2022-2023学年上海市金山区高一年级下册学期3月月考数学试题【含答案】

2022-2023学年上海市金山区高一下学期3月月考数学试题

一、填空题

1．函数的值域是__________

【答案】

【分析】根据三角函数值域的知识求得正确答案.

【详解】由于，

所以，

所以函数的值域是.

故答案为：

2．扇形的半径为2，弧长为4，则该扇形的面积为___________.

【答案】4

【分析】利用扇形的面积计算公式即可得出．

【详解】根据扇形的面积公式得，．

故答案为：4

3．已知，且是第二象限角，则___________．

【答案】

【详解】∵是第二象限角，

∴．

又，

∴．

答案：

4．已知，则__________

【答案】0

【分析】利用同角三角函数基本关系化弦为切，再将代入即可求解.

【详解】，

故答案为：.

5．已知，，则满足条件的__________（用反三角记号表示）

【答案】

【分析】根据反三角函数求解即可.

【详解】因为，，所以.

故答案为：

6．函数的最小值是___________

【答案】

【分析】令，使用换元法进行求解即可.

【详解】令，当时，，

则，，

由二次函数知识，，

∴当时，单调递减，

∴当时，取最小值，最小值为，

∴当，即，时，函数的最小值是.

故答案为：.

7．函数的定义域是_________

【答案】

【分析】根据函数的解析式，列出解析式成立的条件，即可求得函数的定义域．

【详解】由题意知，，

即，

所以的定义域为：

故答案为：

【点睛】关键点点睛：本题主要考查了函数的定义域的求解，根据函数的解析式列出满足的条件是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．

8．若、是关于x的方程的两个根，则__________.

【答案】

【分析】先通过根与系数的关系得到的关系，再通过同角三角函数的基本关系即可解得.

【详解】由题意：，所以或，且，

所以，即，因为或，所以.

故答案为：.

9．若是的内角，且，则等于______.

【答案】

【分析】利用两角和的正切公式求得，即可求出.

【详解】由题意知，，即，

∴，

又，∴.

【点睛】本题主要考查两角和的正切公式，属基础题．

10．在中，、、三个内角所对的边依次为、、，且，若，则的面积的最大值为___________

【答案】

【分析】使用余弦定理求出后，再使用余弦定理、基本不等式和三角形面积公式求解即可.

【详解】由余弦定理，，

∵，∴.

由余弦定理及基本不等式，，

∴，当且仅当时取等号，

∴当且仅当时，的面积的最大值为.

故答案为：.

11．已知函数，若满足（a、b、c互不相等），则的取值范围是___________

【答案】

【分析】作出函数图像，根据三角函数对称性得，解得，进而得答案.

【详解】根据题意，作出函数图像，

不妨设，

如图,根据三角函数的对称性得与关于对称，

所以，

另一方面,，即

所以，

故答案为：.

12．为了研究问题方便,有时将余弦定理写成: ,利用这个结构解决如下问题:若三个正实数，满足,，，则_______.

【答案】

【分析】设的角、、的对边分别为、、，在内取点，使得，设，，，利用余弦定理得出的三边长，由此计算出的面积，再利用可得出的值.

【详解】设的角、、的对边分别为、、，

在内取点，使得，

设，，，

由余弦定理得，，

同理可得，，，则，

的面积为，

另一方面，解得，故答案为.

【点睛】本题考查余弦定理的应用，问题的关键在于将题中的等式转化为余弦定理，并转化为三角形的面积来进行计算，考查化归与转化思想以及数形结合思想，属于中等题.

二、单选题

13．在中，“”是“”的（    ）条件

A．充分不必要 B．必要不充分

C．充要 D．既不充分也不必要

【答案】C

【分析】根据正弦定理、三角函数的性质及充分条件和必要条件即可求解.

【详解】若，则成立；

在中，若，由正弦定理得，所以成立.

所以“”是“”的充要条件.

故选：C.

14．已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】化简得到，确定，，得到答案.

【详解】，

，，故，故.

故选：A

15．已，，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先利用余弦差角公式求出，然后再用同角三角函数关系求出，再用诱导公式与二倍角公式求解即可

【详解】，

，

则

故选：B

16．已知，且是常数，且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】设，根据已知条件可知，根据函数的单调性与奇偶性即可求出结果.

【详解】令，所以，当时，，所以，所以在上单调递增，

又因为，所以为奇函数，

，即等价于，所以，所以，

故选：

三、解答题

17．．已知都是锐角，，求的值.

【答案】

【分析】先根据已知求解，拆分角，结合两角差的正弦公式可求.

【详解】因为都是锐角，，

所以，，

所以

.

【点睛】本题主要考查三角函数的给值求值问题，这类问题一般是先根据角之间的关系，探求求解思路，拆分角是常用方法.

18．如图，以为始边作角与，它们的终边分别与单位圆相交于点、，已知点的坐标为．

(1)求的值；

(2)已知，求．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由三角函数的定义首先求得的值，然后结合二倍角公式和同角三角函数基本关系化简求解三角函数式的值即可；

（2）由题意可得，然后利用诱导公式求出，分别求出的值，然后再利用两角和的正切公式即可得解.

【详解】（1）由三角函数定义得，，

∴原式

（2）由，得，

，，

所以，

∴．

19．在中，A、B、C三个内角所对的边依次为a、b、c，且．

(1)求角A的大小；

(2)若，的面积为，求的周长

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据题意，由正弦定理结合二倍角公式化简，即可得到结果；

（2）由三角形的面积公式可得，再由余弦定理可得，然后再由完全平方公式变形即可得到结果.

【详解】（1）因为，由正弦定理可得，

且，，则，即，

且，所以.

（2）因为，则可得，

在中，由余弦定理可得，

代入可得，即，

且，

所以.

则的周长为.

20．为打赢打好脱贫攻坚战，某村加大旅游业投入，准备将如图扇形空地AOB分隔成三部分建成花卉观赏区，分别种植玫瑰花、郁金香和菊花，已知扇形的半径为100米，圆心角为，点P在扇形的弧上，点Q在OB上，且．

(1)当Q是OB的中点时，求PQ的长；

(2)已知种植玫瑰花、郁金香和菊花的成本分别为30元/平方米、50元/平方米、20元/平方米，要使郁金香种植区△OPQ的面积尽可能的大，求△OPQ面积的最大值，并求此时扇形区域AOB种植花卉的总成本．

【答案】(1)百米

(2)，元

【分析】（1）直接利用余弦定理即可得出答案；

（2）设，，在△OPQ中，由正弦定理求得，再利用三角形的面积公式，结合三角恒等变换及三角函数的性质可得△OPQ面积的最大值，再根据扇形的面积公式，分别求出三个区域的面积，即可得出答案.

【详解】（1）解：扇形的半径为100米＝1百米，

当Q时OB的中点时，，，OP＝1，

在△OPQ中，由余弦定理可得，，

解得，

所以Q是OB的中点时，PQ的长约为百米；

（2）解：设，，

在△OPQ中，由正弦定理可得，，

所以，，

所以△OPQ的面积为，

故当，即时，△OPQ的面积最大为（百米2），

当时，PQ＝OP＝1，故扇形AOP的面积为，

扇形AOB的面积为，

所以区域BQP的面积为，

因为种植玫瑰花、郁金香和菊花的成本分别为30元/平方米、50元/平方米、20元/平方米，

所以此时扇形区域AOB种植花卉的总成本为

元．

21．已知函数，．若对于给定的非零常数，存在非零常数，使得对于恒成立，则称函数是上的“级类周期函数”，周期为．

(1)已知是上的周期为1的“2级类周期函数”，且当时，．求的值；

(2)在（1）的条件下，若对任意，都有，求实数的取值范围；

(3)是否存在非零实数，使函数是上的周期为的级类周期函数，若存在，求出实数和的值，若不存在，说明理由．

【答案】(1)

(2)

(3)存在，或

【分析】（1）根据题意得到，代入求解即可；

（2）画出的图象，数形结合得到实数的取值范围；

（3）由题意得到，分或，两种情况，得到对应的值.

【详解】（1），且当时，，

故；

（2），当时，，

……，

当时，，，

当时，，，

当时，，，

……，

画出的图象如下：

设当时，，即，

解得或，

因为，所以，

对任意，都有，故

故实数的取值范围是，

（3）假设存在非零实数，使函数是上的周期为的级类周期函数，

即，，

因为的值域为，而，

故，解得或，

当时，，故，

当时，，故，

综上，或.

【点睛】方法点睛：函数新定义问题，命题新颖，且存在知识点交叉，常常会和函数的性质，包括奇偶性，单调性，值域等进行结合，很好的考虑了知识迁移，综合运用能力，对于此类问题，一定要解读出题干中的信息，正确理解问题的本质，转化为熟悉的问题来进行解决.