2023年中考数学二轮复习《压轴题-计算与证明综合问题》强化练习(含答案)

这是一份2023年中考数学二轮复习《压轴题-计算与证明综合问题》强化练习(含答案)，共18页。试卷主要包含了已知抛物线y＝a．，对某一个函数给出如下定义等内容，欢迎下载使用。
2023年中考数学二轮复习《压轴题-计算与证明综合问题》强化练习1.在平面直角坐标系中，如果点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为和谐点．例如：点(1，1)，(，)，(﹣，﹣)，……都是和谐点．(1)判断函数y＝2x＋1的图象上是否存在和谐点，若存在，求出其和谐点的坐标；(2)若二次函数y＝ax2＋6x＋c(a≠0)的图象上有且只有一个和谐点(，)．①求a，c的值；②若1≤x≤m时，函数y＝ax2＋6x＋c＋(a≠0)的最小值为﹣1，最大值为3，求实数m的取值范围．                   2.设一次函数y1＝2x＋m＋n和二次函数y2＝x(2x＋m)＋n．(1)求证：y1，y2的图象必有交点；(2)若m＞0，y1，y2的图象交于点A(x1，a)、B(x2，b)，其中x1＜x2，设C(x3，b)为y2图象上一点，且x3≠x2，求x3﹣x1的值；(3)在(2)的条件下，如果存在点D(x1＋2，c)在y2的图象上，且a＞c，求m的取值范围．                        3.已知抛物线y＝a(x﹣1)(x﹣)．(1)若抛物线过点(2，1)，求抛物线的解析式；(2)若该抛物线上任意不同两点M(x1，y1)、N(x2，y2)都满足：当x1＜x2＜0时，(x1﹣x2)(y1﹣y2)＞0；当0＜x1＜x2时，(x1﹣x2)(y1﹣y2)＜0，试判断点(2，﹣9)在不在此抛物线上；(3)抛物线上有两点E(0，n)、F(b，m)，当b≤﹣2时，m≤n恒成立，试求a的取值范围．                       4.在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2mx＋m2与y轴的交点为A，过点A作直线l垂直于y轴．(1)求抛物线的对称轴(用含m的式子表示)；(2)将抛物线在y轴右侧的部分沿直线l翻折，其余部分保持不变，组成图形G，点M(x1，y1)，N(x2，y2)为图形G上任意两点．①当m＝0时，若x1＜x2，判断y1与y2的大小关系，并说明理由；②若对于x1＝m﹣1，x2＝m＋1，都有y1＞y2，求m的取值范围；(3)当图象G与直线y＝m＋2恰好有3个公共点时，直接写出m的取值范围．                      5.已知二次函数y＝ax2﹣x＋c的图象经过点A(﹣2，2)，该图象与直线x＝2相交于点B．(1)求点B的坐标；(2)当c＞0时，求该函数的图象顶点纵坐标的最小值；(3)点M(m，0)、N(n，0)是该函数图象与x轴的两个交点．当m＞﹣2，n＜3时，结合函数图象分析a的取值范围．                        6.已知抛物线y＝ax2﹣(3a﹣1)x﹣2(a为常数且a≠0)与y轴交于点A．(1)点A的坐标为 　   　；对称轴为 　   　(用含a的代数式表示)；(2)无论a取何值，抛物线都过定点B(与点A不重合)，则点B的坐标为 　   　；(3)若a＜0，且自变量x满足﹣1≤x≤3时，图象最高点的纵坐标为2，求抛物线的表达式；(4)将点A与点B之间的函数图象记作图象M(包含点A、B)，若将M在直线y＝﹣2下方的部分保持不变，上方的部分沿直线y＝﹣2进行翻折，可以得到新的函数图象M1，若图象M1上仅存在两个点到直线y＝﹣6的距离为2，求a的值．                      7.已知抛物线y＝(x﹣n)(x＋n)＋c的图象经过坐标原点O．(1)求抛物线解析式．(2)若B，C是抛物线上两动点，直线BC：y＝kx＋b恒过点(0，1)，设直线OB为y＝k1x，直线OC为y＝k2x．①若B、C两点关于y轴对称，求k1k2的值．②求证：无论k为何值，k1k2为定值．                       8.对某一个函数给出如下定义：如果存在实数M，对于任意的函数值y，都满足y≤M，那么称这个函数是有上界函数．在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的上确界．例如，函数y＝﹣(x﹣3)2＋2是有上界函数，其上确界是2．(1)函数①y＝x2＋2x＋1和②y＝2x﹣3(x≤5)中是有上界函数的为 　 　(只填序号即可)，其上确界为 　 　；(2)若反比例函数y＝(a≤x≤b，a＞0)的上确界是b＋1，且该函数的最小值为2，求a、b的值；(3)如果函数y＝﹣x2＋2ax＋2(﹣1≤x≤3)是以6为上确界的有上界函数，求实数a的值．      
参考答案1.解：(1)存在和谐点，理由如下，设函数y＝2x＋1的和谐点为(x，x)，∴2x＋1＝x，解得x＝﹣1，∴和谐点为(﹣1，﹣1)；(2)①∵点(，)是二次函数y＝ax2＋6x＋c(a≠0)的和谐点，∴＝a＋15＋c，∴c＝﹣a﹣12.5，∵二次函数y＝ax2＋6x＋c(a≠0)的图象上有且只有一个和谐点，∴ax2＋6x＋c＝x有且只有一个根，∴Δ＝25﹣4ac＝0，∴a＝﹣1，c＝﹣；②由①可知y＝﹣x2＋6x﹣6＝﹣(x﹣3)2＋3，∴抛物线的对称轴为直线x＝3，当x＝1时，y＝﹣1，当x＝3时，y＝3，当x＝5时，y＝﹣1，∵函数的最大值为3，最小值为﹣1；当3≤m≤5时，函数的最大值为3，最小值为﹣1．2.(1)证明：当y1＝y2时，得2x＋m＋n＝x(2x＋m)＋n，化简为：2x2＋(m﹣2)x﹣m＝0，△＝(m﹣2)2＋8m＝(m＋2)2≥0，∴方程2x＋m＋n＝x(2x＋m)＋n有解，∴y1，y2的图象必有交点；(2)解：当y1＝y2时，2x＋m＋n＝x(2x＋m)＋n，化简为：2x2＋(m﹣2)x﹣m＝0，(2x＋m)(x﹣1)＝0，∵m＞0，x1＜x2，∴x1＝﹣m，x2＝1，∴b＝2＋m＋n，当y＝2＋m＋n时，y2＝x(2x＋m)＋n＝2＋m＋n，化简为：2x2＋mx﹣m﹣2＝0，2x2﹣2＋mx﹣m＝0，2(x＋1)(x﹣1)＋m(x﹣1)＝0，(2x＋m＋2)(x﹣1)＝0，解得，x＝1(等于x2)，或x＝﹣m﹣1，∴x3＝﹣m﹣1，∴x3﹣x1＝﹣1；(3)解：∵点D(x1＋2，c)在y2的图象上，∴c＝(x1＋2)[2(x1＋2)＋m]＋n＝2(x1＋2)2＋m(x1＋2)＋n．∵点A(x1，a)在y2的图象上，∴a＝x1(2x1＋m)＋n．∵a＞c，∴a﹣c＞0，∴x1(2x1＋m)＋n﹣2(x1＋2)2﹣m(x1＋2)﹣n＞0，化简得4x1＋4＋m＜0，由(2)得x1＝﹣m，∴4×(﹣m)＋4＋m＜0，﹣2m＋4＋m＜0，﹣m＋4＜0，m＞4，∴m的取值范围为m＞4．3.解：(1)将(2，1)代入y＝a(x﹣1)(x﹣)得1＝a(2﹣)，解得a＝2，∴y＝2(x﹣1)(x﹣)．(2)∵y＝a(x﹣1)(x﹣)，∴抛物线与x轴交点坐标为(1，0)，(，0)，∴抛物线对称轴为直线x＝，∵x1＜x2＜0时，(x1﹣x2)(y1﹣y2)＞0，0＜x1＜x2时，(x1﹣x2)(y1﹣y2)＜0，∴抛物线对称轴为值x＝0，即1＋＝0，解得a＝﹣3，∴y＝﹣3(x﹣1)(x＋1)，将x＝2代入y＝﹣3(x﹣1)(x＋1)得y＝﹣9，∴点(2，﹣9)在抛物线上．(3)∵抛物线对称轴为直线x＝，∴点E(0，n)关于对称轴对称的点E'(1＋，n)，∵当b≤﹣2时，m≤n恒成立，∴抛物线开口向下，即a＜0，且﹣2≤1＋，解得a≤﹣1．4.解：(1)抛物线y＝x2﹣2mx＋m2的对称轴为直线x＝m；(2)①当m＝0时，二次函数解析式是y＝x2，对称轴为y轴，∴图形G如图1所示：：图形G上的点的横纵坐标x和y，满足y随x的增大而减小，∵x1＜x2，∴y1＞y2；②通过计算可得，P(m﹣1，1)，Q(m＋1，1)为抛物线上关于对称轴x＝m对称的两点，下面讨论当m变化时，y轴与点P、Q的相对位置：如图2所示：当y轴在点P左侧时(含点P)，经翻折后，得到点M、N的纵坐标相同，y1＝y2，不符合题意；如图3所示：当y轴在点Q右侧时(含点Q)，点M，N分别和点P、Q重合，y1＝y2，不符合题意；如图4所示：当y轴在点P、Q之间时(不含P、Q)，经翻折后，点N在l下方，点M、P重合，在l上方，y1＞y2，符合题意，此时有m﹣1＜0＜m＋1，∴﹣1＜m＜1，综上所述：m的取值范围为﹣1＜m＜1；(3)当m＞0时，如图所示∵抛物线y＝x2﹣2m＋m2翻折后y＝﹣(x﹣m)2＋2m2，∴图象G与直线：y＝m＋2恰好有3个公共点在点A、B之间，∴，∴解得＜m＜2；当m＜0时，如图所示，∴图象G与直线y＝m＋2恰好有3个公共点时，∴，∴解得：﹣2＜m＜﹣1．综上所述，m的取值范围为：＜m＜2或﹣2＜m＜﹣1．5.解：(1)将(﹣2，2)代入y＝ax2﹣x＋c得2＝4a＋2＋c，∴4a＋c＝0，将x＝2代入y＝ax2﹣x＋c得y＝4a﹣2＋c＝﹣2，∴点B坐标为(2，﹣2)．(2)∵4a＋c＝0，∴c＝﹣4a，∵c＞0，∴a＜0，∵y＝ax2﹣x＋c，∴抛物线顶点纵坐标为＝c﹣＝c＋，∵a2＋b2﹣2ab＝(a﹣b)2≥0，∴a2＋b2≥2ab，∴a＝b时，a2＋b2＝2ab为最小值，∴当c＝时，c＋取最小值，解得c＝﹣1(舍)或c＝1，∴c＋最小值为2，即图象顶点纵坐标的最小值为2．(3)如图，抛物线y＝ax2﹣x﹣4a开口向上，∵抛物线经过定点A(﹣2，2)，B(2，﹣2)，m＞﹣2，n＜3，∴n＝3时，y＞0，∴，解得a＞．如图，抛物线开口向下，点N在点A左侧，n＜﹣2满足题意，点M在点A右侧点B左侧，m＞﹣2满足题意，∴a＜0符合题意．综上所述，a＞或a＜0．6.解：(1)令x＝0，则y＝﹣2，∴A(0，﹣2)；抛物线y＝ax2﹣(3a﹣1)x﹣2的对称轴为直线x＝﹣＝，故答案为：(0，﹣2)；x＝；(2)∵抛物线y＝ax2﹣(3a﹣1)x﹣2＝ax2﹣3ax＋x﹣2＝(x2﹣3x)a＋x﹣2，又无论a取何值，抛物线都过定点B(与点A不重合)，∴x2﹣3x＝0，∴x＝3，∵当x＝3时，y＝x﹣2＝1，∴B(3，1)，故答案为：(3，1)；(3)∵a＜0，∴抛物线y＝ax2﹣(3a﹣1)x﹣2开口方向向下．由(1)知：抛物线y＝ax2﹣(3a﹣1)x﹣2的对称轴为直线x＝，①若≤﹣1，则a≥，与a＜0矛盾，不合题意；②若﹣1＜＜3，则a＜﹣，此时，抛物线的顶点为图象最高点，即当x＝时，函数y的值为2，∴a×﹣(3a﹣1)×﹣2＝0，解得：a＝﹣1或a＝﹣(不合题意，舍去)．∴a＝﹣1；③若≥3，则﹣≤a＜0，此时，点(3，2)是满足﹣1≤x≤3时，图象的最高点，∵9a﹣3(3a﹣1)﹣2＝1≠2，∴此种情况不存在，综上，满足条件的抛物线的表达式为y＝﹣x2＋4x﹣2；(4)∵B(3，1)，∴将点B沿直线y＝﹣2进行翻折后得到的对称点的坐标为B′(3，﹣5)，∴点B′到直线y＝﹣6的距离为1．①当a＞0时，∵图象M1上仅存在两个点到直线y＝﹣6的距离为2，∴此时，抛物线的顶点的纵坐标为﹣4，∴＝﹣4，解得：a＝，∴a＝或；②当a＜0时，∵点B′到直线y＝﹣6的距离为1，∴图象M1上仅存在一个点到直线y＝﹣6的距离为2，综上，若图象M1上仅存在两个点到直线y＝﹣6的距离为2，a的值为或．7.解：(1)由题意，把(0，0)代入y＝(x﹣n)(x＋n)＋c，得0＝﹣n2＋c，∴c＝n2，∴y＝，∴抛物线解析式为y＝x2；(2)解：①由题意得，B、C两点关于y轴对称，设B(﹣t，1)，C(t，1)，t＞0，∴t2＝1，解得：t＝±，∴代入OB为y＝k1x，直线OC为y＝k2x，∴∴即；②证明：由题知，直线BC：y＝kx＋1：联立得：，得：，∴x1＋x2＝2k，x1x2＝﹣2，∵点B在直线OB上，∴kx1＋1＝k1x1，即，∵点C在直线OC上，∴kx2＋1＝k2x2，即，∴＝＝＝，即无论k为何值，k1k2为定值，值为-．8.解：(1)∵y＝x2＋2x＋1＝(x＋1)2，∴y≥0，∴y＝x2＋2x＋1没有上界函数；∵y＝2x﹣3(x≤5)，∴y≤7，∴y＝2x﹣3(x≤5)有上界函数，上确界为7，故答案为：②，7；(2)∵y＝(a≤x≤b，a＞0)，∴当x＝a时，y有最大值，当x＝b时，y有最小值，∴≤y≤，∵函数上确界是b＋1，∴＝b＋1，∵函数的最小值为2，∴＝2，∴b＝3，∴a＝；(3)∵y＝﹣x2＋2ax＋2＝﹣(x﹣a)2＋a2＋2，∴当x＝a时，y有最大值a2＋2，①a≤﹣1时，x＝﹣1，y有最大值1﹣2a，∵6为上确界，∴1﹣2a＝6，∴a＝﹣；②a≥3时，x＝3时，y有最大值6a﹣7，∵6为上确界，∴6a﹣7＝6，∴a＝(舍)；③﹣1＜a＜3时，x＝a时，y有最大值a2＋2，∵6为上确界，∴a2＋2＝6，∴a＝2或a＝﹣2(舍)；综上所述：a的值为﹣或2．