人教版数学必修一第一册第四章测试

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保密★启用前人教版数学必修一第一册第四章测试数学（全卷满分120分，考试用时120分钟）姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题1．已知，则的值为（    ）A．7 B． C．47 D．512．使得函数为奇函数的实数对的个数为（    ）A．1 B．2 C．3 D．43．若（且）在R上为增函数，则的单调递增区间为（    ）A． B． C． D．4．已知函数，当时，有，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．5．函数是奇函数，则的值为（    ）A．1 B． C．0 D．6．法国数学家马林·梅森是研究素数的数学家中成就很高的一位，人们将“（为素数）”形式的素数称为“梅森素数”，目前仅发现个“梅森素数”，可以估计，这个“梅森素数”的位数为（参考数据：）（    ）A． B． C． D． 二、多选题7．下列结论中正确的是（    ）A．已知函数的定义域为，且在任何区间内的平均变化率均比在同一区间内的平均变化率小，则函数在上是减函数；B．已知总体的各个个体的值由小到大依次为2，3，3，7，10，11，12，，18，20，且总体的平均数为10，则这组数的75%分位数为13；C．方程的解集为；D．一次函数一定存在反函数．8．设a，b，c都是正数，且，那么（    ）A． B． C． D． 三、填空题9．已知函数，若对任意均有，则的取值范围是_________.10．函数的定义域为__________．11．设函数，若关于的方程有且仅有两个不同的实数根，则实数的取值构成的集合为___________.12．计算；=______． 四、解答题13．已知函数f(x)=1+.（1）求函数f(x)的定义域.（2）证明函数f(x)在上为减函数.14．已知函数在区间上有最大值和最小值．(1)求实数、的值；(2)设，若不等式，在上恒成立，求实数的取值范围．15．已知函数.(1)解关于x的不等式；(2)设，若对于任意的都有，求M的最小值.16．科学研究表明：一般情况下，在一节40分钟的课中，学生的注意力随教师讲课的时间变化而变化.开始上课时，学生的注意力逐步增强，随后学生的注意力开始分散．经过实验分析，得出学生的注意力指数随时间（分钟）的变化规律为：（1）如果学生的注意力指数不低于80，称为“理想听课状态”，则在一节40分钟的课中学生处于“理想听课状态”所持续的时间有多长？（精确到1分钟）（2）现有一道数学压轴题，教师必须持续讲解24分钟，为了使效果更好，要求学生的注意力指数在这24分钟内的最低值达到最大，那么，教师上课后从第几分钟开始讲解这道题？（精确到1分钟）（参考数据：）
参考答案：1．C【分析】将两边平方可以求出的值，然后再平方一次可得答案.【详解】因为，所以，所以，所以，所以，故选：C．2．B【分析】利用函数的奇偶性的定义判断.【详解】解：因为函数为奇函数，所以，则，所以，整理可得，于是，．则为，，，，当，时，的定义域为，不关于原点对称，当，时，，舍．当，时，，符合题意．当，时，，符合题意．故选：B3．B【分析】根据给定的单调性求出a的取值范围，再求出函数的定义域，利用复合函数单调性求解作答.【详解】且，函数与在R上有相同的单调性，即函数与函数在R上有相同的单调性，因此函数在R上单调递增，，在中，，解得或，显然函数在上单调递减，在上单调递增，所以函数的单调递增区间为.故选：B4．B【分析】作出函数的图象，求出的取值范围，由此可得出的取值范围.【详解】当时，，作出函数的图象如下图所示：设，由图可知，当时，直线与函数的图象有三个交点，由，解得，因为，因此，.故选：B.【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.5．D【解析】根据奇函数的定义可得，代入表达式利用对数的运算即可求解.【详解】函数是奇函数，则，即，从而可得，解得.当时，，即定义域为，所以时，是奇函数故选：D【点睛】本题考查了函数奇偶性的应用，需掌握函数奇偶性的定义，同时本题也考查了对数的运算，属于基础题.6．C【分析】计算出的近似值，可得出结论.【详解】依题意，，故这个“梅森素数”有位，故选：C.7．AD【解析】A选项可利用任何区间内平均变化率的大小判断增减性；B选项根据平均数计算a,可判断75%分位数；C选项要注意真数大于0；D选项一次函数是单调函数，即可判断反函数存在.【详解】A中，由题意知在任何区间内的平均变化率都小于0，从而函数在上是减函数正确；B中，由2，3，3，7，10，11，12，，18，20的平均数为10，可求得，根据75%分位数概念计算可知，故不正确，C中，时，无意义，显然错误；D中，一次函数具有单调性，反解可以构成函数，故存在反函数，正确.故选：AD【点睛】本题主要考查了平均变化率，75%分位数，对数方程，反函数的概念，属于中档题.8．AD【分析】利用与对数定义求出，，，再根据对数的运算性质可得，然后进行化简变形即可得到.【详解】由于，，都是正数，故可设，，，，则，，.，，即，去分母整理得，.故选AD.【点睛】本题考查对数的定义及运算性质，属于基础题.9．【分析】先判断出为增函数，列不等式组即可解得.【详解】根据题意，对任意均有，则为增函数，只需或解得：或，故实数的取值范围是.故答案为：【点睛】函数单调性的等价结论：（1）复合函数单调性满足同增异减；（2）为增函数或，为减函数或.10．【分析】由二次根式的被开方数非负，对数的真数大于零，列不等式组，可求得函数的定义域【详解】解：由题意得，得，解得，所以函数的定义域为，故答案为：【点睛】此题考查求复合函数的定义域，考查对数不等式的解法，属于基础题11．【分析】转化为，令，，问题转化为函数和的图象有两个交点，作出图象后发现的图象折线左侧的射线与的相切，或折线的顶点在的图象上（第一象限部分），由此可得的取值．【详解】,，令，，作出和的图象，如图，方程有且仅有两个不同的实数根，则和的图象有两个交点，则的图象折线左侧的射线与的相切，或折线的顶点在的图象上（第一象限部分）．若相切，左侧为，，，，，折线顶点在图象上，则，解得，在第一象限，则．故答案为：．【点睛】关键点点睛：本题考查方程根的个数问题，解题关键是转化为函数图象交点个数，方法是作出函数图象，通过图象发现性质，得出求解方法：题中的图象折线左侧的射线与的相切，或折线的顶点在的图象上（第一象限部分）．12．【分析】根据指对数的运算性质即可.【详解】故答案为：13．（1）{x|x∈R且x≠0}；（2）证明见解析.【分析】（1）由分母不为0可得答案；（2）设x1，x2∈且x1<x2， 判断差式的正负可得答案，【详解】（1）由f(x)=1+可得，，所以x≠0，所以函数f(x)的定义域为{x|x∈R且x≠0}.（2）设x1，x2∈且x1<x2，=，因为x1，x2∈且x1<x2，所以且，.所以，即，所以函数f(x)在上为减函数.14．(1)，；(2). 【分析】（1）分析函数在区间上的单调性，结合已知条件可得出关于实数、的方程组，即可解得实数、的值；（2）由（1）可得，利用参变量分离法可得出，利用单调性求出函数在上的最小值，即可得出实数的取值范围.(1)解：的对称轴是，又，所以，函数在上单调递减，在上单调递增，当时，取最小值，当时，取最大值，即，解得.(2)解：由（1）知：，所以，，又，，令，则在上是增函数．所以，，要使在上恒成立，只需，因此，实数的取值范围为．15．(1)见解析(2) 【分析】（1）题设不等式可化为，讨论、、分别求得它们的解集；（2）由题意知：在上的值域为，要使只需，进而可求的最小值.【详解】（1），化简有，即整理得，∴当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为；（2）∵时，，∴根据二次函数的图像性质，有，∴，∵对于都有，即求，转化为，而，，∴，即的最小值为.16．（1）20分钟；（2）第4分钟.【分析】（1）由结合分段函数的解析式来解不等式，从而求得学生处于“理想听课状态”所持续的时间.（2）结合分段函数的解析式、二次函数的对称性以及注意力指数的要求列方程，化简可求得正确结论.【详解】（1）由于学生的注意力指数不低于80，即当时，由得；当时，由得；所以，，故学生处于“理想听课状态”所持续的时间有20分钟.（2）设教师上课后从第分钟开始讲解这道题，持续时间分钟，，的对称轴为，要使学生的注意力指数最低值达到最大，则，且，即，解得.所以，教师上课后从第4分钟开始讲解这道题，能使学生的注意力指数最低值达到最大.