2023年中考数学二轮复习《压轴题-等腰直角三角形问题》强化练习(含答案)

这是一份2023年中考数学二轮复习《压轴题-等腰直角三角形问题》强化练习(含答案)，共22页。试卷主要包含了如图①，已知抛物线L等内容，欢迎下载使用。
2023年中考数学二轮复习《压轴题-等腰直角三角形问题》强化练习1.如图①，已知抛物线L：y＝x2＋bx＋c经过点A(0，3)，B(1，0)，过点A作AC∥x轴交抛物线于点C，∠AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点．(1)求抛物线的关系式；(2)若动点P在直线OE下方的抛物线上，连结PE、PO，当△OPE面积最大时，求出P点坐标；(3)将抛物线L向上平移h个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在△OAE内(包括△OAE的边界)，求h的取值范围；(4)如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P，使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．            2.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2＋bx＋c(b，c是常数)经过点A(1，0)，点B(0，3)．点P在此抛物线上，其横坐标为m．(1)求此抛物线的解析式．(2)当点P在x轴上方时，结合图象，直接写出m的取值范围．(3)若此抛物线在点P左侧部分(包括点P)的最低点的纵坐标为2﹣m．①求m的值．②以PA为边作等腰直角三角形PAQ，当点Q在此抛物线的对称轴上时，直接写出点Q的坐标．                  3.如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴相交于A，B两点，点C(2，﹣4)在抛物线上，且△ABC是等腰直角三角形．(1)求抛物线的解析式；(2)过点D(2，0)的直线与抛物线交于点M，N，试问：以线段MN为直径的圆是否过定点？证明你的结论．                    4.已知抛物线y＝ax2＋bx﹣2经过(2，2)，且顶点在y轴上．(1)求抛物线解析式；(2)直线y＝kx＋c与抛物线交于A，B两点．①点P在抛物线上，当k＝0，且△ABP为等腰直角三角形时，求c的值；②设直线y＝kx＋c交x轴于点M(m，0)，线段AB的垂直平分线交y轴于点N，当c＝1，m＞6时，求点N纵坐标n的取值范围．                        5.抛物线y＝x2﹣(m＋3)x＋3m与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C(不与点O重合)．(1)若点A在x轴的负半轴上，且△OBC为等腰直角三角形．①求抛物线的解析式；②在抛物线上是否存在一点D，使得点O为△BCD的外心，若存在，请求出点D的坐标，若不存在，请说明理由．(2)点P在抛物线对称轴上，且点P的纵坐标为﹣9，将直线PC向下平移n(1≤n≤4)个单位长度得到直线P′C′，若直线P′C′与抛物线有且只有一个交点，求△ABC面积的取值范围．                     6.如图，二次函数y＝ax2＋bx﹣3(x≤3)的图象过点A(﹣1，0)，B(3，0)，C(0，c)，记为L．将L沿直线x＝3翻折得到“部分抛物线”K，点A，C的对应点分别为点A'，C'．(1)求a，b，c的值；(2)画出“部分抛物线”K的图象，并求出它的解析式；(3)某同学把L和“部分抛物线”K看作一个整体，记为图形“W”，若直线y＝m和图形“W”只有两个交点M，N(点M在点N的左侧)．①直接写出m的取值范围；②若△MNB为等腰直角三角形，求m的值．              7.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2＋bx＋6与x轴交于点A(﹣2，0)和点B(6，0)，与y轴交于点C，顶点为D，联结BC交抛物线的对称轴l于点E．(1)求抛物线的表达式；(2)联结CD、BD，点P是射线DE上的一点，如果S△PDB＝S△CDB，求点P的坐标；(3)点M是线段BE上的一点，点N是对称轴l右侧抛物线上的一点，如果△EMN是以EM为腰的等腰直角三角形，求点M的坐标．                    8.抛物线y＝x2﹣(m＋3)x＋3m与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．(1)如图1，若点A在x轴的负半轴上，△OBC为等腰直角三角形，求抛物线的解析式；(2)在(1)的条件下，点D(﹣2，5)是抛物线上一点，点M为直线BC下方抛物线上一动点，令四边形BDCM的面积为S，求S的最大值及此时点M的坐标；(3)若点P是抛物线对称轴上一点，且点P的纵坐标为﹣9，作直线PC，将直线PC向下平移n(n＞0)个单位长度得到直线P'C'，若直线P'C'与抛物线有且仅有一个交点．①直接写出n关于m的函数关系式；②直接写出当1≤n≤5时m的取值范围．      
参考答案1.解：(1)∵抛物线L：y＝x2＋bx＋c的图象经过点A(0，3)，B(1，0)，∴，解得，∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣4x＋3；(2)如图，过P作PG∥y轴，交OE于点G，设P(m，m2﹣4m＋3)，∵OE平分∠AOB，∠AOB＝90°，∴∠AOE＝45°，∴△AOE是等腰直角三角形，∴AE＝OA＝3，∴E(3，3)，∴直线OE的解析式为：y＝x，∴G(m，m)，∴PG＝m﹣(m2﹣4m＋3)＝﹣m2＋5m﹣3，∴S△OPE＝S△OPG＋S△EPG＝PG•AE＝×3×(﹣m2＋5m﹣3)＝﹣(m2﹣5m＋3)＝﹣(m﹣)2＋，∵﹣＜0，∴当m＝时，△OPE面积最大，此时，P点坐标为(，﹣)；(3)由y＝x2﹣4x＋3＝(x﹣2)2﹣1，得抛物线l的对称轴为直线x＝2，顶点为(2，﹣1)，抛物线L向上平移h个单位长度后顶点为F(2，﹣1＋h)．设直线x＝2交OE于点DM，交AE于点N，则E(2，3)，∵直线OE的解析式为：y＝x，∴M(2，2)，∵点F在△OAE内(包括△OAE的边界)，∴2≤﹣1＋h≤3，解得3≤h≤4；(4)设P(m，m2﹣4m＋3)，分四种情况：①当P在对称轴的左边，且在x轴下方时，如图，过P作MN⊥y轴，交y轴于M，交l于N，∴∠OMP＝∠PNF＝90°，∵△OPF是等腰直角三角形，∴OP＝PF，∠OPF＝90°，∴∠OPM＋∠NPF＝∠PFN＋∠NPF＝90°，∴∠OPM＝∠PFN，∴△OMP≌△PNF(AAS)，∴OM＝PN，∵P(m，m2﹣4m＋3)，则﹣m2＋4m﹣3＝2﹣m，解得：m＝＋(舍)或﹣，∴P的坐标为(﹣，﹣)；②当P在对称轴的左边，且在x轴上方时，同理得：2﹣m＝m2﹣4m＋3，解得：m1＝＋(舍)或m2＝﹣，∴P的坐标为(﹣，＋)；③当P在对称轴的右边，且在x轴下方时，如图，过P作MN⊥x轴于N，过F作FM⊥MN于M，同理得△ONP≌△PMF，∴PN＝FM，则﹣m2＋4m﹣3＝m﹣2，解得：m1＝＋或m2＝﹣(舍)；P的坐标为(＋，﹣)；④当P在对称轴的右边，且在x轴上方时，如图，同理得m2﹣4m＋3＝m﹣2，解得：m＝＋或﹣(舍)，P的坐标为：(＋，＋)；综上所述，点P的坐标是：(﹣，﹣)或(﹣，＋)或(＋，﹣)或(＋，＋)．2.解：(1)将(1，0)，(0，3)代入y＝x2＋bx＋c得，解得，∴y＝x2﹣4x＋3．(2)令x2﹣4x＋3＝0，解得x1＝1，x2＝3，∴抛物线与x轴交点坐标为(1，0)，(3，0)，∵抛物线开口向上，∴m＜1或m＞3时，点P在x轴上方．(3)①∵y＝x2﹣4x＋3＝(x﹣2)2﹣1，∴抛物线顶点坐标为(2，﹣1)，对称轴为直线x＝2，当m＞2时，抛物线顶点为最低点，∴﹣1＝2﹣m，解得m＝3，当m≤2时，点P为最低点，将x＝m代入y＝x2﹣4x＋3得y＝m2﹣4m＋3，∴m2﹣4m＋3＝2﹣m，解得m1＝＋(舍)，m2＝﹣．∴m＝3或m＝﹣．②当m＝3时，点P在x轴上，AP＝2，∵抛物线顶点坐标为(2，﹣1)，∴点Q坐标为(2，﹣1)或(2，1)符合题意．当m＝﹣时，如图，∠QPA＝90°过点P作y轴平行线，交x轴于点F，作QE⊥PF于点E，∵∠QPE＋∠APF＝∠APF＋∠PAF＝90°，∴∠QPE＝∠PAF，又∵∠QEP＝∠PFA＝90°，QP＝PA，∴△QEP≌△PFA(AAS)，∴QE＝PF，即2﹣m＝m2﹣4m＋3，解得m1＝＋(舍)，m2＝﹣．∴PF＝2﹣﹣，AF＝PE＝1﹣﹣，∴EF＝PF＋PE＝2﹣﹣＋1﹣﹣＝，∴点Q坐标为(2，)．综上所述，点Q坐标为(2，﹣1)或(2，1)或(2，)．3.解：连接AC、BC，过点C作CP垂直于x轴于点P．在Rt△CAB中，AC＝BC，CP⊥AB，点C(2，﹣4)，∴CP＝AP＝PB＝4，OP＝2，∴OA＝AP﹣OP＝4﹣2＝2，OB＝OP＋PB＝4＋2＝6，∴点A(﹣2，0)，点B(6，0)，把点A(﹣2，0)，点B(6，0)，点C(2，﹣4)代入函数解析式得，解得，∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣x﹣3．故答案为：y＝x2﹣x﹣3．(2)设过点D(2，0)的直线MN解析式为y＝k(x﹣2)＝kx﹣2k，联立直线与抛物线解析式得关于x的等式：kx﹣2k＝x2﹣x﹣3，化简得＝0，xN＋xM＝﹣＝4(k＋1)，xNxM＝＝8k﹣12.①，联立直线与抛物线解析式得关于y的等式：y＝(＋2)2﹣(＋2)﹣3，化简得y2＋(﹣﹣1)y﹣4＝0，yM＋yN＝4k2，yMyN＝﹣16k2..②，线段MN的中点就是圆的圆心，∴xO＝(xN＋xM)＝2(K＋1)，代入直线方程得yO＝2k2，∴圆心坐标为(2k＋2，2k2)，直径MN＝＝，把①、②代入上式化简整理得直径MN＝，设圆上某一点(x，y)到圆心的距离等于半径，∴＝，化简整理得16k2＋12﹣8k＝x2﹣4kx﹣4x＋y2﹣4k2y＝﹣4yk2﹣4kx＋x2﹣4x＋y2，圆过定点，所以与k值无关，看作是关于k的二次等式，k2、k的系数，常量对应相等，得﹣8＝﹣4x，x＝2，16＝﹣4y，y＝﹣4，由以上分析，所以以MN为直径的圆过定点(2，﹣4)．故答案为：以线段MN为直径的圆过定点(2，﹣4)．4.解：(1)∵顶点在y轴上，∴b＝0，∵抛物线y＝ax2＋bx﹣2经过(2，2)，∴4a﹣2＝2，∴a＝1，∴y＝x2﹣2；(2)①当k＝0时，y＝c，联立，∴A(，c)，B(﹣，c)，∵△ABP为等腰直角三角形，∴P点在AB的垂直平分线上，∴P点在抛物线的顶点(0，﹣2)处，∵AB＝2，AP＝BP＝，∴2[c＋2＋(c＋2)2]＝4(c＋2)，∴c＝0；②∵c＝1，∴y＝kx＋1，∴m＝﹣，由题意可知，k＜0，∵m＞6，∴﹣＜k＜0，联立，∴x2﹣kx﹣2＝0，∴xA＋xB＝k，∴AB的中点为(，＋1)，设AB的线段垂直平分线所在直线解析式为y＝k'x＋b，∴与x轴的交点P(﹣，0)，与y轴的交点为N(0，b)，∵PN⊥AB，∴∠PNO＝∠AMO，∴＝，∴k'＝m＝﹣，∴y＝﹣x＋b，∴线段AB的垂直平分线为y＝﹣x＋＋，∴N点纵坐标为n＝＋，∴＜n＜．5.解：(1)①令y＝0，则x2﹣(m＋3)x＋3m＝0，解得x＝3或x＝m，∴A(m，0)，B(3，0)，令x＝0，则y＝3m，∴C(0，3m)，∵△OBC为等腰直角三角形，∴﹣3m＝3解得m＝﹣1，∴y＝x2﹣2x﹣3；②存在一点D，使得点O为△BCD的外心，理由如下：∵点O为△BCD的外心，∴OB＝OC＝OD＝3，设D(t，t2﹣2t﹣3)，∴3＝，解得t＝，∴D(，)或(，)；(2)∵y＝x2﹣(m＋3)x＋3m，∴抛物线的对称轴为直线x＝，∵点P的纵坐标为﹣9，∴P(，﹣9)，设直线PC的解析式为y＝kx＋b，∴，解得，∴y＝﹣6x＋3m，∴平移后的直线P'C'的解析式为y＝﹣6x＋3m﹣n，联立方程组，整理得，x2﹣(m﹣3)x＋n＝0，∵直线P′C′与抛物线有且只有一个交点，∴Δ＝(m﹣3)2﹣4n＝0，∴n＝，∵1≤n≤4，∴1≤≤4，∴﹣1≤m≤1或5≤m≤7，∵A(m，0)，B(3，0)，∴AB＝3﹣m，∴S△ABC＝×(3﹣m)×(﹣3m)＝(m﹣)2﹣，当﹣1≤m≤1时，0＜S△ABC≤6；5≤m≤7时，15≤S△ABC≤42．6.解：(1)将A(﹣1，0)，B(3，0)代入y＝ax2＋bx﹣3，∴，解得，∴y＝x2﹣2x﹣3，将C(0，c)代入y＝x2﹣2x﹣3，可得c＝﹣3；(2)A(﹣1，0)，B(3，0)，C(0，﹣3)关于x＝3对称的点分别为A'(7，0)，B(3，0)，C(6，﹣3)，设抛物线的解析式为y＝x2＋b'x＋c'，∴，解得，∴y＝x2﹣10x＋21；(3)①∵y＝x2﹣2x﹣3＝(x﹣1)2﹣4，∴抛物线的顶点为(1，﹣4)，∴当m＝﹣4时，直线y＝m和图形“W”只有两个交点；当m＞0时，直线y＝m和图形“W”只有两个交点；∴m＞0或m＝﹣4时，直线y＝m和图形“W”只有两个交点；②当m＝﹣4时，M(1，﹣4)，N(5，﹣4)，∴BM＝BN，∴△MNB是等腰三角形但不是直角三角形；当m＞0时，M(1﹣，m)，N(5＋，m)，∴BM＝BN，当BM⊥AM时，2＋＝m，解得m＝0(舍)或m＝5，∴m＝5．7.解：(1)将A(﹣2，0)，B(6，0)代入y＝ax2＋bx＋6，得：，解得：，∴二次函数的解析式为y＝﹣x2＋2x＋6；(2)如图：∵y＝﹣x2＋2x＋6＝﹣(x﹣2)2＋8，∴C(0，6)、D(2，8)，∵B(6，0)，∴BC＝6，CD＝2，BD＝4，∴BC2＋CD2＝BD2，∴△BCD是直角三角形，∠BCD＝90°，∴S△BCD＝BC•CD＝12，∵S△PDB＝PD•(6﹣2)＝2PD＝S△CDB＝12，∴PD＝6，∴P(2，2)；(3)∵B(6，0)，C(0，6)．∴直线BC的解析式为y＝﹣x＋6，OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB＝45°，∵y＝﹣x2＋2x＋6，∴对称轴l为x＝2，当x＝2时，y＝﹣x＋6＝4，∴E(2，4)，设M(m，﹣m＋6)，且2＜m＜6，①当∠MEN＝90°，EM＝EN时，过点E作EH⊥MN于H，∴MN＝2EH，∠EMN＝∠ENM＝45°，∵∠OBC＝∠OCB＝45°，∴∠NME＝∠OCB，∴MN∥y轴，∴N(m，﹣m2＋2m＋6)，∴MN＝﹣m2＋2m＋6＋m﹣6＝﹣m2＋3m，EH＝m﹣2，∴﹣m2＋3m＝2(m﹣2)，解得m＝4或m＝﹣2(不合题意，舍去)，∴M(4，2)；②当∠EMN＝90°，EM＝MN时，∴EH＝NH＝MH＝EN，∠MEN＝∠ENM＝45°，∵∠OBC＝∠OCB＝45°，∴∠MEN＝∠OBC，∴EN∥x轴，∴点N的纵坐标为4，当y＝4时，﹣x2＋2x＋6＝4，解得x＝2＋2或x＝2﹣2(不合题意，舍去)，∴N(2＋2，4)，∴EN＝2＋2﹣2＝2，∴EH＝MH＝EN＝，∴m＝2＋，∴M(2＋，4﹣)；综上所述，点M的坐标为(4，2)或(2＋，4﹣)．8.解：(1)令y＝0，则x2﹣(m＋3)x＋3m＝0，解得x＝3或x＝﹣m，∴A(﹣m，0)，B(3，0)，令x＝0，则y＝3m，∴C(0，3m)，∵△OBC为等腰直角三角形，∴3＝﹣3m，∴m＝﹣1，∴y＝x2﹣2x﹣3；(2)由(1)知A(﹣1，0)，D(﹣2，5)，∴AB＝4，∴S△BDC＝5×8﹣×2×8﹣×3×3﹣×5×5＝15，过点M作MQ∥y轴交直线BC于点Q，设直线BC的解析式为y＝kx＋b，∴，解得，∴y＝x﹣3，设M(m，m2﹣2m﹣3)，则Q(m，m﹣3)，∴MQ＝﹣m2＋3m，∴S△BCM＝×3×(﹣m2＋3m)＝﹣(m﹣)2＋，∴S＝15﹣(m﹣)2＋，∴当m＝时，S有最大值15＋＝，此时M(，﹣)；(3)①y＝x2﹣(m＋3)x＋3m的对称轴为直线x＝，∴P(，﹣9)，设直线PC的解析式为y＝k'x＋b'，∴，解得，∴y＝﹣6x＋3m，∴直线PC平移后的直线P'C'的解析式为y＝﹣6x＋3m﹣n，联立方程组，整理得x2﹣(m﹣3)x＋n＝0，∵直线P'C'与抛物线有且仅有一个交点，∴Δ＝(m﹣3)2﹣4n＝0，∴n＝(m﹣3)2；②当n＝1时，m＝1或m＝5，当n＝5时，m＝2＋3或m＝﹣2＋3，∴﹣2＋3≤m≤1或5≤m≤2＋3．