中考数学复习之线段和差最值问题胡不归问题

中考数学复习线段和差最值系列之“胡不归”问题

从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A到家B之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？…”（“胡”同“何”）

而如果先沿着驿道AC先走一段，再走砂石地，会不会更早些到家？数学家们于是建立起模型来解决这个问题.

【模型建立】

如图，一动点P在直线MN外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为V2，且V1<V2，A、B为定点，点C在直线MN上，确定点C的位置使的值最小．

【问题分析】

，记，即求BC+kAC的最小值．

【问题解决】

构造射线AD使得sin∠DAN=k，CH/AC=k，CH=kAC．

将问题转化为求BC+CH最小值，过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小．

【模型总结】

在求形如“PA+kPB”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将“PA+kPB”型问题转化为“PA+PC”型．

而这里的PB必须是一条方向不变的线段，方能构造定角利用三角函数得到kPB的等线段．

例：如图，△ABC中，AB=AC=10，tanA=2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则的最小值是_______．

【分析】本题关键在于处理“”，考虑tanA=2，△ABE三边之比为，，故作DH⊥AB交AB于H点，则．

问题转化为CD+DH最小值，故C、D、H共线时值最小，此时．

【小结】本题简单在于题目已经将BA线作出来，只需分析角度的三角函数值，作出垂线DH，即可解决问题，若稍作改变，将图形改造如下：

则需自行构造α，如下图，这一步正是解决“胡不归”问题关键所在．

练习题

1.如图，平行四边形ABCD中，∠DAB=60°，AB=6，BC=2，P为边CD上的一动点，则的最小值等于________．

2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，则AB＝2BC．若AC＝2，点D是AB的中点，P为边CD上一动点，则AP+CP的最小值为_______

3.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+3x﹣4的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B，若P是x轴上一动点，点Q（0，2）在y轴上，连接PQ，则PQ+PC的最小值是_______

4．如图，平面直角坐标系中，一次函数分别交x轴、y轴于A、B两点，若C是x轴上的动点，则2BC+AC的最小值__________

5.如图，在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝60°，AB＝2，若D是BC边上一动点，则AD+DC的最小值为________

6.如图．在平面直角坐标系xOy中，点A坐标为（0，），点C坐标为（2，0），点B为线段OA上一个动点，则AB+BC的最小值为_______

7. 如图，在△ABC中，∠A＝15°，AB＝10，P为AC边上的一个动点（不与A、C重合），连接BP，则AP+PB的最小值是________

8.如图，△ABC中，AB＝AC＝10，∠A＝45°，BD是△ABC的边AC上的高，点P是BD上动点，则BP+CP的最小值是（　　）

9.在△ABC中，∠ACB＝90°，P为AC上一动点，若BC＝4，AC＝6，则BP+AP的最小值为________.

10．如图所示，菱形ABCO的边长为5，对角线OB的长为，P为OB上一动点，则AP+OP的最小值为__________.

11.如图，△ABC为等边三角形，BD平分∠ABC，△ABC的面积为，点P为BD上动点，连接AP，则AP+BP的最小值为 　   　．

12.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝60°，BC＝20cm，E是∠BAC平分线AD上一点．现有一动点P沿着折线A﹣E﹣C运动，在AE上的速度是每秒4cm，在EC上的速度是每秒2cm，则点P从点A到点C的运动过程至少需_________s．

13.如图，直角三角形ABC中，∠A＝30°，BC＝1，AC=，BD是∠ABC的平分线，点P是线段BD上的动点，求CP+BP的最小值 　   　．

14.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝6．点D是在边BC上的动点，则BD+AD的最小值是 　   　．

15.如图，矩形ABCD中，点P是AD边上的动点，AB＝2，BC＝3，以PC为边作如图所示的矩形PEFC，且PE：EF＝2：3，则2PB+3CF的最小值是 　   　．

16.如图，已知抛物线（k为常数，且k>0）与轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线与抛物线的另一交点为D．

（1）若点D的横坐标为-5，求抛物线的函数表达式；

（2）在（1）的条件下，设F为线段BD上一点（不含端点），连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止，当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？

17.抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左边），与y轴交于点C．点P是直线AC上方抛物线上一点，PF⊥x轴于点F，PF与线段AC交于点E；将线段OB沿x轴左右平移，线段OB的对应线段是O1B1，当的值最大时，求四边形PO1B1C周长的最小值，并求出对应的点O1的坐标．（为突出问题，删去了两个小问）

参考答案

1.3   2.      3.3      4.6     5.6      6.       7.5      8.5

9.10      10.4       11.      12.5     13.     14.4+         15.10

16.(1)   (2)F(-2，2)    17.O1(，0) 最小值