高中数学新教材同步讲义（必修第一册） 5.1 任意角和弧度制（精讲）

人教版高中数学必修一目录

在社会发展的今天，数学发挥着不可替代的作用，也是学习和研究现代科学必不可少的基本工具。下面小编整理了《人教版高中数学必修一目录》，供大家参考！

第一章 集合与函数概念

1.1集合—阅读与思考，集合中元素的个数

1.2函数及其表示—阅读与思考，函数概念的发展历程

1.3函数的基本性质—信息技术应用，用计算机绘制函数图形

第二章 基本初等函数（1）

2.1指数函数—信息技术应用，借助信息技术探究指数函数的性质

2.2对数函数—阅读与思考，对数的发明

探究与发现，互为反函数的两个函数图像之间的关系

第三章 函数的应用

3.1函数与方程—阅读与思考，中外历史上的方程求解

信息技术应用，借助信息技术求方程的近似解

3.2函数模型及其应用—信息技术应用，收集数据并建立函数模型

5.1  任意角和弧度制

考点一 基本概念的辨析

【例1】(2020·河南宛城·南阳中学高一月考)下列说法正确的个数是(    )

①小于的角是锐角；

②钝角一定大于第一象限角；

③第二象限的角一定大于第一象限的角；

④始边与终边重合的角为.

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】A

【解析】对①，小于的角不是锐角，如不是锐角，故①错；

对②，角是第一象限的角，大于任何钝角，故②错；

对③，第二象限角中的角小于第一象限角中的角，故③错；

对④，始边与终边重合的角的度数是，故④错．故选：A．

【举一反三】

1．(2020·全国高一课时练习)下列说法正确的是(　　)

A．终边相同的角一定相等 B．钝角一定是第二象限角

C．第四象限角一定是负角 D．小于的角都是锐角

【答案】B

【解析】终边相同的角不一定相等，所以该选项错误；

钝角一定是第二象限角，所以该选项正确；

第四象限角不一定是负角，如是第四象限的角，但是不是负角，所以该选项错误；

小于的角不都是锐角，如.所以该选项错误.故选B

2．(2020·浙江高一课时练习)下列命题中正确的是(    )．

A．终边与始边重合的角是零角 B．90°～180°间的角不一定是钝角

C．终边和始边都相同的两个角相等 D．第二象限的角大于第一象限的角

【答案】B

【解析】终边与始边重合的角还有360°角，720°角等，故A错误；

90°～180°间的角包括90°角，故90°～180°间的角不一定是钝角，故B正确；

终边和始边都相同的两个角相差，故C错误；

120°角是第二象限角，它小于第一象限的角400°角，故D错误．故选：B

3．(2020·陕西大荔·高一期末)下列说法正确的是(    )

A．第二象限角大于第一象限角 B．不相等的角终边可以相同

C．若是第二象限角，一定是第四象限角 D．终边在轴正半轴上的角是零角

【答案】B

【解析】A选项，第一象限角，而是第二象限角，∴该选项错误；

B选项，与终边相等，但它们不相等，∴该选项正确；

C选项，若是第二象限角，则，

∴是第三象限角或第四象限角或终边在轴负半轴上的轴线角，∴该选项错误；D选项，角的终边在轴正半轴上，但不是零角，∴该选项错误.故选：.

考点二 角度与弧度的转换

【例2】(2020·汪清县汪清第六中学高一期中(文))把下列各角的弧度数化为度数，度数化为弧度数.

(1)；    (2) ；   (3)1125° ；(4)-225°.

【答案】(1)； (2)； (3)； (4).

【解析】根据弧度制与角度制的互化公式，，可得：

(1)；

(2)；

(3)；

(4).

【举一反三】

1．(2020·全国高一课时练习)把下列角度化成弧度：

(1)；   (2)；   (3)；  (4).

【答案】(1)(2)(3)(4)

【解析】(1)；(2)；(3)；(4)．

2．(2020·甘肃城关·兰州一中高一期中)___________弧度,弧度=________.

【答案】       

【解析】,,故答案为：；

3．(2020·土默特左旗金山学校高一月考(理))下列转化结果错误的是(    )

A．化成弧度是 B．化成度是

C．化成弧度是 D．化成度是

【答案】C

【解析】化成弧度是，A正确化成度是，B正确；

是，C错误；化成度是，D正确.故选：C.

考点三 终边相同

【例3】(2020·全国高一课时练习)(1)把－1480°写成的形式，其中；

(2)在内找出与角终边相同的角.

【答案】(1)；(2)72°，432°.

【解析】(1)∵，

而，且，∴.

∴.

(2)∵，

∴终边与角相同的角为，

当时，；当时，.

∴在内与角终边相同的角为72°，432°.

【举一反三】

1．(2020·汪清县汪清第六中学高一期中(文))已知角.

(1)将角改写成(，)的形式，并指出角是第几象限的角；

(2)在区间上找出与角终边相同的角.

【答案】(1)，是第三象限角；(2)．

【解析】

(1)，是第三象限角，∴是第三象限角．

(2)由得，因为，∴，对应角依次为．

2．(2020·全国高一课时练习)把下列各角度化为弧度,并写成的角加上的形式.

(1);

(2);

(3)

【答案】(1);(2);(3).

【解析】(1);

(2);

(3).

3．(2019·陕西榆阳·榆林十二中高一月考)用弧度制写出角的终边在下图中阴影区域内的角的集合.

(1)

(2)

【答案】(1)；(2)

【解析】(1)，，用弧度制表示终边在图中阴影区域内的角的集合为

.

(2)，，用弧度制表示终边在图中阴影区域内的角的集合为

.

考点四 象限的判断

【例4】(2020·全国高一课时练习)已知下列各角：① ② ③ ④，其中第二象限角的是(    )

A．①② B．①③ C．②③ D．②④

【答案】D

【解析】①表示由轴非负半轴绕原点顺时针旋转，落在第三象限；

②表示由轴非负半轴绕原点顺时针旋转，落在第二象限；

③表示由轴非负半轴绕原点逆时针旋转，落在轴非正半轴；

④表示由轴非负半轴绕原点逆时针旋转，且，的终边和的终边相同，所以落在第二象限.故选：D

【举一反三】

1．(2020·周口市中英文学校高一期中)角的终边所在的象限是(     )

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】A

【解析】因为，角是第一象限角，所以角的终边所在的象限是第一象限．

故选A.

2．(2020·全国高二)若是第二象限角，则是(　　)

A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角

【答案】A

【解析】为第二象限角，不妨取，则为第一象限角，故选A．

3．(2020·全国高一课时练习)在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角.

(1)－150°；(2)650°；(3)－950°15′.

【答案】(1)，第三象限的角；(2)，第四象限的角；(3)，第二象限的角；

【解析】(1)，是第三象限的角，是第三象限的角；

(2)，是第四象限的角，是第四象限的角；

(3)，是第二象限的角，是第二象限的角．

考点五 扇形

【例5】(2020·浙江高一课时练习)已知一扇形的圆心角为，所在圆的半径为R.

(1)若，，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；

(2)若扇形的周长为20 cm，当扇形的圆心角等于多少弧度时，这个扇形的面积最大?

【答案】(1)，；(2).

【解析】(1)设扇形的弧长为l，弓形面积为S，则

，，，

.

(2)设扇形弧长为l，则，即，

∴扇形面积，

∴当时，S有最大值，此时，.

因此当时，这个扇形面积最大.

【举一反三】

1．(2020·赤峰二中)《九章算术》是我国古代的数学巨著，其中《方田》章给出了计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积(弦×矢+矢2)，弧田(如图阴影部分所示)是由圆弧和弦围成，公式中的“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为，矢为4的弧田，按照上述方法计算出其面积是(    )

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】设半径为,圆心到弦的距离为,则,

所以弦长为,

弧田面积为.

故选:D.

2．(2020·辽宁沈阳·高一期中)一个半径是的扇形，其周长为，则该扇形圆心角的弧度数为(    )

A．1 B．3 C． D．

【答案】A

【解析】设扇形的弧长为，则，得，则扇形圆心角的弧度数为.故选：A.

3．(2020·上海高一课时练习)在扇形中，半径等于r.

(1)若弦的长等于半径，求扇形的弧长l；

(2)若弦的长等于半径的倍，求扇形的面积S

【答案】(1)；  (2)

【解析】(1)如图所示：设，

若弦的长等于半径，则

所以扇形的弧长

(2)如图所示：

若弦的长等于半径的倍，

则，

因为，所以，

所以，

所以扇形的面积为.