2022-2023学年上海市朱家角中学高一上学期10月月考数学试题（解析版）

2022-2023学年上海市朱家角中学高一上学期10月月考数学试题

一、单选题

1．是三个集合，那么“”是“”成立的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【详解】若A=B，则A∩C=B∩C成立，

若C=∅，满足A∩C=B∩C=∅，此时集合A，B可以是任意集合，则A=B不一定成立，

故“A=B”是A∩C=B∩C充分不必要条件，

本题选择A选项.

2．已知，，则下列不等式恒成立的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】通过反例，，可排除ABC；利用不等式的性质可证得D正确.

【详解】若，，则，，则AB错误；

若，，则，则C错误；

，，又，，则D正确.

故选：D

3．已知，则下列语句能成为“都不小于1”的否定形式的个数是（    ）

（1）中至少有一个大于1；（2）都小于1；（3）或或

A．0个； B．1个； C．2个； D．3个.

【答案】B

【分析】根据全称量词的否定，可得“都不小于1”否定为“至少有一个小于”，比照选项即可得解.

【详解】若“都不小于1”，则，

否定为“至少有一个小于”，

故（1），（2）错误，（3）正确.

故选：B.

4．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，为了纪念数学家高斯，我们把取整函数称为高斯函数，其中表示不超过的最大整数，如，则点集所表示的平面区域的面积是（    ）

A．1 B． C．4 D．

【答案】C

【分析】根据定义有或，分别确定出所在区域，然后可求得面积．

【详解】根据定义有或，

，则，这是一个边长为1的正方形，面积为1，

同理，，也都形成一个边长为1的正方形，面积都是1，

所以

故选：C

二、填空题

5．已知集合，集合，则_______.

【答案】{3，4}．

【分析】利用交集的概念及运算可得结果.

【详解】，

.

【点睛】本题考查集合的运算，考查交集的概念与运算，属于基础题.

6．不等式的解集为________．

【答案】

【分析】由题设可得，利用分式不等式的解法求解即可.

【详解】由题设，，

∴，解得，

∴解集为.

故答案为：

7．已知集合，用列举法表示集合为___________.

【答案】

【分析】解一元二次不等式，根据集合描述法得到集合的列举法表示.

【详解】由可得，

，

故答案为：

8．已知，，则的取值范围是______.

【答案】

【分析】由不等式的基本性质求解即可

【详解】因为，，

所以，，

所以的范围是

故答案为：

9．设是实数，若是的一个充分条件，则的取值范围是__________.

【答案】

【分析】利用充分条件的定义，将问题转化为，由子集的定义求解即可.

【详解】解：因为是的一个充分条件，

则，

所以，

则的取值范围是.

故答案为：.

10．不等式的解集为，则a＋b＝______．

【答案】－1

【分析】根据一元二次方程的根与一元二次不等式的解集之间的关系，结合韦达定理求出a、b，即可求解.

【详解】由不等式的解集为，知

方程的解为或，

由韦达定理，得，解得，

所以.

故答案为：-1.

11．已知方程有无穷多个解，则______．

【答案】

【分析】将原方程化为，可得出，解出、的值，即可得解.

【详解】原方程即为，

由题意可得，解得，因此，.

故答案为：.

12．若关于的方程有两个实数根，且这两根互为倒数，则________.

【答案】-0.5

【分析】设两根分别为，由，求得或，代入验证，即可求解.

【详解】由关于的方程有两个实数根，且这两根互为倒数，

设两根分别为，且，

可得，解得或，

当时，原方程，此时，此时方程没有实数根，

当时，原方程，此时，满足题意，

综上可得，.

故答案为：

13．已知条件：，条件：，若是的必要条件，则实数的取值范围为___________.

【答案】

【分析】根据必要条件的定义可得到两集合的包含关系，由包含关系可构造不等式组求得结果.

【详解】是的必要条件    

，解得：，

即的取值范围为.

故答案为：

14．已知集合，，若，则实数的所以可能取值组成的集合是_________.

【答案】

【分析】根据集合的包含关系分类求解．

【详解】时，，

时，，由得，或，即或，

综上，的取值集合是．

故答案为：．

15．已知关于的不等式的解集为空集，则实数的取值范围是___________.

【答案】

【分析】不等式等价于的解集是，分和两种情况讨论求实数的取值范围.

【详解】恒成立，

不等式等价于的解集是，

当时，不成立，解集是，

当时， ，解得：，

综上：.

故答案为：

16．对于命题“若且是有理数，则是无理数”，用反证法证明时，假设是有理数后下面到处矛盾的方法：

①因为是有理数，是无理数，所以是无理数，这与是有理数矛盾；

②因为有理数，是无理数，所以是无理数，这与是有理数矛盾；

③因为是有理数，是有理数，所以是有理数，这与是无理数矛盾；

其中，推理正确的序号是___________.

【答案】①③

【分析】根据反证法概念，从是有理数出发，经过正确的推理，结合题意，分析即可得答案.

【详解】①从是有理数出发，经过推理，得到是无理数，和题干矛盾，故①正确；

②没有从是有理数出发，推出矛盾，不是反证法，故②不正确；

③从是有理数出发，经过推理，推出是无理数，结论错误，从而证明原命题正确，故③正确.

故答案为：①③

三、解答题

17．设，比较与的大小.

【答案】答案不唯一，见解析；

【分析】通过作差可得，分为，和或三种情形，得其与0的关系，进而可得结果.

【详解】.

①当时，，∴；

②当，即时，，

∴；

③当且，即或时，，

∴.

综上可得：当时，；当时，；当或时，.

【点睛】本题主要考查了利用作差法比较大小，考查了学生的计算能力，分类讨论的思想，属于中档题.

18．求不等式组的解集.

【答案】

【分析】分别解不等式和即得解.

【详解】由得或，

所以或；

由得，

所以；

所以不等式组的解集为.

19．已知集合，，

（1）若，求实数的取值范围；

（2）若，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）或或.

【分析】（1）解不等式求出集合，再根据列不等式组即可求解；

（2）求出方程的两根分别为，讨论，，时集合，结合，即可求解.

【详解】（1），

，

若，则，

因为，所以，

所以，解得：，

所以实数的取值范围为：；

（2）由可得：，

当时，，此时，而，

若，则，

当时，，不等式解集为，此时满足，

所以符合题意；

当时，，此时，而，

若，则，

综上所述：实数的取值范围为：或或.

20．已知集合．

(1)判断8、9、10是否属于集合A；

(2)已知，证明：“”的充分非必要条件是“”．

【答案】(1)，，；

(2)证明见解析

【分析】（1）根据集合的定义即可判断；

（2）由即可证明.

【详解】(1)∵，，∴，，

假设，m，，

则，且，

∵，或，

显然均无整数解，∴，

∴，，.

(2)∵集合，

则恒有，∴，

∴即一切奇数都属于A，

又∵，，

∴“”的充分不必要条件是“”.

21．已知集合为非空数集，定义：，.

（1）若集合，直接写出集合、；

（2）若集合，，且，求证：；

（3）若集合，，记为集合中元素的个数，求的最大值.

【答案】（1），4，，，；（2）详见解析；（3）1348.

【分析】（1）根据题目定义，直接计算集合及；

（2）根据两集合相等即可找到，，，的关系；

（3）通过假设集合，，，，，，，求出相应的及，通过建立不等关系求出相应的值．

【详解】解：（1）根据题意，由集合，，计算集合，4，，，；

（2）由于集合，，，，，且，

所以中也只包含四个元素，即，，，，

剩下的，所以；

（3）设，， 满足题意，其中，

则，

，，，

，由容斥原理，

中最小的元素为0，最大的元素为，

，

，

，

实际上当，675，676，，时满足题意，

证明如下：

设，，，，，，

则，，，，，，1，2，，，

依题意有，即，

故的最小值为674，于是当时，中元素最多，

即，675，676，，时满足题意，

综上所述，集合中元素的个数的最大值是1348．