2023年陕西省西安市莲湖区庆安初级中学中考数学五模试卷（含解析）

2023年陕西省西安市莲湖区庆安初级中学中考数学五模试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的绝对值是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  志愿服务传递爱心，传播文明下面的图形是部分志愿者标志图案，其中既是中心对称图形，也是轴对称图形的是(    )

A.  B.
C.  D.

3.  下列各式运算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  已知四边形是平行四边形，下列结论中正确的是(    )

A. 当时，它是矩形 B. 当时，它是菱形
C. 当时，它是正方形 D. 当时，它是菱形

5.  如图，点，，在正方形网格的格点上，则等于(    )

A.
B.
C.
D.

6.  在平面直角坐标系中，若将一次函数的图象向左平移个单位后，得到一个正比例函数的图象，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  如图，、分别与相切于、两点，若，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

8.  下表中列出的是一个二次函数的自变量与函数的几组对应值：

下列结论：
抛物线的开口向上；其图象的对称轴为；当时，函数值随的增大而增大；方程有一个根大于其中正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

9.  下列实数：，，中最小的实数是______ ．

10.  如图，将绕点顺时针旋转得到，边，相交于点，若，则的度数为______
 

11.  把这九个数填入方格中，使其任意一行，任意一列及任意一条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“九宫格”，它源于我国古代的“洛书”图，是世界上最早的“幻方”图是仅可以看到部分数值的“九宫格”，则的值为______ ．

 

12.  如图，矩形的两边、分别在轴、轴的正半轴上，且点，反比例函数的图象与交于点，与交于点，则点的坐标是______．

13.  如图，四边形中，，，，则的正切值是______ ．

三、计算题（本大题共2小题，共10.0分）

14.  解不等式组：．

15.  解方程：．

四、解答题（本大题共11小题，共71.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
．

17.  本小题分
如图，已知在中，在边上求作一点，连接，使得保留作图痕迹，不写作法和证明
 

18.  本小题分
如图，点、、、在直线上，，，，．
求证：
 

19.  本小题分
如图，在网格图中，每个小正方形边长均为，点和的顶点均在小正方形的顶点上．
以为位似中心，在网格图中作和位似，且位似比为：；
点和点之间的距离是        ．

20.  本小题分
在如图所示的电路图中，有四个断开的开关、、、和一个灯泡．
若任意闭合其中一个开关，则灯泡发亮的概率为______；
若任意闭合其中两个开关，请用列表法或画树状图法求灯泡发亮的概率．

21.  本小题分
如图，为测量某建筑物的高度，小刚采用了如下的方法：先从与建筑物底端在同一水平线上的点出发，沿斜坡行走米至坡顶处，再从处沿水平方向继续前行若干米后至点处，在点测得该建筑物顶端的仰角为，建筑物底端的俯角为，点、、、、在同一平面内，斜坡的坡度：请根据小刚的测量数据，计算出建筑物的高度结果要求精确到个位，参考数据：
 

22.  本小题分
某商店王老板借助网络平台了解到、两款网红杯子非常受欢迎，于是决定购进这两款网红杯子售卖．该店中这两款杯子售卖信息具体如下：

王老板计划购进、两款网红杯子共个进行销售，设购进款杯子个，、两款网红杯子全部售完后获得的总利润为元．
求出与之间的函数关系式；
若王老板计划用不超过元资金一次性购进、两款网红杯子，则如何进货才能使获利最大？并求出最大利润．

23.  本小题分
寒假归来，为检测初三同学假期锻炼的效果并为一个月后的体考做准备，学校组织了一次体育模拟考试，考试后体育王老师为了解所带、两个班的同学立定跳远情况，随机从两个班中各抽取名同学的立定跳远成绩进行整理、描述，分析立定跳远成绩用表示，为整数，共分为个等级：为不合格，为良好，为优秀，下面给出了部分信息：
班名同学立定跳远成绩：，，，，，，，，，；
班立定跳远成绩是“良好”等级的有人，其成绩分别是：，，，．

班立定跳远情况

根据以上信息，解答下列问题：
填空：表中的 ______ ， ______ ；
初三学生共有人，请估计初三年级立定跳远成绩不合格的有多少人？
根据以上数据分析，你认为哪个班级立定跳远成绩更加优秀？请说明理由写出一条理由即可．

24.  本小题分
如图，在中，，以为直径作，交于点，交于点，过点作的切线交的延长线于点．
求证：；
若，，求的长．

25.  本小题分
如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接．
求抛物线的解析式；
点是轴上一点，点是平面内任意一点，当以点、、、为顶点的四边形是矩形时，求点的坐标．

26.  本小题分
问题提出
如图，在中，，是的平分线，，，求的面积．
问题解决
如图，是某公园内一块绿地的平面示意图，其形状为四边形，，是一条长米的健身步道，且是的平分线，为了增加花卉的种植面积，规划在上找点，在上找点，沿线段、修建两条健身步道，将四边形分成四个区域，其中阴影区域将种植花卉若，设的长为米，种植花卉区域的面积为平方米．
求与之间的函数关系式；
试求当新修建的健身步道总长度最小时，种植花卉区域的面积．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的绝对值：，
故选：．
根据绝对值的性质：即可得出答案．
本题考查了绝对值的相关概念，解题关键在于熟记绝对值的定义．
 

2.【答案】 

【解析】解：不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B.不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
C.是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D.既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
故选：．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．
 

3.【答案】 

【解析】解：、与不是同类项，不能合并，故本选项不合题意；
B、，故本选项不合题意；
C、，故本选项不合题意；
D、，符合题意．
故选：．
根据幂的乘方，底数不变指数相乘；同底数幂相乘，底数不变指数相加；合并同类项的法则，对各选项计算后利用排除法求解．
本题考查了幂的乘方的性质，同底数幂的乘法，合并同类项的法则，熟练掌握运算性质是解题的关键，合并同类项时，不是同类项的不能合并．
 

4.【答案】 

【解析】解：、当时，它是菱形，说法错误，不符合题意；
B、当时，它是矩形，说法错误，不符合题意；
C、当且时，它是正方形，说法错误，不符合题意；
D、当时，它是菱形，说法正确，符合题意；
故选：．

根据矩形、菱形、正方形的判定方法和各个选项中的说法，可以判断是否正确，从而可以解答本题．
本题考查正方形的判定、菱形的判定、矩形的判定，解答本题的关键是明确它们各自的判定方法．
 

5.【答案】 

【解析】解：连接，点在格点上，如右图所示：
设每个小正方形的边长为，
则，
，
，
，
是直角三角形，
，
故选：．
根据题意，做出合适的辅助线，然后根据勾股定理的逆定理，可以得到的形状，从而可以求得的值．
本题考查解直角三角形、勾股定理，解答本题的关键是判断出的形状．
 

6.【答案】 

【解析】解：将一次函数的图象向左平移个单位后，得到，
把代入，得到：，
解得．
故选：．
根据平移的规律得到平移后直线的解析式为，然后把原点的坐标代入求值即可．
本题主要考查的是一次函数图象与几何变换，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：、是的切线，
，，
，
又，
则．
故选：．
由与都为圆的切线，利用切线的性质得到，，可得出，再由同弧所对的圆心角等于所对圆周角的倍，由已知的度数求出的度数，在四边形中，根据四边形的内角和即可求出的度数．
本题主要考查了切线的性质，四边形的内角和，以及圆周角定理，熟练运用性质及定理是解本题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：设二次函数的解析式为，
由题意知：，
解得，
二次函数的解析式为，
函数图象开口向上，故选项正确；
对称轴为直线，故选项错误；
当时，函数值随的增大而增大，故选项正确；
方程的解为，，故选项错误．
故选：．
设出二次函数的解析式，根据表中数据求出函数解析式，然后化成顶点式，根据二次函数的性质即可判断．
本题考查二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式等知识，解题关键是掌握二次函数与方程的关系．
 

9.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，即最小是数是，
故答案为：．
先判断与的大小，再根据实数的大小比较法则解答即可．
此题考查了实数的大小比较法则：正数大于零，零大于负数，两个负数绝对值大的反而小，还考查了无理数的估算．
 

10.【答案】 

【解析】解：将绕点顺时针旋转得到，
，，
，
，
故答案为：．
将绕点顺时针旋转得到，得，，进而根据三角形的内角和定理得结果．
本题主要考查了旋转的性质，三角形内角和定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：由题意得，，
解得，
，
故答案为：．
由题意根据任意一行，任意一列及任意一条对角线上的数之和都相等列出方程，列出方程，即可得出答案．
本题考查了二元一次方程组的应用，理解“九宫格”满足的条件进而得到等量关系列出方程组是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：点在反比例函数的图象上，
，
反比例函数的解析式为：，
点，
当时，，
，
故答案为：
把点直接代入反比例函数的解析式即可得出的值，进而得出反比例函数的解析式，再根据可知，直线的解析式，再把代入反比例函数关系式即可求出点坐标．
本题考查了用待定系数法求一次函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征及矩形的性质，求得反比例函数的解析式是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：，
点、、在以为圆心，长为半径的圆上，延长交于点，

，
，，
，
，
，

是的直径，
，
在中，，
，
，
，
，
，
故答案为：．
根据已知，可得点、、在以为圆心，长为半径的圆上，再利用直径所对的圆周角是直角，想到延长交于点，然后利用平行线的性质可得，最后在中即可解答．
本题考查了解直角三角形，平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

14.【答案】解：，
由得，，
由得，，
所以，不等式组的解集为． 

【解析】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到无解，先求出两个不等式的解集，再求其公共解．
 

15.【答案】解：最简公分母为，
去分母得：，
整理得：，
解得：，
经检验是增根，
故原分式方程无解． 

【解析】找出分式方程的最简公分母为，去分母后转化为整式方程，求出方程的解得到的值，代入最简公分母中检验即可得到原分式方程的解．
此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
 

16.【答案】解：原式
． 

【解析】直接利用二次根式的性质以及零指数幂的性质和绝对值的性质分别化简得出答案．
此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
 

17.【答案】解：如图，点为所作．
 

【解析】过点作的垂线，垂足为点，则利用垂直的定义和三角形内角和得到．
本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
 

18.【答案】证明：，，
，
，
，即：，
又，
≌，
． 

【解析】证明≌，即可得证．
本题考查全等三角形的判定和性质．熟练掌握证明直角三角形全等，是解题的关键．
 

19.【答案】 

【解析】解：如图所示：

如图所示：
点和点之间的距离为．
故答案为：．
以为位似中心，作的位似图形，使相似比为：，
根据所作三角形三点的位置写出点和点之间的距离．
此题考查了位似三角形的作法，得出位似图形的对应点的坐标是解题关键．
 

20.【答案】 

【解析】解：有个开关，只有开关一个闭合小灯发亮，
所以任意闭合其中一个开关，则小灯泡发光的概率是，
故答案为：．

画树状图如图：

结果任意闭合其中两个开关的情况共有种，其中能使小灯泡发光的情况有种，
小灯泡发光的概率是．
直接根据概率公式求解即可；
依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率．
考查列表法或树状图法求等可能事件发生的概率，使用此方法一定注意每一种结果出现的可能性是均等的，即为等可能事件．
 

21.【答案】解：过点作，垂足为，延长交于点，

则，
斜坡的坡度：，
，
设米，则米，
在中，米，
米，
，
，
米，米，
米，
在中，，
米，
在中，，
米，
米，
建筑物的高度约为米． 

【解析】过点作，垂足为，延长交于点，则，根据斜坡的坡度：，可设米，则米，然后在中，利用勾股定理求出的长，从而求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

22.【答案】解：由题意可得，，
即与之间的函数关系式为；
由题意得，，
解得，，
又，，
随的增大而增大，且是正整数，
当时，有最大值，此时，
个，
答：购进个款杯子，个款杯子，可获得的最大利润是元． 

【解析】根据题意，可以写出与的函数关系式；
根据服装店计划投入不超过元购进、这两款杯子，可以得到的取值范围，然后根据一次函数的性质，即可得到王老板可获得的最大利润．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

23.【答案】   

【解析】解：将班成绩从小到大排列：，，，，，，，，，，
班的众数为：，故，
班优秀的人数为：人，
则班不合格的人数为：人，
将班成绩从小到大排列：不合格人，，，，，优秀人，
则班中位数为：，故．
故答案为：，；
、班中不合格比例为：，
即：人，
答：估计初三年级立定跳远成绩不合格的有人；
班的优秀率高于班的优秀率，
班的成绩更好．
理由：班的优秀率高于班的优秀率答案不唯一．
先求出班“优秀”等级的人数，即可求出班“不合格”等级的人数，在根据中位数、众数的定义即可作答；
统计出、班“不合格”的人数，继而求解出样本中的不合格率，即可估计出全年级不合格人数；
结合众数、平均数、方差、中位数以及优秀率作答即可．
本题考查了中位数、众数、方差、平均数、扇形统计图以及用样本估计总体等知识，注重数形结合，并掌握利用中位数、众数、方差、平均数等参数做决策是解答本题的关键．
 

24.【答案】证明：连接，

是的直径，

，
，
，
；
解：连接，

是的直径，

，
，
，
，
与相切于点，
，
，
，
∽，
，
，
，
的长为． 

【解析】连接，根据直径所对的圆周角是直角可得，从而利用等腰三角形的三线合一性质可得，然后再利用圆周角定理可得，即可解答；
连接，据直径所对的圆周角是直角可得，再利用的结论证明∽，然后利用相似三角形的性质进行计算即可解答．
本题考查了圆周角定理，切线的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

25.【答案】解：抛物线与轴交于，两点，
设，
把代入得：，
解得：，
抛物线为：；

如图，当为矩形对角线时，

，，四边形为矩形，
，，
，
，
；
当为矩形对角线时，如图，

由矩形可得，
此时，重合，
；
综上：或． 

【解析】由抛物线与轴交于，两点，设，再把代入利用待定系数法求解即可；
分两种情况讨论：如图，当为矩形对角线时，当为对角线时，如图，再结合图形求解即可．
本题考查的是利用待定系数法求解抛物线的解析式，矩形的性质与判定，利用数形结合的方法解题是关键．
 

26.【答案】解：如图中，过点作于点．

，，，
，
平分，，，
，
，
，
；

如图中，过点作于点，于点，过点作于点．

平分，，，
，，
米，米，
在中，米，
米，
，
，
，
≌，
米，
米，
在中，米，
；

由可知，≌，
，
当时，的值最小，此时米，
．
种植花卉区域的面积为平方米． 

【解析】如图中，过点作于点首先证明，再利用面积法求出，可得结论；
如图中，过点作于点，于点，过点作于点求出，，，可得结论；
由≌，推出，推出当时，的值最小，此时米，代入函数关系式，可得结论．
本题属于四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，解直角三角形，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题．