2023年广东省茂名市圣古中学中考模拟数学试题（5月）（含解析）

2023年广东省茂名市圣古中学中考模拟数学试题（5月）

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．的绝对值是（    ）

A． B． C． D．2023

2．一个64位的量子计算机的数据处理速度约是目前世界上最快的“太湖之光”超级计算机的150000000000倍．其中数据150000000000用科学记数法表示为（　　）

A．0.15× B．1.5× C．15× D．1.5×

3．年油价多次上涨，新能源车企迎来了更多的关注，如图是四款新能源汽车的标志，其中是中心对称图形的是（    ）

A． B． C． D．

4．下列计算正确的是（　　）

A． B． C． D．

5．某班七个兴趣小组人数分别为，则这组数据的众数是（    ）

A．7 B．6 C．5 D．4

6．若关于x的一元二次方程kx2﹣x+1＝0有实数根，则k的取值范围是（　　）

A．k＞且k≠0 B．k＜且k≠0 C．k≤且k≠0 D．k＜

7．如图，点、、、在上，，则的度数是（    ）

A． B． C． D．

8．如图，已知a∥b，小华把三角板的直角顶点放在直线b上．若∠1=40°，则∠2的度数为（ ）

A．100° B．110° C．120° D．130°

9．将二次函数的图象先向左平移1个单位，再向上平移3个单位，得到的函数图象的表达式为（    ）

A． B． C． D．

10．如图是二次函数的图象，对于下列说法，其中正确的有（    ）

①，②，③，④，⑤当时，y随x的增大而减小，

A．5个 B．4个 C．3个 D．2个

二、填空题

11．分解因式：________．

12．已知∠α=60°，则∠α的余角等于____度．

13．不等式组的解集是___________．

14．函数中自变量的取值范围是______．

15．如图，在矩形ABCD中，，，若点M、N分别是线段DB、AB上的两个动点，则的最小值为___________________．

三、解答题

16．（1）计算：

（2）先化简，再求值．，其中．

17．如图，已知．

(1)尺规作图：作的垂直平分线交于点；

(2)连接，若，，求的度数．

18．为了解学生参加学校社团活动的情况，对报名参加A：篮球，B：舞蹈，C：书法，D：田径，E：绘画这五项活动的学生（每人必选且只能参加一项）中随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．

根据所给的信息，解答下列问题：

(1)这次被调查的学生共有___________人，并把条形统计图补充完整；

(2)若该校共有名学生参加社团活动，请你估计这名学生中约有多少人参加书法社团；

(3)在田径社团活动中，由于甲，乙，丙，丁四人平均的成绩突出，现决定从他们中任选两名参加区级运动会．用树状图或列表的方法求恰好选中甲，乙两位同学参加的概率．

19．为响应乡村振兴号召，在外地创业成功的大学毕业生小姣毅然返乡当起了新农人，创办了果蔬生态种植基地．最近，为给基地蔬菜施肥，她准备购买甲、乙两种有机肥．已知甲种有机肥每吨的价格比乙种有机肥每吨的价格多100元，购买2吨甲种有机肥和1吨乙种有机肥共需1700元．

(1)甲、乙两种有机肥每吨各多少元？

(2)若小姣准备购买甲、乙两种有机肥共10吨，且总费用不能超过5600元，则小姣最多能购买甲种有机肥多少吨？

20．如图，中，，点为边中点，过点作的垂线交于点，在直线上截取，使，连接、、．

(1)求证：四边形是菱形；

(2)若，，连接，求的长．

21．如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于第二、四象限A、B两点，过点作轴于D，，，且点B的坐标为.

(1).求一次函数与反比例函数的解析式；

(2)是轴上一点，且是等腰三角形，直接写出所有符合条件的点坐标.

22．如图，在的边上取一点，以为圆心，为半径画，与边相切于点，，连接交于点，连接，并延长交线段于点．

(1)求证：是的切线；

(2)若，，求的半径；

(3)若是的中点，求证：．

23．抛物线与坐标轴分别交于，，三点．点是第一象限内抛物线上的一点．

(1)求抛物线解析式：

(2)连接，若，求点的坐标；

(3)连接，是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．

参考答案：

1．D

【分析】根据负数的绝对值是它的相反数进行求值即可．

【详解】解：，

故选：D．

【点睛】本题考查了绝对值的性质，熟记概念是解题关键．

2．B

【分析】把小数点点在最左边起第一个非零数字后，得到a，数出大整数的整数位数，减去1，得到n，写成的形式即可．

【详解】∵150000000000＝1.5×，

故选B．

【点睛】本题考查了绝对值大于10的大数的科学记数法表示，准确把握把小数点点在最左边起第一个非零数字后，得到a，数出大整数的整数位数，减去1，得到n是解题的关键．

3．C

【分析】根据在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形与原图形重合，则这个图形为中心对称图形判断即可．

【详解】解：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形与原图形重合，则这个图形为中心对称图形，

通过选项中的图形判断可得C选项中的图形为中心对称图形，

故选：C．

【点睛】本题主要考查中心对称图形的知识，熟练掌握中心对称图形的概念是解题的关键．

4．C

【分析】直接利用同底数幂的乘法运算法则，合并同类项法则，幂的乘方，同底数幂的除法运算法则分别判断得出答案．

【详解】A．，选项错误；

B．，选项错误；

C．，选项正确；

D．，选项错误；

故选：C．

【点睛】此题主要考查了同底数幂的乘法运算，合并同类项，幂的乘方，同底数幂的除法运算等知识，正确掌握运算法则是解题关键．

5．D

【分析】根据众数的概念，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，即可求解．

【详解】解：中，4出现的次数最多，

∴这组数据的众数是4，

故选：D．

【点睛】本题考查了众数的概念，掌握众数的概念是解题的关键．

6．C

【分析】根据二次项系数非零及根的判别式△≥0，即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出结论．

【详解】∵关于x的一元二次方程kx2-x+1=0有实数根，

∴k≠0且△=（-1）2-4k≥0，

解得：且k≠0．

故选C．

【点睛】本题考查了一元二次方程的定义以及根的判别式，根据二次项系数非零结合根的判别式△≥0，找出关于k的一元一次不等式组是解题的关键．

7．C

【分析】根据圆周角定理求得，根据圆内接四边形对角互补即可求解．

【详解】解：∵，，

∴，

∵点、、、在上，

∴，

故选：C．

【点睛】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形对角互补，掌握圆周角定理是解题的关键．

8．D

【详解】解：如图，

∵∠1+∠3=90°，

∴∠3=90°﹣40°=50°，

∵a∥b，

∴∠2+∠3=180°．

∴∠2=180°﹣50°=130°．

故选D．

9．A

【分析】利用平移的规律“左加右减，上加下减”可得到答案．

【详解】解：将二次函数的图象先向左平移1个单位，再向上平移3个单位，则所得到的二次函数的解析式是．

故选：A．

【点睛】本题主要考查二次函数图象的平移，掌握平移的规律“左加右减，上加下减”是解题的关键．

10．C

【分析】根据二次函数图象的开口方向以及与轴的交点，判断①，根据对称轴，判断②，根据二次函数与轴有交点判断③，根据时，，判断④，根据函数图象直接判断⑤，即可求解．

【详解】解：①由图象可知：，

∴，故①错误；

②∵对称轴为，

∴，故②正确；

∵抛物线与轴有两个交点，

∴，即，故③正确；

根据函数图象可知：时，，即，故④正确

当时，y随x的增大而先减小后增大，故⑤不正确

故选：C．

【点睛】本题考查二次函数图象与性质，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质．

11．

【分析】根据一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式求解

【详解】解：

故答案为：

【点睛】本题主要考查了运用提公因式法因式分解，解题时注意：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的．

12．30

【详解】∵互余两角的和等于90°，

∴α的余角为：90°-60°=30°.

故答案为：30

13．

【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．

【详解】

由①得，

解得；

由②得，

解得；

∴不等式组的解集为．

故答案为：．

【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．

14．

【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，即可求出答案．

【详解】解：根据题意，

，

∴；

故答案为：．

【点睛】本题考查了二次根式的性质，解题的关键是熟练掌握二次根式被开方数大于等于0进行解题．

15．

【分析】如图，过A作于，延长，使，过作于，交于，则最短，再利用矩形的性质与锐角三角函数求解即可得到答案．

【详解】解：如图，过A作于，延长，使，过作于，交于，则最短，

四边形为矩形，，，

即的最小值为

故答案为：

【点睛】本题考查的是矩形的性质，锐角三角函数的应用，同时考查利用轴对称与垂线段最短求线段和的最小值问题，解题的关键是掌握以上知识．

16．（1）1；（2），．

【分析】（1）先分别求解零指数幂，正弦，算术平方根，然后进行加减运算即可；

（2）先通分、因式分解，然后进行除法运算可得化简结果，最后代值求解即可．

【详解】（1）解：．

（2）解：

，

当时，原式．

【点睛】本题考查了零指数幂，特殊的三角函数值，分式的化简求值．解题的关键在于正确的运算．

17．(1)作图见解析

(2)

【分析】（1）根据线段垂直平分线的尺规作图求解即可；

（2）由中垂线的性质可得，据此知，继而得，最后在中根据内角和定理求解即可．

【详解】（1）解：如图所示，即为所求．

（2）证明：∵是的垂直平分线，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴．

∴的度数为．

【点睛】本题考查线段中垂线的尺规作图，中垂线的性质，等边对等角，三角形外角的性质，三角形内角和定理．解题的关键是掌握线段中垂线的尺规作图及线段中垂线的性质．

18．(1)，图见解析

(2)

(3)，图见解析

【分析】（1）用篮球人数除以所占百分比即可求出调查的学生总人数，用总人数减去除田径外其他项目的人数即可得到参加田径的人数，然后补充条形统计图即可；

（2）先计算出参加书法社团的百分比，然后用相乘即可；

（3）画出树状图，然后根据树状图计算概率即可．

【详解】（1）解：被调查的学生共有（人），

参加田径的人数为（人），

条形统计图补充完整如下图所示，

（2）解：（人），

答：这名学生中约有人参加书法社团．

（3）解：如图所示，

由图可知，甲乙两位同学参加有种情况，总共有种情况，

则恰好选中甲，乙两位同学参加的概率为．

【点睛】本题考查了条形统计图与扇形统计图综合，树状图与概率计算，掌握相关知识并正确计算是解题关键．

19．(1)甲种有机肥每吨600元，乙种有机肥每吨500元

(2)小妏最多能购买甲种有机用6吨

【分析】（1）设甲种有机肥每吨x元，乙种有机肥每吨y元，根据甲种有机肥每吨的价格比乙种有机肥每吨的价格多100元，购买2吨甲种有机肥和1吨乙种有机肥共需1700元列出二元一次方程组求解即可；

（2）设沟买甲种有机肥m呠，则购买乙种有机肥吨，根据总费用不能超过5600元列不等式求解即可．

【详解】（1）设甲种有机肥每吨x元，乙种有机肥每吨y元，

根据题意，得, 解得,

答：甲种有机肥每吨600元，乙种有机肥每吨500元．

（2）设沟买甲种有机肥m呠，则购买乙种有机肥吨，

根据题意，得，解得．

答：小姣最多能购买甲种有机用6吨．

【点睛】本题考查二元一次方程组的应用和一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）正确找出等量关系，列出分式方程，（2）正确找出等量关系，列出不等式和一次函数关系式．

20．(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）根据对角线互相平分且垂直即可证明四边形是菱形；

（2）过点作于点，得矩形，根据，，可得，，根据勾股定理求出的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得的长．

【详解】（1）证明：∵点为边中点，

∴，

∵，

∴四边形是平行四边形，

∵，

∴四边形是菱形；

（2）解：如图，连接，过点作于点，

∵，

∴，

∵四边形是菱形，

∴，

∴，

∴四边形是矩形，

∵，，

∴，

∴，

∵四边形是菱形，  

∴，

∴，

∴，

∵，是的中点，

∴，

∴的长为．

【点睛】本题考查菱形的判定与性质，矩形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线的性质，解直角三角形．解题的关键是掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．

21．(1)一次函数的解析式为；反比例函数解析式为；

(2)满足条件的点的坐标为或或或．

【分析】（1）先利用勾股定理求出，得出点A坐标，进而求出反比例函数解析式，进而求出点B坐标，将点A，B坐标代入直线解析式中，建立方程组，求解即可得出结论；

（2）设出点坐标，进而表示出，，再分，，三种情况，建立方程求解即可得出结论．

【详解】（1）解：轴，

，

在中，，，

根据勾股定理得，，

∵点A在第二象限，

∴，

∵点A在反比例函数的图象上，

∴，

∴反比例函数解析式为，

∵点在反比例函数上，

∴，

∴，

∴，

∵点,在直线上，

∴，解得，

一次函数的解析式为；

（2）解：设点的坐标为，

∵，，

∴，，

是等腰三角形，，

∴①当时，，

∴，

∴或；

当时，，

∴或舍，

∴；

当时，，

∴，

∴，

即：满足条件的点的坐标为或或或．

【点睛】此题是反比例函数与一次函数综合题，主要考查了待定系数法，勾股定理，等腰三角形的性质，用方程的思想解决问题是解本题的关键．

22．(1)见解析

(2)

(3)见解析

【分析】（1）由切线的性质可得，由“”可证，可得，可得结论；

（2）由锐角三角函数可设，，由勾股定理可求，再由勾股定理可求解；

（3）由“”可知，可得，由三角形内角和定理可得，，可得，可证，可得结论．

【详解】（1）证明：与边相切于点，

，即，

，，，

，

，

，

又是半径，

是的切线；

（2），

设，，

，

，

，

，

，，

，

，

，

，

故的半径为；

（3）由（1）可知：，

，，

又，，

，

，

，

，

，

点是中点，，

，

，

，

，

，

．

【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．

23．(1)

(2)

(3)存在，

【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；

（2）根据坐标得出，根据建立方程，解方程即可求解；

（3）作点角平分线交抛物线于点，交轴于点，交对称轴于点，则点关于对称轴，等面积法得出，得出，直线的解析式为：，联立抛物线解析式得出，进而即可求解．

【详解】（1）解：∵抛物线过

设抛物线解析式为，将代入得，

，

解得：

∴抛物线解析式为

（2）解：∵，

∴，

∴，

∵，

∴

如图所示，过点作轴于点，

设，则

∴

解得：或

∵点是第一象限内抛物线上的一点．

∴

（3）解：如图所示，作点角平分线交抛物线于点，交轴于点，交对称轴于点，

∵

∴对称轴为直线，

∵

∴，

∴点关于对称轴，

∵

∴，则

设到的距离为，则

∵

∴，

∵，

∴，

∴,

设直线的解析式为，将点代入得，

，

解得：，

∴直线的解析式为：，

联立，

解得：或，

∴，

∵关于对称，

∴．

【点睛】本题考查了二次函数的综合运用，面积问题，角度问题，轴对称的性质，掌握二次函数图象的性质是解题的关键．