2023年中考数学二轮复习《压轴题-线段和最值问题》强化练习(含答案)

这是一份2023年中考数学二轮复习《压轴题-线段和最值问题》强化练习(含答案)，共21页。试卷主要包含了已知抛物线l1，定义等内容，欢迎下载使用。
2023年中考数学二轮复习《压轴题-线段和最值问题》强化练习1.如图，已知抛物线y＝(x﹣2)(x＋a)(a＞0)与x轴交于点B、C，与y轴交于点E，且点B在点C的左侧．(1)若抛物线过点M(﹣2，﹣2)，求实数a的值；(2)在(1)的条件下，解答下列问题；①求出△BCE的面积；②在抛物线的对称轴上找一点H，使CH＋EH的值最小，直接写出点H的坐标．                2.如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝ax2＋bx＋2的图象经过点A(﹣1，0)，B(3，0)，与y轴交于点C．(1)求该二次函数的表达式；(2)连接BC，在该二次函数图象上是否存在点P，使∠PCB＝∠ABC？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；(3)如图2，直线l为该二次函数图象的对称轴，交x轴于点E．若点Q为x轴上方二次函数图象上一动点，过点Q作直线AQ，BQ分别交直线l于点M，N，在点Q的运动过程中，EM＋EN的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．                3.如图，已知抛物线过点O(0，0)，A(5，5)，且它的对称轴为x＝2，点B是抛物线对称轴上的一点，且点B在第一象限．(1)求此抛物线的解析式；(2)当△OAB的面积为15时，求B的坐标；(3)在(2)的条件下，P是抛物线上的动点，当PA﹣PB的值最大时，求P的坐标以及PA﹣PB的最大值．                  4.已知抛物线l1：y＝ax2＋bx﹣2和直线l2：y＝﹣x﹣均与x轴相交于点A，抛物线l1与x轴的另一个交点为点B(3，0)．(1)求a，b的值；(2)将抛物线l1向右平移h个单位长度，使其顶点C落在直线l2上，求h的值；(3)设抛物线l1和直线l2的另一个交点为点D，点P为抛物线上一个动点，且点P在线段AD的下方(点P不与点A，D重合)，过点P分别作x轴和y轴的平行线，交直线l2于点M，N，记W＝PM＋PN，求W的最大值．                      5.如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与y轴，x轴分别相交于A(0，2)，B(2，0)，C(4，0)三点，点D是二次函数图象的顶点．(1)求二次函数的表达式；(2)点P为抛物线上异于点B的一点，连接AC，若S△ACP＝S△ACB，求点P的坐标；(3)M是第四象限内一动点，且∠AMB＝45°，连接MD，MC，求2MD＋MC的最小值．                   6.定义：在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c的“衍生直线”为y＝﹣ax＋b，有一个顶点在抛物线上，另一个顶点在“衍生直线”上的三角形为该抛物线的“衍生三角形”．如图1，已知抛物线y＝﹣x2＋2x＋3与其“衍生直线”交于A，D两点(点A在点D的左侧)，与x轴正半轴相交于点B，与y轴正半轴相交于点C，点P为抛物线的顶点．(1)填空：该抛物线的“衍生直线”的解析式为 　 　；B的坐标为 　 　；D的坐标为 　 　．(2)如图1，动点E在线段AB上，连接DE，DB，将△BDE以DE所在直线为对称轴翻折，点B的对称点为F，若三角形△DEF为该抛物线的“衍生三角形”，且F不在抛物线上，求点F坐标．(3)抛物线的“衍生直线”上存在两点M，N(点M在点N的上方)，且MN＝，连接PM，CN，当PM＋MN＋CN最短时，请直接写出此时点N的坐标．         7.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋x＋c(a≠0)与x轴交于点A(﹣1，0)和B(点B在A的右侧)，与y轴交于点C(0，2)，点P是抛物线上的一个动点．(1)求抛物线的解析式；(2)连接AP，与y轴交于点D，连接BD，当△BOD≌△COA时，求点P的坐标；(3)连接OP，与线段BC交于点E，点Q是x轴正半轴上一点，且CE＝BQ，当OE＋CQ的值最小时，请直接写出点Q的坐标．                  8.在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x＋2与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线y＝﹣x2＋bx＋c的对称轴是直线x＝与x轴的交点为点A，且经过点B、C两点．(1)求抛物线的解析式；(2)点M为抛物线对称轴上一动点，当|BM﹣CM|的值最小时，求出点M的坐标；(3)抛物线上是否存在点N，过点N作NH⊥x轴于点H，使得以点B、N、H为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．      
参考答案1.解：(1)将M(﹣2，﹣2)代入抛物线解析式得：﹣2＝(﹣2﹣2)(﹣2＋a)，解得：a＝4；(2)①由(1)抛物线解析式y＝(x﹣2)(x＋4)，当y＝0时，得：0＝(x﹣2)(x＋4)，解得：x1＝2，x2＝﹣4，∵点B在点C的左侧，∴B(﹣4，0)，C(2，0)，当x＝0时，得：y＝﹣2，即E(0，﹣2)，∴S△BCE＝×6×2＝6；②由抛物线解析式y＝(x﹣2)(x＋4)，得对称轴为直线x＝﹣1，根据C与B关于抛物线对称轴直线x＝﹣1对称，连接BE，与对称轴交于点H，即为所求，设直线BE解析式为y＝kx＋b，将B(﹣4，0)与E(0，﹣2)代入得：，解得：，∴直线BE解析式为y＝﹣x﹣2，将x＝﹣1代入得：y＝﹣2＝﹣，则H(﹣1，﹣)．2.解：(1)∵抛物线y＝ax2＋bx＋2经过点A(﹣1，0)，B(3，0)，∴，解得：∴该二次函数的表达式为y＝﹣x2＋x＋2；(2)存在，理由如下：如图1，当点P在BC上方时，∵∠PCB＝∠ABC，∴CP∥AB，即CP∥x轴，∴点P与点C关于抛物线对称轴对称，∵y＝﹣x2＋x＋2，∴抛物线对称轴为直线x＝1，∵C(0，2)，∴P(2，2)；当点P在BC下方时，设CP交x轴于点D(m，0)，则OD＝m，DB＝3﹣m，∵∠PCB＝∠ABC，∴CD＝BD＝3﹣m，在Rt△COD中，OC2＋OD2＝CD2，∴22＋m2＝(3﹣m)2，解得：m＝，∴D(，0)，设直线CD的解析式为y＝kx＋d，则，解得：，∴直线CD的解析式为y＝﹣x＋2，联立，得，解得： (舍去)，，∴P(，﹣)，综上所述，点P的坐标为(2，2)或(，﹣)；(3)由(2)知：抛物线y＝﹣x2＋x＋2的对称轴为直线x＝1，∴E(1，0)，设Q(t，﹣t2＋t＋2)，且﹣1＜t＜3，设直线AQ的解析式为y＝ex＋f，则，解得：，∴直线AQ的解析式为y＝(﹣t＋2)x﹣t＋2，当x＝1时，y＝﹣t＋4，∴M(1，﹣t＋4)，同理可得直线BQ的解析式为y＝(﹣t﹣)x＋2t＋2，当x＝1时，y＝t＋，∴N(1，t＋)，∴EM＝﹣t＋4，EN＝t＋，∴EM＋EN＝﹣t＋4＋t＋＝，故EM＋EN的值为定值．3.解：(1)∵抛物线过点O(0，0)，A(5，5)，且它的对称轴为x＝2，∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为(4，0)，设抛物线解析式为y＝ax(x﹣4)，把A(5，5)代入，得5a＝5，解得：a＝1，∴y＝x(x﹣4)＝x2﹣4x，故此抛物线的解析式为y＝x2﹣4x；(2)∵点B是抛物线对称轴上的一点，且点B在第一象限，∴设B(2，m)(m＞0)，设直线OA的解析式为y＝kx，则5k＝5，解得：k＝1，∴直线OA的解析式为y＝x，设直线OA与抛物线对称轴交于点H，则H(2，2)，∴BH＝m﹣2，∵S△OAB＝15，∴×(m﹣2)×5＝15，解得：t＝8，∴点B的坐标为(2，8)；(3)设直线AB的解析式为y＝cx＋d，把A(5，5)，B(2，8)代入得：，解得：，∴直线AB的解析式为y＝﹣x＋10，当PA﹣PB的值最大时，A、B、P在同一条直线上，∵P是抛物线上的动点，∴，解得：， (舍去)，∴P(﹣2，12)，此时，PA﹣PB＝AB＝3． 4.解：(1)∵直线l2：y＝﹣x﹣与x轴交于点A，∴A(﹣1，0)，将点A(﹣1，0)、点B(3，0)代入抛物线l1：y＝ax2＋bx﹣2，得：，解得：，∴a＝，b＝﹣；(2)∵a＝，b＝﹣，∴y＝x2﹣x﹣2＝(x﹣1)2﹣，∴抛物线l1的顶点C(1，﹣)，将y＝﹣代入直线l2：y＝﹣x﹣得，﹣x﹣＝﹣，解得x＝3，∴抛物线l1向右平移h个单位长度，使其顶点C落在直线l2上，移动后顶点的横坐标为3，∴h＝3﹣1＝2，即h的值为2；(3)设抛物线l1和直线l2的另一个交点为点D，∵x2﹣x﹣2＝﹣x﹣的解为x＝﹣1或x＝2，∴D(2，﹣2)，设P(m，m2﹣m﹣2)(﹣1＜m＜2)，则N(m，﹣m﹣)，M(﹣m2＋2m＋2，m2﹣m﹣2)，∴PM＝﹣m2＋2m＋2﹣m＝﹣m2＋m＋2，PN＝﹣m﹣﹣m2＋m＋2＝﹣m2＋m＋，∴W＝PM＋PN＝﹣m2＋m＋2﹣m2＋m＋＝﹣m2＋m＋＝﹣(m﹣)2＋，∵﹣＜0，∴W的最大值为．5.解：(1)∵抛物线经过B(2，0)，C(4，0)，∴可以假设抛物线的解析式为y＝a(x﹣2)(x﹣4)，把A(0，2)代入，可得a＝，∴二次函数的解析式为y＝x2﹣x＋2；(2)如图，当点P在直线AC的下方时，过点B作BP0∥AC交抛物线于点P0，由题意直线AC的解析式为y＝﹣x＋2，∴kAC＝﹣，∴KBP0＝﹣，∴直线BP0的解析式为y＝﹣x＋1，由，解得，则P0与B重合，不符合题意．当点P在直线AC的上方时，作直线BP0关于直线AC的的对称直线P1P2，交抛物线于P1，P2．∵直线AC的解析式为y＝﹣x＋2，∴可得直线P1P2的解析式为y＝﹣x＋3，由，解得或，∴P1(2＋2，2﹣)，P2(2﹣2，2＋)；(3)解：如图，以O为圆心，OA为半径的圆，连接OM，取OB的中点E，连接EM、ED，∵A(0，2)，B(2，0)，C(4，0)，∴OA＝OB，即B在⊙O上，∵y＝x2﹣x＋2＝(x﹣3)2﹣，∴顶点D(3，﹣)，∵∠AMB＝45°，∴∠AMB＝∠BOA，∴M在在⊙O上，即OM＝2，取OB的中点E(1，0)，∵＝，＝，＝，∴＝，又∠EOM＝∠MOC，∴△EOM∽△MOC，∴＝，∴EM＝MC，∴2MD＋MC＝2(MD＋MC)＝2(MD＋ME)≥2ED，∵ED＝＝，∴2MD＋MC的最小值为．6.解：(1)∵抛物线y＝﹣x2＋2x＋3，∴其“衍生直线”的解析式为y＝x＋1，由﹣x2＋2x＋3＝0，解得：x＝﹣1或3，∴B(3，0)，由﹣x2＋2x＋3＝x＋1，解得：x＝﹣1或2，∴D(2，3)，故答案为：y＝x＋1；(3，0)；(2，3)．(2)∵抛物线y＝﹣x2＋2x＋3，∴A(﹣1，0)，B(3，0)，∴AB＝4，设直线AD交y轴于点T，则T(0，1)，∴OA＝OT，即△AOT是等腰直角三角形，∴∠DAB＝45°，∵三角形△DEF为该抛物线的“衍生三角形”，且F不在抛物线上，∴点E在点A与点B之间，点F在直线AD上或点E与点A重合，如图1，当点E在点A与点B之间，点F在直线AD上时，设F1(t，t＋1)，由翻折得：DF1＝DB＝，∴(t﹣2)2＋(t＋1﹣3)2＝10，解得：t＝2±，∵t＜2，∴t＝2﹣，∴F1(2﹣，3﹣)；当点E与点A重合时，由翻折得：∠DAF＝∠DAB＝45°，AF＝AB＝4，∴F2(﹣1，4)；综上所述，点F的坐标为：F1(2﹣，3﹣)或F2(﹣1，4)；(3)∵y＝﹣x2＋2x＋3＝﹣(x﹣1)2＋4，∴P(1，4)，令x＝0，得y＝3，∴C(0，3)，过点P作PR∥x轴，过点A作AR∥y轴，则R(﹣1，4)，作点P关于直线AD的对称点P′，过点P′作P′K⊥x轴于点K，由(2)知∠DAB＝45°，∴∠DAR＝45°，∵AP′＝AP，∠P′AD＝∠PAD，∴∠PAR＝∠P′AK，∵∠ARP＝∠AKP′＝90°，∴△APR≌△AP′K(AAS)，∴AK＝AR＝4，P′K＝PR＝2，∴P′(3，2)，将线段P′M沿着直线DA的方向平移个单位，即向左平移个单位，向下平移个单位，得到线段P″N，则P″(，)，当C、N、P″三点共线时，PM＋MN＋CN最短；即直线CP″交直线AD于点N，设直线CP″的解析式为y＝kx＋d，则，解得：，∴直线CP″的解析式为y＝﹣x＋3，由x＋1＝﹣x＋3，解得：x＝，∴N(，)．7.解：(1)将4(﹣1.0)，C(0.2)，代入y＝ax2＋x＋c，得，∴，∴y＝﹣x2＋x＋2；(2)∵A(﹣1，0)，△BOD≌△COA，∴OA＝OD＝1，∴D(0，1)或(0，﹣1)，设直线AD的解析式为＝kx＋b，则或，∴或，∴y＝x＋1或y＝﹣x﹣1，联立或，解得 (不合题意，舍去)或，或 (不合题意，舍去)，∴P(1，2)或(3，﹣4)；(3)由题意得，点Q在点B的左侧，在线段BC上，取BM＝CO，作M关于x轴的对称点M′，连接QM，QM′，连接MM′交x轴于点S，∴y＝﹣x2＋x＋2，令y＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝2，则B(2，0)，∴OB＝OC＝2，∴△OBC是等腰直角三角形，∴BO＝OC＝2，∵BQ＝CE，BM＝CQ，∠QBM＝∠ECO，∴QM＝OE，∵QM＝Q′M，∴CQ＋OE＝CQ＋QM′，当且仅当C，Q，M′共线时取得最小值，即点Q在直线′M′CM′上，∵∠OCE＝45°，BM＝2，∴MS＝SB＝，∴M(2﹣，)，则M′(2﹣，﹣)，设直线CM′的解析式为y＝sx＋t，把C(0，2)，(2﹣，﹣)，代入得，，解得：，∴直线CM′的解断式为y＝(﹣3﹣2)x＋2，令y＝0，解得x＝6﹣4，∴Q(6﹣4，0)．8.解：(1)针对于y＝﹣x＋2，令x＝0，则y＝2，∴C(0，2)，令y＝0，则0＝﹣x＋2，∴x＝4，∴B(4，0)，∵点C在抛物线y＝﹣x2＋bx＋c上，∴c＝2，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2＋bx＋2，∵点B(4，0)在抛物线上，∴﹣8＋4b＋2＝0，∴b＝，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2＋x＋2；(2)∵|BM﹣CM|最小，∴|BM﹣CM|＝0，∴BM＝CM，∴BM2＝CM2，设M(，m)，∵B(4，0)，C(0，2)，∴BM2＝(4﹣)2＋m2，CM2＝()2＋(m﹣2)2，∴(4﹣)2＋m2＝()2＋(m﹣2)2，∴m＝0，∴M(，0)；(3)存在，理由：由(1)知，抛物线的解析式为y＝﹣x2＋x＋2，令y＝0，则0＝﹣x2＋x＋2，∴x＝4或x＝﹣1，∴A(﹣1，0)，∵B(4，0)，C(0，2)，∴BC2＝20，AC2＝5，AB2＝25，∴CB2＋AC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°，∵NH⊥x轴，∴∠BHN＝90°＝∠ACB，设N(n，﹣n2＋n＋2)，∴HN＝|﹣n2＋n＋2|，BH＝|n﹣4|，∵以点B、N、H为顶点的三角形与△ABC相似，∴①△BHN∽△ACB，∴，∴＝，∴n＝﹣5或n＝3或n＝4(舍)，∴N(﹣5，﹣18)或(3，2)，②△BHN∽△BCA，∴，∴＝，∴n＝0或n＝4(舍)或n＝﹣2，∴N(0，2)或(﹣2，﹣3)，即满足条件的点N的坐标为(﹣5，﹣18)或(﹣2，﹣3)或(0，2)或(3，2)．