2023年中考数学二轮复习《压轴题-胡不归型最值问题》强化练习(含答案)

2023年中考数学二轮复习

《压轴题-胡不归型最值问题》强化练习

1.抛物线y＝ax2＋x﹣6与x轴交于A(t，0)，B(8，0)两点，与y轴交于点C，直线y＝kx﹣6经过点B．点P在抛物线上，设点P的横坐标为m．

(1)求抛物线的表达式和t，k的值；

(2)如图1，连接AC，AP，PC，若△APC是以CP为斜边的直角三角形，求点P的坐标；

(3)如图2，若点P在直线BC上方的抛物线上，过点P作PQ⊥BC，垂足为Q，求CQ＋PQ的最大值．

2.已知抛物线y＝﹣x2＋bx＋c(b，c为常数)的图象与x轴交于A(1，0)，B两点(点A在点B左侧)．与y轴相交于点C，顶点为D．

(Ⅰ)当b＝2时，求抛物线的顶点坐标；

(Ⅱ)若点P是y轴上一点，连接BP，当PB＝PC，OP＝2时，求b的值；

(Ⅲ)若抛物线与x轴另一个交点B的坐标为(4，0)，对称轴交x轴于点E，点Q是线段DE上一点，点N为线段AB上一点，且AN＝2BN，连接NQ，求DQ＋NQ的最小值．

3.(1)已知二次函数经过点A(﹣3，0)、B(1，0)、C(0，3)，请求该抛物线解析式；

(2)点M为抛物线上第二象限内一动点，BM交y轴于点N，当BM将四边形ABCM的面积分为1：2两部分时，求点M的坐标；

(3)点P为对称轴上D点下方一动点，点Q为直线y＝x第一象限上的动点，且DP＝OQ，求BP＋BQ的最小值并求此时点P的坐标．

4.如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(﹣1，0)、B(3，0)、C(0，3)三点，对称轴与抛物线相交于点P，与直线BC相交于点M，连接AC，PB．

(1)求该抛物线的解析式；

(2)设对称轴与x轴交于点N，在对称轴上是否存在点G，使以O、N、G为顶点的三角形与△AOC相似？如果存在，请求出点G的坐标；如果不存在，请说明理由；

(3)抛物线上是否存在一点Q，使△QMB与△PMB的面积相等，若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由；

(4)点E是y轴上的动点，连接ME，求ME＋CE的最小值．

5.如图，已知点A(1，0)，B(3，0)，D(2，﹣1)，C是y轴上的点，且OC＝3．

(1)过点A作AM⊥BC，垂足为M，连接AD、BD，求证：四边形ADBM为正方形；

(2)若过A、B、C三点的抛物线对称轴上有一动点P，当PC﹣PB的值最大时，求出点P的坐标；

(3)设Q为线段OC上的一动点，问：AQ＋QC是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．

6.在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋3与x轴交于点A(﹣3，0)、B(1，0)，交y轴于点N，点M为抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点C．

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图1，连接AM，点E是线段AM上方抛物线上一动点，EF⊥AM于点F，过点E作EH⊥x轴于点H，交AM于点D．点P是y轴上一动点，当EF取最大值时：

①求PD＋PC的最小值；

②如图2，Q点为y轴上一动点，请直接写出DQ＋OQ的最小值．

7.如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与y轴相交于点C(0，﹣2)，与x轴分别交于点B(3，0)和点A，且tan∠CAO＝1．

(1)求抛物线解析式．

(2)抛物线上是否存在一点Q，使得∠BAQ＝∠ABC，若存在，请求出点Q坐标，若不存在，请说明理由；

(3)抛物线的对称轴交x轴于点D，在y轴上是否存在一个点P，使PC＋PD值最小，若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由．

8.如图，已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣8a(a＞0)与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线y＝﹣x＋与抛物线的另一交点为D，且点D的横坐标为﹣5．

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)若点P(x，y)在该二次函数的图象上，且S△BCD＝S△ABP，求点P的坐标；

(3)设F为线段BD上的一个动点(异于点B和D)，连接AF．是否存在点F，使得2AF＋DF的值最小？若存在，分别求出2AF＋DF的最小值和点F的坐标，若不存在，请说明理由．

参考答案

1.解：(1)将B(8，0)代入y＝ax2＋x﹣6，

∴64a＋22﹣6＝0，

∴a＝﹣，

∴y＝﹣x2＋x﹣6，

当y＝0时，﹣t2＋t﹣6＝0，解得t＝3或t＝8(舍)，

∴t＝3，

∵B(8，0)在直线y＝kx﹣6上，

∴8k﹣6＝0，解得k＝，

∴y＝x﹣6；

(2)作PM⊥x轴交于M，∵P点横坐标为m，∴P(m，﹣m2＋m﹣6)，

∴PM＝m2﹣m＋6，AM＝m﹣3，

在Rt△COA和Rt△AMP中，

∵∠OAC＋∠PAM＝90°，∠APM＋∠PAM＝90°，

∴∠OAC＝∠APM，

∴△COA∽△AMP，

∴＝，即OAMA＝COPM，

3(m﹣3)＝6(m2﹣m＋6)，解得m＝3(舍)或m＝10，

∴P(10，﹣3.5)； 

(3)作PN⊥x轴交于BC于N，过点N作NE⊥y轴交于E，

∴PN＝﹣m2＋m﹣6﹣(m﹣6)＝﹣m2＋2m，

由△PQN∽△BOC，

∴＝＝，

∵OB＝8，OC＝6，BC＝10，

∴QN＝PN，PQ＝PN，

由△CNE∽△CBO，∴CN＝EN＝m，

∴CQ＋PQ＝CN＋NQ＋PQ＝CN＋PN，

∴CQ＋PQ＝m﹣m2＋2m＝﹣m2＋m＝﹣(x﹣)2＋，

当m＝时，CQ＋PQ的最大值是．

2.解：(Ⅰ)当b＝2时，y＝﹣x2＋2x＋c，

将点A(1，0)代入y＝﹣x2＋2x＋c，

∴c＝﹣，

∴y＝﹣x2＋2x﹣＝﹣(x﹣2)2＋，

∴抛物线的顶点为(2，)；

(Ⅱ)∵点P是y轴上一点，OP＝2，

∴P(0，2)或(0，﹣2)，

将A代入y＝﹣x2＋bx＋c，

∴﹣＋b＋c＝0，

∴c＝﹣b，

∵﹣x2＋bx＋﹣b＝0，

∴1＋x1＝2b，

∴x1＝2b﹣1，

∴B(2b﹣1，0)，

令x＝0，则y＝2b﹣1，

∴C(0，﹣b)，

∵PB＝PC，

∴(2b﹣1)2＋4＝|﹣b﹣2|2或(2b﹣1)2＋4＝|﹣b＋2|2，

解得b＝或b＝或b＝﹣或b＝，

∵A点在B点左侧，

∴2b﹣1＞1，

∴b＞1，

∴b＝；

(Ⅲ)将点A、B代入y＝﹣x2＋bx＋c，

∴，，

∴y＝﹣x2＋x﹣2，

∴抛物线的对称轴为直线x＝，

∴E(，0)，

∵y＝﹣x2＋x﹣2＝﹣(x﹣)2＋，

∴顶点D(，)，

∵A(1，0)，B(4，0)，

∴AB＝3，

∵AN＝2BN，

∴AN＝2，BN＝1，

∴N(3，0)，

设Q(，t)，

过点N作AD的垂线交于点M，交对称轴于点Q，

∵AE＝，DE＝，

∴tan∠DAE＝，

∴∠EQN＝∠DAE，

∴∠DAN＝∠MQD，

∴tan∠MQD＝，

∴sin∠MQD＝，

∴MQ＝DQ，

∵DQ＋NQ＝(DQ＋NQ)＝(MQ＋NQ)，

∴当M、Q、N三点共线时，DQ＋NQ有最小值MN，

在Rt△AMN中，AN＝2，

∴sin∠MAN＝，∴MN＝×2＝，

∴DQ＋NQ＝×MN＝，∴DQ＋NQ的最小值为．

3.解：(1)∵二次函数经过点A(﹣3，0)、B(1，0)，

∴设抛物线的解析式为y＝a(x＋3)(x﹣1)，

∵点C(0，3)在抛物线上，

∴﹣3a＝3，

∴a＝﹣1，

∴抛物线的解析式为y＝﹣(x＋3)(x﹣1)＝﹣x2﹣2x＋3；

(2)如图1，过点A作AG⊥x轴交BM的延长线于G，

由(1)知，抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x＋3，

设点M(m，﹣m2﹣2m＋3)(﹣3＜m＜0)，

∴S△BCM＝CN(1﹣m)，S△ABM＝S△ABG﹣S△AMG＝AG[(1＋3)﹣(m＋3)]＝AG(1﹣m)，

∴＝＝，

∵ON∥AG，

∴＝，

设ON＝t，则AG＝4t，CN＝3﹣t，

∵BM将四边形ABCM的面积分为1：2两部分时，

∴＝或2，∴，∴，

∴t＝1或t=，∴N(0，1)或N(0，)，

当N(0，1)时，∵B(1，0)，∴直线BM的解析式为y＝﹣x＋1①，

由(1)知，抛物线的解析式为y＝﹣(x＋3)(x﹣1)②，

联立①②解得，或，

∴M(﹣2，3)；

当N(0，)时，∵B(1，0)，∴直线BM的解析式为y＝﹣x＋③，

联立②③解得，或，

∴M(﹣，)；即M(﹣2，3)或()；

(3)如图2，

连接PC，CD，过点C作CH⊥DP于H，

由(1)知，抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2m＋3＝﹣(m﹣1)2＋4，

∴D(﹣1，4)，

∵C(0，3)，

∴CD＝，DH＝1，CH＝1，

∴DH＝CH，

∴∠CDP＝45°，

∵点Q为直线y＝x第一象限上的动点，

∴∠BOQ＝45°＝∠CDP，

∵DP＝OQ，

∴＝，∵＝，∴＝＝，

∴△PCD∽△OBQ，

∴，

∴PC＝OQ，

∴BP＋OQ＝BP＋PC，

连接AP，∵点P是抛物线的对称轴上的点，

∴PC＝PA，

∴BP＋OQ＝BP＋PC＝BP＋PA，

∴当点A，P，C在同一条直线上时，BP＋OQ最小，最小值为AC＝3，

∵A(﹣3，0)，C(0，3)，

∴直线AC的解析式为y＝x＋3，当x＝﹣1时，y＝2，

∴点P(﹣1，2)．

4.解：(1)将点A(﹣1，0)、B(3，0)、C(0，3)代入y＝ax2＋bx＋c中，

得到，解得，

∴y＝﹣x2＋2x＋3；

(2)函数对称轴为直线x＝1，

设G(1，m)，

由已知可得OA＝1，OC＝3，

∵NG⊥x轴，CO⊥x轴，

∴NG∥OC，

∵N(1，0)，

∴ON＝1，

当以O、N、G为顶点的三角形与△AOC相似时，

①△AOC∽△ONG时，

NG＝OC＝3，

∴G(1，3)或G(1，﹣3)；

②当△AOC∽△GNO时，

，即GN＝，

∴G(1，)或G(1，﹣)；

综上所述：以O、N、G为顶点的三角形与△AOC相似时，满足条件的G点坐标为(1，3)或(1，﹣3)或(1，)或(1，﹣)；

(3)当x＝1时，y＝4，∴P(1，4)，

设直线BC的解析式为y＝kx＋m，将点B(3，0)、C(0，3)代入，可得

，解得，

∴y＝﹣x＋3，

过P点作PH∥BC交y轴于点H，∴直线PH的解析式为y＝﹣x＋5，

联立，解得x＝1或x＝2，

∴Q(2，3)或Q(1，4)(舍)；

当x＝0时，y＝5，∴H(0，5)，

∵H点关于C点对称的点为(0，1)，

∴过点(0，1)与直线BC平行的直线解析式为y＝﹣x＋1，

联立，解得x＝或x＝，

∴Q(，)或Q(，)；

综上所述：△QMB与△PMB的面积相等时，Q点坐标为(2，3)或(，)或(，)；

(4)连接CF，在OA上截取OF使得OF＝CF，过点M作MT⊥CF交CF于点T，过点M作MK⊥y轴交CF于点K，在Rt△CTE中，ET＝CE，

∴CE＋ME＝TE＋ME＝TM，此时CE＋ME的值最小；

∵OF＝CF，CO＝3，

∴OF＝，CF＝，

∴F(﹣，0)，

设直线CF的解析式为y＝t'x＋n，

将点C(0，3)，F(﹣，0)代入，可得，

，解得，

∴y＝x＋3，

∵M(1，2)，

∴K(﹣，2)，∴MK＝1＋，

∵MT⊥CF，

∴∠FCO＋∠CKM＝∠CKM＋∠TMK＝90°，

∴∠TMK＝∠FCO，

在Rt△TKM中，MT＝KMcos∠FCO，

∴MT＝(1＋)＝，

∴CE＋ME的最小值为＋．

5.解：(1)由点A、D的坐标得，AD＝，

同理可得，BD＝，

而AB＝3﹣1＝2，故AB2＝AD2＋BD2，

故△ABD为等腰直角三角形，

由B、C的坐标知，OB＝OC，

则∠CBO＝45°，

则∠DBM＝∠CBO＋∠ABD＝90°＝∠ADB＝∠AMB，

故四边形ADBM为矩形，

而AD＝BD，

∴四边形ADBM为正方形；

(2)∵OC＝3，故点C(0，3)，

设抛物线的表达式为y＝ax2＋bx＋c，

将点A、B、C的坐标代入抛物线表达式得：

，解得，

故抛物线的表达式为y＝﹣x2﹣2x＋3；

点B关于抛物线对称轴的对称点为点A．连接CA交对称轴于点P，则点P为所求点，

理由：PC﹣PB＝PC﹣PA＝AC为最大值，

由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为y＝﹣3x＋3，

而抛物线的对称轴为直线x＝(1＋3)＝2，当x＝2时，y＝﹣3x＋3＝﹣3，

故点P的坐标为(2，﹣3)；

(3)存在，理由：在x轴取点A′(﹣1，0)，连接A′C，过点A作AH⊥A′C于点H，交y轴于点Q，则点Q是所求点，

理由：由点A′、C的坐标得，OA′＝1，OC＝3，则CA′＝，

则sin∠HCQ＝＝，

则AQ＋CQ×＝AH＝AQ＋CQsin∠HCQ＝AH为最小，

∵tanCA′O＝3，则tan∠HAA′＝，

而直线AH过点A(1，0)，故其表达式为y＝﹣(x﹣1)，

令x＝0，则y＝，故点Q的坐标为(0，)，则CQ＝3﹣＝

由点A、Q的坐标得，AQ＝，

∴AQ＋QC的最小值＝．

6.解：(1)抛物线的表达式为：y＝a(x＋3)(x﹣1)＝a(x2＋2x﹣3)＝ax2＋2ax﹣3a，

即﹣3a＝3，解得：a＝﹣1，

故抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣2x＋3；

(2)由抛物线的表达式得，点M(﹣1，4)，点N(0，3)，

则tan∠MAC＝2，

则设直线AM的表达式为：y＝2x＋b，

将点A的坐标代入上式并解得：b＝6，

故直线AM的表达式为：y＝2x＋6，

∵∠EFD＝∠DHA＝90°，∠EDF＝∠ADH，

∴∠MAC＝∠DEF，则tan∠DEF＝2，则cos∠DEF＝，

设点E(x，﹣x2﹣2x＋3)，则点D(x，2x＋6)，

则FE＝EDcos∠DEF＝(﹣x2﹣2x＋3﹣2x﹣6)×＝(﹣x2﹣4x﹣3)，

∵﹣＜0，故EF有最大值，此时x＝﹣2，故点D(﹣2，2)；

①点C(﹣1，0)关于y轴的对称点为点B(1，0)，连接BD交y轴于点P，则点P为所求点，

PD＋PC＝PD＋PB＝DB为最小，则BD＝；

②过点O作直线OK，使sin∠NOK＝，过点D作DK⊥OK于点K，交y轴于点Q，则点Q为所求点，

DQ＋OQ＝DQ＋QK＝DK为最小值，

则直线OK的表达式为：y＝x，

∵DK⊥OK，故设直线DK的表达式为：y＝﹣x＋b，

将点D的坐标代入上式并解得：b＝2﹣，

而直线DK的表达式为：y＝﹣x＋2﹣，

故点Q(0，2﹣)，

由直线KD的表达式知，QD与x轴负半轴的夹角(设为α)的正切值为，

则cosα＝，则DQ＝＝＝，而OQ＝(2﹣)，

则DQ＋OQ为最小值＝＋(2﹣)＝．

7.解：(1)∵C(0，﹣2)，

∴OC＝2，

∵tan∠CAO＝1，

∴＝1，

∴OA＝2，A(﹣2，0)，

将A(﹣2，0)，B(3，0)，C(0，﹣2)代入y＝ax2＋bx＋c得：

，解得，

∴抛物线解析式为y＝x2﹣x﹣2；

(2)存在一点Q，使得∠BAQ＝∠ABC，理由如下：

过A作AM∥BC交y轴于M，交抛物线于Q，作M关于x轴的对称点M'，作直线AM'交抛物线于Q'，如图：

∵AM∥BC，

∴∠QAB＝∠ABC，即Q是满足题意的点，

∵B(3，0)，C(0，﹣2)，

∴直线BC解析式是y＝x﹣2，

设直线AM解析式为y＝x＋m，将A(﹣2，0)代入得﹣＋m＝0，

∴m＝，∴直线AM解析式为y＝x＋，M(0，)，

解得 (与A重合，舍去)或，

∴Q(5，)，

∵M、M'关于x轴对称，

∴∠Q'AB＝∠QAB＝∠ABC，M'(0，﹣)，

∴Q'是满足题意的点，

设直线AQ'为y＝kx﹣，将A(﹣2，0)代入得﹣2k﹣＝0，∴k＝﹣，

∴直线AQ'为y＝﹣x﹣，

解得 (舍去)或，

∴Q(1，﹣2)；

综上所述，点Q坐标是(5，)或(1，﹣2)；

(3)在y轴上存在一个点P，使PC＋PD值最小，理由如下：

过P作PH⊥AC于H，过D作DH'⊥AC于H'，交y轴于P'，如图：

∵y＝x2﹣x﹣2＝(x﹣)2﹣，

∴抛物线对称轴是直线x＝，

∴D(，0)，

∵OA＝OC＝2，

∴△AOC是等腰直角三角形，

∴∠OCA＝45°＝∠OAC，

∴△PCH是等腰直角三角形，

∴PH＝PC，

∴PC＋PD最小即是PH＋PD最小，

∴当P运动到P'，H和H'重合时，PC＋PD的最小，最小值是DH'，

∵∠OAC＝45°，DH'⊥AC，∴△ADH'是等腰直角三角形，

∴DH'＝AD，

∵A(﹣2，0)，D(，0)，

∴AD＝，

∴DH'＝，即PC＋PD的最小值是．

8.解：把x＝﹣5代入y＝﹣x＋，解得y＝3，

∴D(﹣5，3)，

把D(﹣5，3)代入y＝ax2﹣2ax﹣8a，解得a＝，

∴抛物线的解析式为；

(2)设直线BD与y轴交于点E，∴E(0，)，

由可得A(﹣2，0)，B(4，0)，C(0，)，

由S△BCD＝S△ABP，

∴CE|xB﹣xD|＝AB|yP|，

∴(﹣)×(4＋5)＝(4＋2)×|yP|，

∴|yP|＝，∴yP＝±，

∵抛物线的顶点为(1，﹣)，∴yP＝，

∴P点坐标为或；

(3)存在点F，使得2AF＋DF的值最小，理由如下：

过点D作DM平行于x轴，故∠BDM＝30°，过F作FH⊥DM于H，

∴sin30°＝，∴HF＝DF，

∴2AF＋DF＝2(AF＋DF)＝2(AF＋HF)＝2AH，

当A、F、H三点共线时，即AH⊥DM时，2AF＋DF取最小值，

∵A(﹣2，0)，

∴F(﹣2，2)，

∵D(﹣5，3)，

∴AH＝3，

∴2AF＋DF的最小值为6．