】 ，

由作图可得：

由作图可得：是的角平分线，

故选C

6、B

【详解】①∵BD为△ABC的角平分线，

∴∠ABD=∠CBD，

在△ABD和△EBC中，，

∴△ABD≌△EBC（SAS）， ∴①正确；

②∵BD为△ABC的角平分线，BD=BC，BE=BA，

∴∠BCD=∠BDC，∠BAE=∠BEA，

∵△ABD≌△EBC，

∴∠BCE=∠BDA，

∴∠BCE+∠BCD=∠BDA+∠BDC=180°， ∴②正确；

③ ∠BCD=∠BDC，∠BAE=∠BEA，

∠BCD=∠BEA，

∵∠BCE=∠BDA，∠BCE=∠BCD+∠DCE，∠BDA=∠DAE+∠BEA，

∴∠DCE=∠DAE，

∴△ACE为等腰三角形，

∴AE=EC，

∵△ABD≌△EBC，

∴AD=EC，

∴AD=AE=EC，

∵BD为△ABC的角平分线，EF⊥AB，而EC不垂直与BC，

∴EF≠EC， ∴③错误；

④由③知AD=AE=EC， ∴④正确；

过E作EG⊥BC于G点，

∵E是∠ABC的角平分线BD上的点，且EF⊥AB，

∴EF=EG（角平分线上的点到角的两边的距离相等），

∵在Rt△BEG和Rt△BEF中， ，

∴Rt△BEG≌Rt△BEF（HL），

∴BG=BF，

∵在Rt△CEG和Rt△AFE中，，

∴Rt△CEG≌Rt△AEF（HL），

∴AF=CG=2，

∴

，故⑤正确．

综上所述，正确的结论是①②④⑤．

故选：B．

7、B

【详解】作DH⊥AC于H，

∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DH⊥AC，

∴DH=DE=3，

由题意得，×8×3+×AC×3=18，

解得，AC=4，

故选B．

8、D

【详解】在△ABC中，∵∠ACB=90°，∴∠BAC+∠ABC=90°，

又∵AD、BE分别平分∠BAC、∠ABC，

∴∠BAD+∠ABE=(∠BAC+∠ABC)=(180°-∠ACB)=(180°-90°)=45°，

∴∠APB=135°，故①正确．

∴∠BPD=45°，又∵PF⊥AD，

∴∠FPB=90°+45°=135°，

∴∠APB=∠FPB，

又∵∠ABP=∠FBP，BP=BP，

∴△ABP≌△FBP(ASA)，

∴∠BAP=∠BFP，AB=FB，PA=PF，故②正确．

在△APH和△FPD中，∵∠APH=∠FPD=90°，∠PAH=∠BAP=∠BFP，PA=PF，

∴△APH≌△FPD(ASA)，

∴PH=PD，故③正确．

连接CP，如下图所示：

∵△ABC的角平分线AD、BE相交于点P，

∴点P到AB、AC的距离相等，点P到AB、BC的距离相等，

∴点P到BC、AC的距离相等，

∴点P在∠ACB的平分线上，

∴CP平分∠ACB，故④正确，

综上所述，①②③④均正确，

故选：D．

9、B

【详解】如图，过D作DE⊥AB交BA的延长线于E，

∵BD平分∠ABC，∠BCD=90°，

∴DE=CD=4，

∴四边形的面积

 故选B.

10、C

【详解】根据题意，得：，

在和中

∴

∴，即

∴画出OP的依据是：边边边，全等三角形对应角相等

故选：C．

二、填空题

1、

【详解】∵，

∴，

∵DE是线段AC的垂直平分线，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴△ABC的周长为：

故答案为:．

2、3

【详解】如图，过点D作

平分，

又

则

解得

故答案为：3．

3、

【详解】延长AP交BC于E，如图所示：

∵AP垂直∠B的平分线BP于P，

∴∠ABP=∠EBP，∠APB=∠BPE=90°，

在△APB和△EPB中

，

∴△APB≌△EPB（ASA），

∴S△APB=S△EPB，AP=PE，

∴△APC和△CPE等底同高，

∴S△APC=S△PCE，

∴S△PBC=S△PBE+S△PCE=S△ABC=4cm2，

故答案为4cm2．

4、44

【详解】作DE⊥AB于点E，

∵AD平分∠BAC，∠C=9°，∠DEA=90°，

∴DC=DE，

∵BD=6，BC=10，AB=22，

∴CD=BCBD=106=4，

∴DE=4，

∴△ABD的面积为：，

故答案为：44．

5、

【详解】如图，连接，

∵是等边三角形，

∴，

∵线段的垂直平分线交于点，

∴，

∴，

∵是等边的角平分线，

∴，，

∴，

∴，

∵，

∴，，

∴，

∵，

∴．

故答案为：．

6、3

【详解】因为四边形ABCD是平行四边形，

所以BC=AD，ABCF，AB=CD，

所以∠ABF=∠BFC，

因为BF平分∠ABC，

所以∠ABF=∠CBF，

所以∠BFC=∠CBF，

所以CB=CF，

因为CF=CD+DF，

所以AD=AB+DF，

所以AB=7-4=3(cm)，

故答案为：3．

7、2

【详解】过点P作于M，交BC于点N

∵，

∴，

∵分别平分

∴

∴，

∴．

故答案为：2．

8、10

【详解】∵，，，

，

由作图方法可得：平分，

，

在和中

，

，

，

的周长为：．

故答案为：．

三、解答题

1、∠DEC =58°．

【详解】在△ABC中，

∵∠A=55°，∠ACB=70°，

∴∠ABC=55°，

∵∠ABD=32°，

∴∠CBD=∠ABC-∠ABD=23°，

∵CE平分∠ACB，

∴∠BCE=∠ACB=35°，

∴在△BCE中，∠DEC=∠CBD+∠BCE=58°．

2、4cm

【详解】 ∵AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，

∴DE=DF，

∵S△ABD+S△ACD=S△ABC，

∴×20×DE+×12×DF=64．

即10DE+6DE=64，

∴DE=4（cm）．

答：DE的长为4cm．

3、（1）①；（2）证明见解析

【详解】（1）根据作图的过程知道：OM=ON，OC=OC，CM=CM，所以由全等三角形的判定定理SSS可以证得△EOC≌△DOC，从而得到OC为的平分线；

故答案为：①；

（2）如图，

连接MC、NC．

根据作图的过程知，

在△MOC与△NOC中，

，

∴△MOC≌△NOC（SSS），

∠AOC=∠BOC，

∴OC为的平分线．

4、作图见解析

【详解】∵∠A＝100°，∠C＝30°，

∴∠B＝50°，

若使得∠ABD＝25°，则作∠B的角平分线即可．

作图如下：

5、(1)见解析

(2)1

【详解】（1）

∵，是的平分线，于，

∴DE=DC，

∵，

∴△CDF≌△EDB，

∴．

（2）

∵，是的平分线，于，

∴DE=DC，

∵，

∴△CDA≌△EDA，

∴AE=AC=AF+CF=AF+BE，

∴AB=AE+BE=AF+BE+BE，

∴8=6+BE+BE，

解得BE=1，

故CF=1．

6、(1)见解析

(2)见解析

(3)40.5°

【详解】（1）

解：如图，直线CD，线段CD即为所求；

（2）

如图，射线BF即为所求；

（3）

∵DE垂直平分线段BC，

∴DB=DC，

∴∠DBC=∠DCB，

∵AC=DB，

∴CA=CD，

∴∠A=∠CDA=54°，

∵∠ADC=∠DBC+∠DCB，

∴∠DBC=∠DCB=27°，

∵BF平分∠ABC，

∴∠FBC=∠DBC=13.5°，

∴∠DFB=∠FBC+∠DCB=13.5°+27°=40.5°．