2022-2023学年上海市浦东新区高一年级下册学期3月月考数学试题【含答案】

2022-2023学年上海市浦东新区高一下学期3月月考数学试题

一、填空题

1．与角终边相同的最小正角为__________（用弧度数表示）．

【答案】##

【分析】根据终边相同的角的概念即可直接得出结果.

【详解】与角终边相同的最小正角为，即．

故答案为：.

2．若角的终边经过点，则___________．

【答案】

【分析】根据定义求得，再由诱导公式可求解.

【详解】角的终边经过点,

则，

所以.

故答案为：.

3．已知扇形的面积为9，圆心角为2rad，则扇形的弧长为______．

【答案】6

【分析】联立公式和，即可得到本题答案.

【详解】设半径为，弧长为，

由题得，，，

②代入①得，，所以，则.

故答案为：6

4．已知为锐角，，则______

【答案】

【分析】根据题意可得，再由正弦的二倍角公式即可得到结果.

【详解】因为为锐角，且，则，

所以

故答案为:

5．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则___________.

【答案】

【分析】利用正弦定理即可求解.

【详解】解：由正弦定理得：，

故答案为：

6．函数的严格增区间为______

【答案】

【分析】首先化简，再利用正弦函数的性质求的单调递减区间即可.

【详解】因为，

所以要求的单调递增区间，只需要求的单调递减区间，

令，

可得：，

所以的单调递减区间为

所以函数的单调增区间为.

故答案为：.

7．若，，，，则______

【答案】

【分析】判断角的范围，根据同角的三角函数关系求出，，将化为，根据两角差的余弦公式即可求得答案.

【详解】因为，，故，，

故由可得，

由可得，

则

，

故答案为：

8．函数的值域为______

【答案】

【分析】根据二倍角公式把转化为含有的二次型函数，再根据的范围求值域.

【详解】，

因为，

当时，取最大值，最大值为；

当时，取最大值，最大值为.

所以的值域.

故答案为：.

9．设常数a使方程在闭区间上恰有三个不同的解，则实数a的取值集合为________．

【答案】

【分析】利用辅助角公式得到方程的解即为在上直线与三角函数图象的交点，画出图象，数形结合得到当且仅当时，直线与三角函数图象恰有三个交点，得到答案.

【详解】∵，

∴方程的解即为在上直线与三角函数图象的交点，

∵，

∴，

画出函数在上的图象，如下：

由图象可知当且仅当时，直线与三角函数图象恰有三个交点.

故答案为：

10．若函数的图象经过点和，且当时，恒成立，则实数a的取值范围是______.

【答案】

【分析】先根据将转化为来表示，由此化简的解析式，对进行分类讨论，根据恒成立列不等式来求得的取值范围.

【详解】因为经过点和，所以，，可得，故

.

因为，所以，所以，

当时，，可得，

所以，要使恒成立，

只要，即，又，从而；

当时，；

当时，，所以，

所以，要使恒成立，

只要，解得，又，从而.

综上所述，a的取值范围为.

故答案为：

【点睛】求解不等式恒成立的问题，主要解题思路是转化为求函数的最值来进行求解，如本题中恒成立，就转化为的值域，也即三角函数的值域来进行求解.

二、单选题

11．已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据两角和的正切公式计算即可求解.

【详解】由，解得.

故选：A.

12．已知，下列命题中正确的是（    ）

A．函数的图象关于直线对称 B．函数在上单调递增

C．函数的图象关于点对称 D．函数在上的值域是

【答案】C

【分析】把看成一个整体，分别代入正弦曲线的对称轴，对称中心，单调区间即可求解，D选项，通过的范围求得的范围根据正弦曲线即可求得最大值与最小值.

【详解】因为，

令，解得，，故A选项错误；

令，解得，

所以的单调递增区间为：，

易得不是的子集，故B选项错误；

令，解得，

当时，的图象关于点对称，故C选项正确；

当时，，的值域是，故D选项错误.

故选：C.

13．为得到函数的图像，只需将函数的图像（    ）

A．向左平移个长度单位 B．向右平移个长度单位

C．向左平移个长度单位 D．向右平移个长度单位

【答案】A

【分析】设出向左平移个长度，利用诱导公式将余弦函数变为正弦函数，列出方程，求出答案.

【详解】，

将函数向左平移个长度单位，得到，

故，解得，

即向左平移个长度单位.

故选：A

14．已知的三条边和与之对应的三个角满足等式则此三角形的形状是（    ）

A．等腰三角形 B．直角三角形

C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形

【答案】A

【分析】利用余弦定理将角化为边整理，即可得三角形的边之间的关系，从而可得此三角形的形状.

【详解】由余弦定理，可得

，

整理，得，

所以，

所以，

所以，

所以，

所以，

所以，

所以或或，故三角形为等腰三角形.

故选：A

三、解答题

15．已知＝2，计算下列各式的值．

(1)tan α；

(2)sin2α－2sinαcosα＋1.

【答案】(1)tan α＝3

(2)

【分析】（1）由已知分子和分母可同时除以，计算可得的值.

（2）先将原式化为，再由齐次式法，将弦化切，根据（1）的结果，

即可求出结果.

【详解】（1）由，显然不等于0，所以分子和分母同时除以，

可得，解得.

（2）

16．已知函数（）的最小正周期为．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求函数在区间上的取值范围．

【答案】（Ⅰ）

（Ⅱ）

【详解】（1）因

=，因；

（2）对于因，因此

17．在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足.

(1)求B；

(2)若的周长为6，，求的面积.

【答案】(1)

(2)

【分析】(1)利用正弦定理先边化角，再借助和角正弦公式化简得，从而可解；

(2)利用余弦定理和已知的周长得到，再借助三角形的面积公式即可求解.

【详解】（1）∵，

根据正弦定理可得：，

即.

∴，即.

∵，∴，

∴，

又，∴.

（2）由余弦定理知，

即，

又，，

∴.

∴

18．将一块圆心角为，半径为的扇形铁片裁成一块矩形，有两种裁法（如图所示），让矩形一边在扇形的一条半径OA（图1），或让矩形一边与弦AB平行（图2），对于图1和图2，均记．

(1)对于图1，请写出矩形面积关于的函数解析式；

(2)对于图2，请写出矩形面积关于的函数解析式；（提示：）

(3)试求出的最大值和的最大值，并比较哪种裁法得到的矩形的面积更大？

【答案】(1)

(2)

(3)最大值为200，最大值为，选择图2裁法得到的矩形的面积更大.

【分析】（1）在中，，，表示即可；

（2）对于图2，在中，由正弦定理得，根据对称性求得，表示即可；

（3）根据三角函数化减的结果结合角的范围求最值并比较大小.

【详解】（1）对于图1，在中，，，

矩形的面积为.

（2）对于图2，在中，由正弦定理得.

由对称性可知，的平分线所在直线为对称轴，则,，

所以矩形的面积为

.

（3），

当时，取最大值，最大值为200；

.

当时，取最大值，最大值为.

所以，选择图2裁法得到的矩形的面积更大.