中考经典几何模型与最值问题 专题14 胡不归中的双线段模型与最值问题试卷

中考经典几何模型与最值问题

每年中考高考，数学都是很受关注的一门学科。每次数学中考结束，相当一部分学生的心情都不轻松。比如今年的广东省数学中考，由于题目很难，据说学霸在考场上都忍不住抽泣。学是一门强调思维、技能和方法的学科。学生好数学，刷题真的是必不可少的，但如果盲目刷题，有可能达不到效果。如果有效刷题，有效学生，有一点很重要，那就是搜集经典题目，汇总经典题型，尤其是对一些经典的数学模型，多解题或者易错题，不妨专门用一个本子搜集一下，整理一下，考前复习一下，效果会很不错。

今天整理一下初三中考总复习阶段在教学过程中收集的一些经典题目，今天分享经典最值问题专题，供大家学习复习参考。

经典题目1：这是一道非常经典的最值问题，题干看似很简单，其中包含了两个经典的数学最值模型将军饮马和一箭穿心。对于利用一穿心求圆外一点到圆上的最大值和最小值问题，弄懂这道题就够了。

经典题目2：上面三道题是费马点经典问题，关于费马点，弄懂这三道题也就差不多了。旋转转化是费马点问题的关键，其核心思想是化折为直，掌握关键技巧，掌握核心思想，才能解决一类数学题目。

经典题目3：阿氏圆经典题目，这道题目实际包括了隐圆模型，一箭穿心模型等常见几何模型，核心思想依旧是化值为直，构造子母相似三角形实现线段的转化。

经典题目4：这是中考出现频率比较高的胡不归问题，也是经典最值问题，这是一个有历史故事的最值问题。构造锐角三角函数实现线段的转化，利用垂线段最短解决问题。

经典题目5：这道题目也是一道比较好的题目，题目类型可总结为“瓜豆原理”和“一箭穿心”，也是常见的最值问题之一。

经典题目6：以这道题目来结尾，这是初一年级经典最短路径问题，也是一道非常好的最值问题，是其他最值问题的基础版本。更多好题分享，请稍候。

专题2 胡不归中的双线段模型与最值问题

【专题说明】

【模型展示】

如图，一动点P在直线MN外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为V2，且V1<V2，A、B为定点，点C在直线MN上，确定点C的位置使的值最小．

，记，

即求BC+kAC的最小值．

构造射线AD使得sin∠DAN=k，CH/AC=k，CH=kAC．

将问题转化为求BC+CH最小值，过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小．在求形如“PA+kPB”式子最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将“PA+kPB”型问题转化为“PA+PC”型．

【例题】

1、在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与轴交于点、(点在点的左侧)，，经过点的一次函数的图象与轴正半轴交于点，且与抛物线的另一个交点为，的面积为5．

(1)求抛物线和一次函数的解析式；

(2)抛物线上的动点在一次函数的图象下方，求面积的最大值，并求出此时点E的坐标；

(3)若点为轴上任意一点，在(2)的结论下，求的最小值．

【解析】

 (1)将二次函数的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线解析式为，

∵，∴点的坐标为，

代入抛物线的解析式得，，∴，

∴抛物线的解析式为，即．

令，解得，，∴，

∴，

∵的面积为5，∴，∴，

代入抛物线解析式得，，解得，，∴，

设直线的解析式为，

∴，解得：，

∴直线的解析式为．

(2)过点作轴交于，如图，设，则，

∴，

∴，

∴当时，的面积有最大值，最大值是，此时点坐标为．

(3)作关于轴的对称点，连接交轴于点，过点作于点，交轴于点，

∵，，∴，，∴，

∵，∴，∴，

∵、关于轴对称，∴，

∴，此时最小，

∵，，∴，

∴．∴的最小值是3．

2、如图，△ABC中，AB＝AC＝10，tanA＝2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则的最小值是？

【解析】

如图，作DH⊥AB于H，CM⊥AB于M．

∵BE⊥AC，∴∠AEB=90°，

∵tanA==2，设AE=a，BE=2a，

则有：100=a2+4a2，∴a2=20，∴a=2或-2（舍弃），∴BE=2a=4，

∵AB=AC，BE⊥AC，CM⊥AB，∴CM=BE=4（等腰三角形两腰上的高相等））

∵∠DBH=∠ABE，∠BHD=∠BEA，∴，

∴DH=BD，

∴CD+BD=CD+DH，

∴CD+DH≥CM，

∴CD+BD≥4，

∴CD+BD的最小值为4．

3、已知抛物线过点，两点，与y轴交于点C，．

(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标；

(2)过点A作，垂足为M，求证：四边形ADBM为正方形；

(3)点P为抛物线在直线BC下方图形上的一动点，当面积最大时，求点P的坐标；

(4)若点Q为线段OC上的一动点，问：是否存在最小值？若存在，求岀这个最小值；若不存在，请说明理由．

【解析】

(1)函数的表达式为：，即：，解得：，

故抛物线的表达式为：，则顶点；

(2)，，

∵A(1,0)，B(3,0)，∴ OB=3，OA=1，∴AB=2，

∴，

又∵D(2，-1)，∴AD=BD=，

∴AM=MB=AD=BD，∴四边形ADBM为菱形，

又∵，菱形ADBM为正方形；

(3)设直线BC的解析式为y=mx+n，

将点B、C的坐标代入得：，解得：，

所以直线BC的表达式为：y=-x+3，

过点P作y轴的平行线交BC于点N，

设点，则点N，

则，

，故有最大值，此时，故点；

(4)存在，理由：

如图，过点C作与y轴夹角为的直线CF交x轴于点F，过点A作，垂足为H，交y轴于点Q，此时，

则最小值，

在Rt△COF中，∠COF=90°，∠FOC=30°，OC=3，tan∠FCO=，

∴OF=，∴F(-，0)，

利用待定系数法可求得直线HC的表达式为：…①，

∵∠COF=90°，∠FOC=30°，∴∠CFO=90°-30°=60°，

∵∠AHF=90°，∴∠FAH=90°-60°=30°，

∴OQ=AO•tan∠FAQ=，∴Q(0,)，

利用待定系数法可求得直线AH的表达式为：…②，

联立①②并解得：，故点，而点，

则，即的最小值为．

4、已知抛物线（为常数，）经过点，点是轴正半轴上的动点．

（Ⅰ）当时，求抛物线的顶点坐标；

（Ⅱ）点在抛物线上，当，时，求的值；

（Ⅲ）点在抛物线上，当的最小值为时，求的值．

【解析】

（Ⅰ）∵抛物线经过点，∴．即．

当时，，

∴抛物线的顶点坐标为．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，抛物线的解析式为．

∵点在抛物线上，

∴．

由，得，，

∴点在第四象限，且在抛物线对称轴的右侧．

如图，过点作轴，垂足为，则点．

∴，．得．

∴在中，．∴．

由已知，，∴．∴．

（Ⅲ）∵点在抛物线上，

∴．

可知点在第四象限，且在直线的右侧．

考虑到，可取点，

如图，过点作直线的垂线，垂足为，与轴相交于点，

有，得，

则此时点满足题意．

过点作轴于点，则点．

在中，可知．

∴，．

∵点，

∴．解得．

∵，

∴．

∴．

5、如图，在平面在角坐标系中，抛物线y=x2-2x-3与x轴交与点A，B（点A在点B的左侧）交y轴于点C，点D为抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点E．

（1）连结BD，点M是线段BD上一动点（点M不与端点B，D重合），过点M作MN⊥BD交抛物线于点N（点N在对称轴的右侧），过点N作NH⊥x轴，垂足为H，交BD于点F，点P是线段OC上一动点，当MN取得最大值时，求HF+FP+PC的最小值；

（2）在（1）中，当MN取得最大值HF+FP+1/3PC取得小值时，把点P向上平移个单位得到点Q，连结AQ，把△AOQ绕点O瓶时针旋转一定的角度（0°<<360°），得到△AOQ，其中边AQ交坐标轴于点C在旋转过程中，是否存在一点G使得？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

【解析】（1）如图1

∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），交y轴于点C

∴令y＝0解得：x1＝﹣1，x2＝3，令x＝0，解得：y＝﹣3，

∴A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3）

∵点D为抛物线的顶点，且﹣4

∴点D的坐标为D（1，﹣4）,∴直线BD的解析式为：y＝2x﹣6，

由题意，可设点N（m，m2﹣2m﹣3），则点F（m，2m﹣6）

∴|NF|＝（2m﹣6）﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+4m﹣3

∴当m＝＝2时，NF 取到最大值，此时MN取到最大值，此时HF＝2，

此时，N（2，﹣3），F（2，﹣2），H（2，0）

在x轴上找一点K（，0），连接CK，过点F作CK的垂线交CK于点J点，交y轴于点P，

∴sin∠OCK＝ ，直线KC的解析式为：，且点F（2，﹣2），

∴PJ＝PC，直线FJ的解析式为：,∴点J（ , ）

∴FP+PC的最小值即为FJ的长，且,∴；

（2）由（1）知，点P（0， ），

∵把点P向上平移 个单位得到点Q,∴点Q（0，﹣2）

∴在Rt△AOQ中，∠AOG＝90°，AQ＝，取AQ的中点G，连接OG，则OG＝GQ＝AQ＝，此时，∠AQO＝∠GOQ

把△AOQ绕点O顺时针旋转一定的角度α（0°＜α＜360°），得到△A′OQ′，其中边A′Q′交坐标轴于点G

①如图2

G点落在y轴的负半轴，则G（0，﹣），过点Q'作Q'I⊥x轴交x轴于点I，且∠GOQ'＝∠Q'

则∠IOQ'＝∠OA'Q'＝∠OAQ，

∵sin∠OAQ＝＝＝,∴，解得：|IO|＝

∴在Rt△OIQ'中根据勾股定理可得|OI|＝,∴点Q'的坐标为Q'（，﹣）；

②如图3，

当G点落在x轴的正半轴上时，同理可得Q'（，）

③如图4

当G点落在y轴的正半轴上时，同理可得Q'（﹣，）

④如图5

当G点落在x轴的负半轴上时，同理可得Q'（﹣，﹣）

综上所述，满足条件的点Q′坐标为：（，﹣），（，），（﹣，），（，﹣）