2023年广东省茂名市化州市圣古初级中学中考数学模拟试卷(含解析)

2023年广东省茂名市化州市圣古初级中学中考数学模拟试卷

一、选择题（本大题共9小题，共27.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列图形中，不是中心对称图形有(    )

A.  B.  C.  D.

2.  茂名化州市大岭化橘红歌手比赛数据：，，，，的众数和中位数分别为(    )

A. 和 B. 和 C. 和 D. 和

3.  一个正五边形的外角和的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  式子有意义的的取值范围是(    )

A. 且 B.  C.  D. 且

5.  在二次函数的图象中，将轴向下平移个单位，轴向右平移个单位后，得到的图象所对应的二次函数表达式为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  关于的不等式组的解集是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  如图，，是的弦，延长，相交于点已知，，则所对的圆心角的度数是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，在▱，点在上，且平分，交于点，若，，则(    )

A.
B.
C.
D.

9.  二次函数的图象如图所示，反比例函数与正比例函数在同一坐标系内的大致图象是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

10.  分解因式：          ．

11.  已知，满足，则        ．

12.  已知，则代数式的值等于        ．

13.  如图，点、在反比例函数的图象上，连接、，以、为边作平行四边形若点恰好落在反比例函数的图象上，则        ．

14.  如图所示，正方形的边长为，点为的中点，以为圆心，为半径作圆，分别交，于，两点，与切于点，则图中阴影部分面积是______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15.  本小题分
计算：．

16.  本小题分
先化简，再从，，，中选择一个合适的的值代入求值．

17.  本小题分
已知关于的一元二次方程有实数根．
求的取值范围；
当时，方程的两个根分别是矩形的长和宽，求该矩形外接圆的直径．

18.  本小题分
某中学数学兴趣小组为了了解参加数学学科节学生的年龄情况，随机抽取了其中部分学生的年龄，经过数据整理，绘制出不完整的统计图，依据相关信息解答以下问题：

写出被抽取的学生人数______ ，并补全条形统计图．
被抽取的学生的年龄的众数是______ 岁，中位数是______ 岁
若共有名学生参加了本次数学学科节活动，请估计活动中年龄在岁及以上的学生人数．

19.  本小题分
如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点．
求反比例函数和一次函数的解析式；
根据图象直接写出时，的取值范围；
求的面积．

20.  本小题分
某经销商计划购进，两种农产品．已知购进种农产品件，种农产品件，共需元；购进种农产品件，种农产品件，共需元．
，两种农产品每件的价格分别是多少元？
该经销商计划用不超过元购进，两种农产品共件，且种农产品的件数不超过种农产品件数的倍．如果该经销商将购进的农产品按照种每件元，种每件元的价格全部售出，那么购进，两种农产品各多少件时获利最多？

21.  本小题分
如图，中，，平分，是上一点，以为直径作，若恰好经过点．
求证：直线与相切；
若，，求的半径的长．

22.  本小题分
如图，直线与轴、轴分别交于两点，抛物线经过、两点，且与轴交于点．
求该抛物线的函数表达式；
已知点是第一象限内抛物线上的一个动点，过点作平行于轴交直线于点，连接、、，求四边形面积的最大值，并求出此时点的坐标．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
根据中心对称图形的概念求解．本题考查了中心对称图形的知识，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
【解答】
解：、是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、不是中心对称图形，故本选项符合题意；
故选：．  

2.【答案】 

【解析】解：在这一组数据中是出现次数最多的，故众数是；
而将这组数据从小到大的顺序排列、、、、、，处于中间位置的那个数是，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是．
故这组数据的众数和中位数分别是，．
故选：．
找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．
本题考查了众数和中位数，掌握相关定义是解答本题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：正五边形的外角和是．
故选：．
根据多边形外角和等于求解即可．
本题考查多边形外角和，解答本题的关键是明确任意多边形外角和为．
 

4.【答案】 

【解析】解：式子有意义，
，
解得且．
故选：．
根据二次根式和分式有意义的条件讨论解答．
本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握分式有意义的条件、二次根式有意义的条件以及特殊角的三角函数值是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：由题意可知二次函数的图象相当于向左平移个单位，向上平移个单位后，得到的图象所对应的二次函数表达式为，即．
故选：．
根据平移规律“左加右减，上加下减”解答．
主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
 

6.【答案】 

【解析】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为，
故选：．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：如图，连接，

，
，
，，
，
所对的圆心角的度数的度数．
故选：．
根据圆周角定理和三角形外角的性质解答即可．
本题主要考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解答本题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：在▱中，，
，
平分，
，
，
，
，
∽，
．
故选：．
证明∽，根据相似三角形面积比等于相似比的平方即可解决问题．
本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，解决本题的关键是得到∽．
 

9.【答案】 

【解析】解：二次函数的图象开口方向向下，
，
对称轴在轴的左边，
，
，
反比例函数的图象在第二四象限，
正比例函数的图象在第二四象限．
故选：．
由已知二次函数的图象开口方向可以知道的取值范围，对称轴可以确定的取值范围，然后就可以确定反比例函数与正比例函数在同一坐标系内的大致图象．
此题主要考查了从图象上把握有用的条件，准确选择数量关系解得的值，简单的图象最少能反映出个条件：开口向下；对称轴的位置即可确定的值．
 

10.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用分解因式．
应先提取公因式，再对其利用平方差公式分解即可．
【解答】

解：，
，
．
故答案为：．

11.【答案】 

【解析】解：根据题意得，，，
解得，．
．
故答案为：．
根据非负数的性质列式求解即可得到、的值，代入式子即可得答案．
本题考查了绝对值非负数，算术平方根非负数的性质，根据几个非负数的和等于，则每一个算式都等于列式是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：，
，



．
故答案为：．
根据题意可得，将提取公因式得，再整体代入即可解答．
本题主要考查代数式求值，观察代数式的特点，灵活变化系数，运用整体代入的思想计算是解题关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：如图，连接，交于点，作轴，轴，

设点，点，
四边形是平行四边形，
与互相平分，
点，
点坐标，
点，
点在在反比例函数的图象上，
，
，不合题意舍去，
点，
，
四边形的面积．
故答案为：．
连接，交于点，作轴，轴，设点，点，由平行四边形的性质和中点坐标公式可得点，把点坐标代入解析式可求，由面积和差关系可求解．
本题考查了反比例函数比例系数的几何意义以及反比例函数图象上点的坐标特征，平行四边形的性质，中点坐标公式，解题时注意：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向轴和轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值解决问题的关键是换元思想以及数形结合思想的运用．
 

14.【答案】 

【解析】解：，，，
≌，
由勾股定理得，，
：：，
，
，
则阴影部分的面积．
根据题意得，阴影部分的面积，根据已知可证明≌，从而得到式子：阴影部分的面积，分别求得各部分面积即可求得阴影部分的面积．
本题利用了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，直角三角形的面积公式，扇形的面积公式求解．
 

15.【答案】解：原式
． 

【解析】根据零指数幂，绝对值，负整数指数幂，二次根式的化简计算即可．
本题考查了实数的运算，零指数幂，绝对值，负整数指数幂，考查学生的运算能力，掌握，是解题的关键．
 

16.【答案】解：



，
，，，
可以取，此时原式． 

【解析】先计算分式的混合运算进行化简，先算小括号里面的，然后算括号外面的，最后根据分式成立的条件确定的取值，代入求值即可．
本题考查分式的混合运算，分式成立的条件及二次根式的运算，掌握运算顺序和计算法则准确计算是解题关键．
 

17.【答案】解：方程有实数根，
，
，
当时，原方程有实数根；
当时，原方程可化为：，
设方程的两个根分别为、，则，，
该矩形外接圆的直径是矩形的对角线，如图所示，
，
该矩形外接圆的直径是． 

【解析】由根的判别式列出不等式，解不等式可得的取值范围；
由根与系数的关系可得、，该矩形外接圆的直径是矩形的对角线，根据勾股定理可得结论．
本题主要考查一元二次方程根的判别式、根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系和进行变形是解题的关键．
 

18.【答案】     

【解析】解：被抽取的学生人数：，
故答案为：，
岁的学生有：人，
岁的学生有人，
补全的条形统计图如右图所示；
由条形统计图可知，
被抽取的学生的年龄的众数是岁，中位数是岁，
故答案为：，；
人，
即估计活动中年龄在岁及以上的学生有人．
根据岁的人数和所占的百分比，可以计算出本次被抽查的学生人数，然后即可计算出户岁和岁的人数，从而可以将条形统计图补充完整；
根据条形统计图中的数据，可以得到被抽取的学生的年龄的众数和中位数；
根据统计图中的数据，可以计算出活动中年龄在岁及以上的学生人数．
本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

19.【答案】解：，在的图象上，
，
反比例函数的解析式是，
，
，在函数的图象上，
，
解得：，
则一次函数的解析式是．
所以一次函数的解析式是，反比例函数的解析式是；
由图象得：当或时，；
直线与轴相交于点，
的坐标是，
． 

【解析】把的坐标代入反比例函数解析式即可求得的值，然后把代入即可求得的值，利用待定系数法可得一次函数的解析式；
根据图象可得结论；
求出点的坐标，根据即可求解．
本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，根据待定系数法求出函数的解析式是解题的关键．
 

20.【答案】 解：设每件种农产品的价格是元，每件种农产品的价格是元，
依题意得：
解得：．
答：每件种农产品的价格是元，每件种农产品的价格是元；
设该经销商购进件种农产品，则购进件种农产品，
依题意得：
解得：．
设两种农产品全部售出后获得的总利润为元，则．
，
随的增大而减小，
当时，取得最大值，此时．
答：当购进件种农产品，件种农产品时获利最多．

【解析】

【分析】
设每件种农产品的价格是元，每件种农产品的价格是元，根据“购进种农产品件，种农产品件，共需元；购进种农产品件，种农产品件，共需元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设该经销商购进件种农产品，则购进件种农产品，利用总价单价数量，结合购进种农产品的件数不超过种农产品件数的倍且总价不超过元，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，设两种农产品全部售出后获得的总利润为元，利用总利润每件的销售利润销售数量，即可得出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
【解答】
解：设每件种农产品的价格是元，每件种农产品的价格是元，
依题意得：
解得：．
答：每件种农产品的价格是元，每件种农产品的价格是元；
设该经销商购进件种农产品，则购进件种农产品，
依题意得：
解得：．
设两种农产品全部售出后获得的总利润为元，则．
，
随的增大而减小，
当时，取得最大值，此时．
答：当购进件种农产品，件种农产品时获利最多．
【点评】
本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式．  

21.【答案】解：连接．

平分，
．
又，
．
．
．
，
．
是的切线；
连接，
在中，，
，，
，，
是的直径，
，
，，
∽，
，
．
的半径为． 

【解析】连接根据已知条件证明进而可得是的切线；
连接，根据三角函数可得，，根据是的直径，可得，证明∽，对应边成比例即可得的半径的长．
本题考查了切线的判定与性质，角平分线的性质，圆周角定理，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是综合运用以上知识．
 

22.【答案】解：由得，
，令，得，
，
由题意得：，
解得，
抛物线解析式为；
如图，设，，







，
当时，的最大值，此时点 

【解析】直线与轴、轴的交点为，，代入抛物线解析式可求出，的值；
设点，，用含的代数式表示四边形的面积，得到与的函数关系式，利用二次函数最大值求出的值．
本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求二次函数解析式、求直线与坐标轴的交点坐标、二次函数最大小值、平行四边形性质、存在性问题．