2022-2023学年上海市浦东新区宝山校区高二年级下册学期3月月考（三）数学试题【含答案】

2022-2023学年上海市浦东新区宝山校区高二下学期3月月考（三）数学试题

一、填空题

1．已知圆锥的高，它的侧面展开图的扇形圆心角为216°，求其全面积__________．

【答案】

【分析】利用圆锥母线与底面半径的关系，求出圆锥的母线长和底面半径，然后求其全面积.

【详解】解：设底面半径为，母线长，

则有，解得，

所有，

故答案为：.

2．已知球面上三点，球半径为，球心到平面的距离是________.

【答案】

【分析】由题意可知为直角三角形，从而求出三角形的外接圆半径，结合球的性质可得，即求.

【详解】因为，

则为直角三角形，为外接圆的直径，

即外接圆的半径为，

设球心到平面的距离为，

则.

故答案为：

3．在正方体中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总是保持AP⊥BD1，则动点P的轨迹是_______．

【答案】线段B1C

【分析】利用直线与平面垂直的判定可得BD1⊥平面B1AC，又点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总保持AP⊥BD1，得到点的轨迹为平面B1AC与平面BCC1B1的交线段.

【详解】解：如图：连接、、

正方体中，，，又与 交于点A

BD1⊥平面B1AC

又知点P在侧面BCC1B1及其边界上运动

根据平面的基本性质可得：

平面B1AC与平面BCC1B1的交线段为B1C

故答案为：线段B1C

4．已知椭圆：的左、右两个焦点分别为、，过的直线交椭圆于两点.若是等边三角形，则的值等于_________.

【答案】

【分析】因为是等边三角形，可得轴，再根据椭圆的定义可得，进而求得，再根据椭圆中的关系求解即可

【详解】因为是等边三角形，故，故关于轴对称，故轴.故，，故，又，故，故，即，所以，

故答案为：

5．如图所示，已知是棱长为a的正方体，E，F分别为，的中点，则四棱锥的体积为______．

【答案】

【分析】把所求几何体体积转化成求两个体积相等的三棱锥与三棱锥体积之和，变换顶点成求即可解出.

【详解】因为，，所以四边形是菱形．

连接EF，则．易知三棱锥与三棱锥的高相等，

故．

又因为，则，

所以．

故答案为：

【点睛】此题考查几何体体积求法，通过割补，变换三棱锥顶点等方法进行转换，轻松解题，需要积累求常见几何体体积的常规方法，对于解题能起到事半功倍的作用.

6．已知，到两点距离相等的点的坐标满足的条件为________．

【答案】

【分析】利用点到两点距离相等，利用距离公式列出方程，化简即可求得结果.

【详解】点到两点距离相等，

则

化简得，

即到两点距离相等的点的坐标满足的条件为.

故答案为：.

7．已知空间三点O(0,0,0)，A(－1,1,0)，B(0,1, 1)在直线OA上有一点H满足BH⊥OA，则点H的坐标为________.

【答案】

【详解】试题分析：设H点的坐标为（x，y，z）

则∵O（0，0，0），A（-1，1，0），B（0，1，1），

∴=（-1，1，0），=（x，y，z），

∵点H在直线OA上，则∥，即

存在λ∈[0，1]，使=λ

即（x，y，z）=λ（-1，1，0）=（-λ，λ，0）

∴=（-λ，λ-1，-1），又∵BH⊥OA，即•=0

即λ+λ-1=0，解得λ=

∴点H的坐标为（-，，0）

【解析】向量的数量积判断向量的共线与垂直

8．已知圆，点在以为起点的同一条射线上，且满足，则称点关于圆周对称.那么，双曲线上的点关于单位圆周的对称点所满足的方程为_________.

【答案】

【分析】在双曲线上任取点，设其关于圆周的对称点为，满足，利用距离公式联立列出方程，化简求出，令，分别用表示，，，，用消参法即可求得所满足的方程.

【详解】在双曲线上任取点，设其关于圆周的对称点为.则.令，

则，，

故，，

上述两式联立得点所满足的方程为.

故答案为：.

二、单选题

9．定义曲线：为椭圆：的“倒曲线”，给出以下三个结论：①曲线有对称轴，②曲线有对称中心，③曲线与椭圆有公共点．其中正确的结论个数为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】曲线：上取点，利用点的坐标证得对称性，从而判断出①②，利用的范围可以判断出③，从而得出结论.

【详解】曲线：上取点，则该点关于轴对称的点也在曲线，故曲线关于轴对称，同理可证曲线关于轴对称，则该点关于原点对称点也在曲线，故曲线关于原点对称，故①②正确；曲线：，则，而椭圆：中，，故曲线与椭圆无公共点，③错误；综上，正确的有2个，

故选：C.

10．如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E、F且EF=，则下列结论中错误的是（    ）

A．AC⊥BE B．EF平面ABCD

C．三棱锥A-BEF的体积为定值 D．异面直线AE,BF所成的角为定值

【答案】D

【分析】A．通过线面的垂直关系可证真假；B．根据线面平行可证真假；C．根据三棱锥的体积计算的公式可证真假；D．根据列举特殊情况可证真假.

【详解】A．因为，所以平面，

又因为平面，所以，故正确；

B．因为，所以，且平面，平面，

所以平面，故正确；

C．因为为定值，到平面的距离为，

所以为定值，故正确；

D．当，，取为，如下图所示：

因为，所以异面直线所成角为，

且，

当，，取为，如下图所示：

因为，所以四边形是平行四边形，所以，

所以异面直线所成角为，且，

由此可知：异面直线所成角不是定值，故错误.

故选：D.

【点睛】本题考查立体几何中的综合应用，涉及到线面垂直与线面平行的证明、异面直线所成角以及三棱锥体积的计算，难度较难.注意求解异面直线所成角时，将直线平移至同一平面内.

三、解答题

11．已知正三棱柱的所有棱长为，是中点，求：

(1)直线与所成角的大小；

(2)直线与平面所成角的大小；

(3)二面角的大小；

(4)点到平面的距离．

【答案】(1)

(2)

(3)

(4)

【分析】（1）过点作，建立空间直角坐标系，写出相应点的坐标，求出直线与所在的向量，利用向量的夹角公式即可求解；

（2）求出平面的法向量和直线的一个方向向量，利用向量的夹角公式即可求解；

（3）求出平面的一个法向量，结合（2）中的平面的法向量，利用向量的夹角公式即可求解；

（4）利用向量法即可求解.

【详解】（1）如图，过点作，

因为三棱柱为正三棱柱，

所以两两互相垂直，建立如图空间直角坐标系，

则，

所以，，

设直线与所成角的大小，，

直线与所成角大小为.

（2）设平面的法向量为，则，，即，取，得，

直线的一个方向向量，

设与也即与平面所成角为，

所以，则．

（3）平面的一个法向量，

设夹角为，则，

由图可知所求是锐二面角，所以二面角大小为．

（4）平面的法向量，，

则．

12．已知椭圆的方程为，双曲线的左、右焦点分别是的左、右顶点，而的左、右顶点分别是的左、右焦点．

(1)求双曲线的方程；

(2)若直线与双曲线有两个不同的交点和，且（其中为原点），求的范围；

(3)对于（2）中的点和，在轴上是否存在点使为等边三角形，若存在请求出的值；不存在则说明理由.

【答案】(1)

(2)

(3)存在，

【分析】（1）设双曲线的方程，用待定系数法求出，的值；

（2）将直线方程与双曲线的方程联立，消元得到一个关于的一元二次方程，求解判别式，利用韦达定理和已知条件求出参数的取值范围即可；

（3）分和两种情况讨论，结合（2）的结论和弦长公式求出，利用点到直线的距离公式和题干条件即可求解.

【详解】（1）设双曲线的方程为，则，再由得，

故的方程为.

（2）将代入得

由直线与双曲线交于不同的两点得：

，且①

，，则，

，

又，得，，

即，解得：②，故的取值范围为.

（3）当时，点坐标为，即，

此时，点到的距离，显然不合题意；

当时，线段的中垂线方程为，

令，得，由①知，且，

由（2）知：

点到的距离，且，

即，，满足范围，

故.

【点睛】解决直线与双曲线的综合问题的步骤：

第一步：根据题意设直线方程，有的题设条件已知点，而斜率未知；有的题设条件已知斜率，点不定，可由点斜式设直线方程.

第二步：联立方程：把所设直线方程与双曲线的方程联立，消去一个元，得到一个一元二次方程.

第三步：求解判别式，判定一元二次方程根的个数.

第四步：写出根与系数的关系.

第五步：根据题设条件求解问题中结论.