2022-2023学年上海市浦东新区高二年级下册学期开学考试数学试题【含答案】

2022-2023学年上海市浦东新区高二下学期开学考试数学试题

一、填空题

1．抛物线的焦点坐标是__________．

【答案】

【分析】由抛物线的标准方程，可直接写出其焦点坐标.

【详解】因为抛物线方程为，所以焦点在轴上，且焦点为.

故答案为

【点睛】本题主要考查由抛物线的方程求焦点坐标的问题，属于基础题型.

2．直线的倾斜角为______．

【答案】

【分析】将一般式方程整理为斜截式方程可得直线斜率，由斜率和倾斜角关系求得倾斜角.

【详解】由，可得，

所以直线的斜率为，

所以倾斜角为.

故答案为：.

3．双曲线的渐近线方程为_________．

【答案】

【分析】利用双曲线的性质即可求得渐近线方程.

【详解】由双曲线的相关知识可知：，

所以焦点在轴双曲线的渐近线方程为：

故答案为：

4．若圆锥的母线长为5，底面半径为3，则该圆锥的体积为 _____．

【答案】．

【分析】利用勾股定理及圆锥的体积公式即可求解.

【详解】因为圆锥的母线长为5，底面半径为3，

所以圆锥的高，

所以该圆锥的体积为．

故答案为：．

5．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1，二面角A﹣BD﹣A1的大小为_____．

【答案】

【分析】连接，交于，连，可得是二面角A﹣BD﹣A1的平面角，在直角三角形中可求得结果.

【详解】连接，交于，连，

如图所示：

因为，且在底面内的射影是，

所以由三垂线定理可得，

所以是二面角A﹣BD﹣A1的平面角，

设正方体的棱长为1，则，，

所以，

因为，

所以.

故答案为：.

【点睛】本题考查了三垂线定理，考查了求二面角，关键是作出二面角的平面角，属于基础题.

6．点关于直线的对称点Q的坐标为___________．

【答案】

【解析】设出点坐标，由和关于直线对称，可得直线的斜率，并且中点在直线上，列出方程组，求解即可.

【详解】设，则中点坐标为，又和关于直线对称，

所以有整理得，即.

故答案为：．

7．若直线与圆相切于点，则________.

【答案】3

【分析】根据题意，先由圆的方程求出圆心为，根据直线和圆相切的性质列出方程组，求出，即得解.

【详解】根据题意的圆心为：，

若直线与圆相切于，则有

故答案为：3

【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系，考查了学生转化与划归，数学运算的能力，属于中档题.

8．在正四面体P-ABC，已知M为AB的中点，则PA与CM所成角的余弦值为____.

【答案】

【详解】分析：取的中点，连接，由三角形中位线定理可得即为与所成的角或其补角，利用余弦定理可得结果.

详解：取的中点，连接，

由三角形中位线定理可得，，

故即为与所成的角或其补角，

因为是正四面体，不妨设令其棱长为，

则由正四面体的性质可求得，

 故，故答案为.

点睛：本题主要考查余弦定理的应用以及异面直线所成角的求法，求异面直线所成的角的做题步骤分为三步，分别为：作角、证角、求角，尤其是第二步证明过程不可少，是本题易失点分，切记.

9．已知点为椭圆上的一动点，则的最小值为______;

【答案】

【分析】设，利用两点间的距离公式表示，消元，利用二次函数求最值即可.

【详解】设，则，，

所以

，因为在上单调递减，

所以当时，有最小值，所以有最小值，

故答案为：

10．已知异面直线所成角为，直线与均垂直，且垂足分别是点.若动点，则线段中点的轨迹围成的区域的面积是__________;

【答案】

【分析】构造线段的中垂面，求得点的轨迹，从而求得的轨迹围成的区域的面积.

【详解】设线段的中垂面为，则的轨迹在平面内，

在平面内分别作直线的投影，则两直线的夹角为，

设在平面的投影为，

设在平面内的投影为，

则为的中点，

所以，

因为，所以，

在直线上分别取点四点，

使得，

因为，

所以，

过作交于，

则，

所以的中点在上，

同理可得在上，

所以的轨迹是矩形，

因为，

，

所以.

故答案为：

【点睛】求解空间异面直线所成角有关的问题，关键点在于如何利用两异面直线所成的角，根据异面直线所成的角的概念，可在空间一点作两条异面直线的平行直线，从而可得异面直线所成角.

11．已知点，点是双曲线的右焦点，点是双曲线右支上一动点，则当的周长取得最小时的面积为__________;

【答案】

【分析】先求得左焦点的坐标，根据双曲线的定义求得的周长，根据直线的方程和双曲线方程，求得点的纵坐标，进而求得的面积.

【详解】双曲线，，

右焦点，设其左焦点为，

则，

当且仅当三点共线时等号成立，此时在第一象限，

此时直线的方程为，

由，以及点在第一象限，可得点P的纵坐标，

所以.

故答案为：.

【点睛】方法点睛：求解双曲线上的点到焦点和定点的距离的和差的最值，可以通过双曲线的定义进行转化，转化为三点共线等情况来求解最值.求三角形的面积，可利用三角形的面积公式直接求解，也可以利用割补法来进行求解.

二、单选题

12．方程表示的曲线是（    ）

A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线

【答案】B

【分析】通过消去来确定正确答案.

【详解】由得，

所以，即，是椭圆.

故选：B

13．已知是不重合的直线，是不重合的平面，则以下选项正确的是（    ）

A．若，则 B．若则

C．若，则 D．若，则

【答案】C

【分析】根据线面平行判定定理、线面垂直判定定理、面面垂直判定定理以及面面平行的性质定理，逐项判别，可得答案.

【详解】对于A，若，则或，所以A错误；

对于B，当时，若，则或或与相交，故B错误；

对于C，根据面面垂直判定定理，可得C正确；

对于D，当时，若，则或与相交，故D错误.

故选：C.

14．已知抛物线与直线，“”是“直线与抛物线有两个不同交点”的（　　）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】先推出直线与抛物线有两个不同交点的充要条件，再判断与“”的关系．

【详解】解：若直线与抛物线有两个不同交点，

则有两个不同的解，

即有两个不同的解，

则，

解得，．

则由可推出，

而推不出，

故选．

【点睛】本题考查了充分条件与必要条件的判断，结合方程根的判断，属于基础题．

三、多选题

15．如图，已知直四棱柱的底面是边长为4的正方形，，点为的中点，点为底面上的动点，则下列选项不正确的是（    ）

A．当时，满足的点轨迹长度为

B．当时，满足的点的轨迹长度为

C．当时，存在唯一的点满足

D．当时，存在点满足

【答案】ABC

【分析】以D为坐标原点，DA，DC，DH所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求得相应点的坐标，利用数量积的运算逐项判断.

【详解】解：以D为坐标原点，DA，DC，DH所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系：

A.当时，，设，则，因为，所以，则，即，如图在平面EFGH中，建立平面直角坐标系，

记的圆心为O，与交于，，令，解得，，所以，其对应的圆弧长度为，根据对称性可知点P的轨迹长度为：，故正确；

B.当时，则，设，则 ，由，得 ，即，如图在平面EFGH中，建立平面直角坐标系，

则点P的轨迹方程表示的轨迹是线段NQ，而，故正确；

C.当时，则，设，则 ，由，

得，即，

解得，所以存在唯一的点满足，故正确；

D.当时，则，设点A关于平面EFGH的对称点为，

则，所以

故不存在点P满足，故错误，

故选：ABC

四、解答题

16．如图，梯形ABCD满足AB//CD，，现将梯形ABCD绕AB所在直线旋转一周，所得几何体记叙

(1)求的体积V

(2)求的表面积S

【答案】(1) (2)

【详解】试题分析：（1）旋转体为一个圆锥与一个圆柱，根据圆柱与圆锥体积公式求体积，最后求和得的体积V（2）表面积为圆锥侧面积与圆柱侧面积以及一个底面圆的面积之和，代入对应公式可得结果

试题解析：

17．已知直线，直线，点，为和的交点.求分别满足下列条件要求的过点的直线方程.

(1)平行于直线.

(2)点到所求直线的距离最大.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）联立方程组，可得，进而求解；

（2）要使点到所求直线的距离最大，则所求直线与直线垂直，可得所求直线的斜率，进而求解.

【详解】（1）联立，

解得，即，

因为直线的斜率为，

所以所求直线方程为：，即.

（2）由（1）知，，则

要使点到所求直线的距离最大，

则所求直线与直线垂直，

所以所求直线的斜率为，

则所求直线方程为：，即.

18．如图，已知PA＝AC＝PC＝AB＝a，，，M为AC的中点．

(1)求证：平面ABC；

(2)求直线PB与平面ABC所成角的大小．

【答案】(1)见解析

(2)

【分析】（1）推导出，，由此能证明平面ABC；

（2）连结BM，则是直线PB和平面ABC所成的角，由此能求出直线PB和平面ABC所成的角．

【详解】（1）证明：因为为等边三角形，且为的中点，

所以．

又，，且，

所以平面．

又在平面内，所以．

因为，且，，

所以平面．

（2）解：连结，由（1）知平面，

所以是直线和平面所成的角．

因为为等边三角形，所以.

又为等腰直角三角形，且，

所以．

因为，所以，

则

所以直线和平面所成的角的大小等于．

19．已知抛物线的焦点为，准线为.

(1)若为双曲线的一个焦点，求双曲线的离心率.

(2)设与轴的交点为，点在第一象限且在上，若，求直线的方程.

(3)经过点且斜率为的直线与相交于两点，为坐标原点，直线分别与相交于点.求证:以为直径的圆必过定点.

【答案】(1)

(2)

(3)证明过程见解析

【分析】（1）求出，从而得到双曲线的焦点坐标，从而求出离心率；

（2）求出，设出，根据列出方程，求出，得到直线方程；

（3）设出直线：，，与联立，求出两根之和，两根之积，列出直线，得到，同理得到，得到以为直径的圆的圆心和半径，得到圆的方程，得到定点坐标.

【详解】（1）由题意得：，故的一个焦点为，

即，解得：，，

所以双曲线的离心率；

（2）准线方程为：，故，

设，，则，，

则，解得：，

因为，所以，，

所以直线的方程为，即；

（3）设直线：，，与联立得：

，

设，

则，

直线中，令得：，故，

同理可得：，

则以为直径的圆圆心为

其中

，

故以为直径的圆圆心为，

又

，

故半径为

则以为直径的圆的方程为，

当或时，恒成立，

故以为直径的圆恒过点和.

【点睛】圆过定点问题常见策略，方法一：通法，引入参变量，建立曲线方程，通常要求出两交点的横坐标或纵坐标的和与积，表达出圆心和半径，列出圆的方程，求出定点，这当中可由对称性猜测出定点所在的位置，从而简化计算；

方法二：根据题目条件，挖掘出隐含的几何关系，从而找到圆过得定点，难度较大.

20．圆，圆，动圆与两圆、外切.

（1）求动圆圆心的轨迹的方程；

（2）过点的直线与曲线交于不同的两点，求直线斜率的取值范围；

（3）是否存在直线与轨迹交于点，使，且，若存在，求的值；若不存在，说明理由.

【答案】（1）；（2）；（3）存在，使得题设成立

【分析】（1）确定圆和圆的圆心与半径，根据两圆外切时圆心距和半径之间的关系可得，，可知点轨迹满足双曲线轨迹，为双曲线的上半支；从而根据定义可求得轨迹方程；

（2）设，结合渐近线斜率可确定，联立直线方程与双曲线方程，利用即可求得的范围；

（3）当时，显然不成立；当时，设；与抛物线方程联立可求得，从而表示出；将与抛物线联立，利用弦长公式可求得，由可整理得到；两直线方程联立可求得点坐标，利用建立等式，可得，从而得到方程组，解方程组可求得的值.

【详解】（1）由圆的方程可知，圆的圆心，半径；圆的圆心，半径

设，且动圆半径为

则，

即到，的距离之差为定值，且，满足双曲线定义

点轨迹为双曲线的上半支，轨迹方程为：

（2）设直线方程为：

双曲线渐近线方程为，且与双曲线上半支有两个交点    

联立得：

，解得：或（舍）

，即直线斜率的取值范围为

（3）当时，直线为，显然不成立

当时，直线的方程为：    或

或

联立得：，即，

联立得：

则，即

设，，则，

即，整理可得：

联立得：    

整理可得：

，，解得：    

当时，直线与轨迹无交点，不合题意

存在，使得题设成立

【点睛】本题考查直线与双曲线综合应用问题，涉及到圆与圆的位置关系的应用、利用定义求解轨迹方程、根据直线与曲线交点个数求解参数范围、存在性问题的求解；求解存在性问题的关键是能够通过已知的等量关系构造出关于变量的方程，通过解方程的方式求得结果；本题整体计算难度和计算量较大，对于学生运算求解能力有较高的要求，属于难题.