2023年广东省茂名市化州市中考数学一模试卷（含解析）

2023年广东省茂名市化州市中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的相反数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  冠状病毒因在显微镜下观察类似王冠而得名，新型冠状病毒是以前从未在人体中发现的冠状病毒，新型冠状病毒的半径约是米，将数用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列运算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  下列图形是中心对称图形，也是轴对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图是一个正方体的展开图，则与“学”字相对的是(    )

A. 核
B. 心
C. 数
D. 养

6.  如图，直线，被直线所截，且，，则等于(    )

A.
B.
C.
D.

7.  为了防控疫情，各级防控部门积极推广疫苗接种工作，某市某接种点月接种人数如表，则这组数据的中位数和众数分别是(    )

A. 万人，万人 B. 万人，万人
C. 万人，万人 D. 万人，万人

8.  关于的一元二次方程的根的情况是(    )

A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根 D. 无法判断

9.  如图，以为直径的中，点，为圆周上两点，已知，，则的长是(    )

A.
B.
C.
D.

10.  已知二次函数的图象如图所示，下列结论：；；；其中正确的个数是(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  多项式的二次项系数是        ．

12.  分解因式：______．

13.  不等式组的解集为______．

14.  如图，为等腰三角形，，是的平分线，点是的中点，连接，若，则的长为        ．

15.  如图，中，，点是边上的一点，与、分别相切于点、，点为上一点，连，若四边形是菱形，则图中阴影部分面积是______．

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
计算：

17.  本小题分
先化简后求值：，其中．

18.  本小题分
如图，在四边形中，，，，垂足分别为，，且求证：≌．

19.  本小题分
已知反比例函数的图象与一次函数的图象交于点和点
求这两个函数的表达式；
求的面积；
观察图象，直接写出时自变量的取值范围；
直接写出方程的解．

20.  本小题分
我市某校想知道学生对“本溪水洞”，“关门山”，“五女山桓龙湖”等旅游名片的了解程度，随机抽查了部分学生进行问卷调查，问卷有四个选项每位被调查的学生必须且只能选一项：不知道，了解较少，了解较多，十分了解将问卷调查的结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据两幅统计图中的信息回答下列问题：
本次调查了多少名学生？
根据调查信息补全条形统计图；
该校共有名学生，请你估计“十分了解”的学生共有多少名？
在被调查“十分了解”的学生中，有四名同学普通话较好，他们中有名男生和名女生，学校想从这四名同学中任选两名同学，做家乡旅游品牌的宣传员，请你用列表法或画树状图法，求出被选中的两人恰好是一男一女的概率．
 

21.  本小题分
我市某景区商店在销售北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”纪念品时，发现该纪念品的月销售量件是销售单价元的一次函数，如表是该商品的销售数据．

求与的函数关系式；
若该商品的进货单价是元请问，每件商品的销售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大月利润是多少元？

22.  本小题分
如图，在等腰中，为的中点，平分交于经过，两点的交于点交于点恰为的直径．
求证：与相切．
当，时，求的半径．

23.  本小题分
如图，抛物线经过点，，与轴正半轴交于点，且，抛物线的顶点为，直线经过，两点，与对称轴交于点．
求抛物线及直线的函数表达式；
点是直线上方抛物线上的动点，连接，，得到，求出面积的最大值及此时点的坐标；
直线交线段于点，若以点，，为顶点的三角形与相似，求的值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：根据概念，的相反数是．
故选：．
根据相反数的概念，求解即可．
本题考查了相反数的概念．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
故选：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
 

3.【答案】 

【解析】解：选项，与不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意；
选项，原式，故该选项符合题意；
选项，原式，故该选项不符合题意；
选项，原式，故该选项不符合题意；
故选：．
根据合并同类项法则判断选项；根据积的乘方和幂的乘方判断选项；根据幂的乘方判断选项；根据同底数幂的乘法判断选项．
本题考查了合并同类项法则，积的乘方和幂的乘方，同底数幂的乘法，掌握是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：、既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
B、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
D、不中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合；熟练掌握概念是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：在该正方体中，与“学”字相对的面所写的汉字是：心．
故选：．
根据正方体的平面展开图找相对面的的方法，同层隔一面判断即可．
本题考查了正方体相对两个面上的文字，熟练掌握正方体的平面展开图的特征是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：
，，
，
，
，
故选：．
根据邻补角定义求出，根据平行线性质得出，代入求出即可．
本题考查了平行线性质和邻补角，关键是求出度数和推出．
 

7.【答案】 

【解析】解：将这组数据按照从小到大的顺序排列为：，，，，，
则中位数为，
众数为．
故选：．
根据众数和中位数的概念，结合题意求解即可．
本题考查了众数和中位数的知识，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
 

8.【答案】 

【解析】解：，，，
，
方程有两个不相等的实数根．
故选：．
根据方程的系数结合根的判别式，可得出，进而可得出方程有两个不相等的实数根．
本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：，
，
为的直径，
，
，
．
故选：．
根据圆周角定理得，再根据为的直径，得，所以．
本题考查了圆周角定理，关键是根据圆周角定理得．
 

10.【答案】 

【解析】解：由图象可得：
抛物线开口向上，
；，故正确；
图象与轴交于负半轴，对称轴为直线，即，
；，
；故错误；
当时，二次函数，图象在轴的上方，
，故错误；
图象与轴有两个交点，
，故错误．
综上所述，正确的个数是个，
故选：．
利用二次函数图象的性质和系数的关系，逐一分析即可求解．
本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的图象和系数的关系是解此题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：多项式的二次项为：，系数为：．
故答案为：．
由多项式知道二次项为，从而得到二次项系数．
本题考查了多项式的项，单项式的系数，掌握多项式的项，单项式的系数定义是解题关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：原式．
故答案为：．
直接利用完全平方公式分解因式得出答案．
此题主要考查了公式法分解因式，正确运用乘法公式是解题关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：，
由得：，
由得：，
则不等式组的解集为：．
故答案为：．
首先分别解出每一个不等式，然后根据解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到，确定解集即可．
主要考查了一元一次不等式解集的求法，关键是熟练掌握求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到无解．
 

14.【答案】 

【解析】解：，是的平分线，
，
，
点是的中点，
，
，
．
故答案为：．
先根据等腰三角形的“三线合一”得到，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，从而得到的长．
本题考查了角平分线的性质：一个角的平分线把这个角分成相等的两部分．也考查了等腰三角形的性质和斜边上的中线性质．
 

15.【答案】 

【解析】解：设与相交于点，

四边形是菱形，
，，
与、分别相切于点、，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
，
阴影部分面积的面积扇形的面积


，
阴影部分面积为，
故答案为：．
设与相交于点，利用菱形的性质可得，，利用圆的切线性质可得，从而可得，进而可得，然后求出，从而求出，，，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，的度数，最后根据阴影部分面积的面积扇形的面积，进行计算即可解答．
本题考查了菱形的性质，切线的性质，圆周角定理，解直角三角形，扇形面积的计算，熟练掌握切线的性质，以及圆周角定理是解题的关键．
 

16.【答案】解：

． 

【解析】先计算二次根式、零次幂、负整数指数幂和绝对值，再计算加减．
此题考查了实数的混合运算能力，关键是能准确理解运算顺序，并能进行正确地计算．
 

17.【答案】解：原式

．
当时，原式． 

【解析】先将原式进行化简，再将的值代入化简后的式子即可．
本题考查分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算法则是解题关键．
 

18.【答案】证明：，，
，
，
，
在和中，
，
≌． 

【解析】先证明，再由平行线的性质得，然后利用即可证明≌．
本题考查了全等三角形的判定．解题的关键的明确全等三角形的判定方法．
 

19.【答案】解：把点代入，得到，
，把点代入得到，，
把和点代入得到，解得，
．
直线与轴交于点，
．
由图象可知成立时自变量的取值范围：或．
方程的解是，． 

【解析】根据待定系数法即可解决问题．
直线与轴交于点，根据即可解决问题．
根据时，反比例函数图象在一次函数图象上面，写出自变量取值范围即可．
两交点横坐标即为方程的解．
本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法，解题的关键是灵活运用待定系数法确定函数解析式，学会利用图象确定自变量取值范围，属于中考常考题型．
 

20.【答案】解：名．
答：本次调查了名学生．
名．


名．
答：估计该校“十分了解”的学生共约有名．


由列表可得共有种结果，每种结果出现的可能性相同，其中一男一女的有种结果．
所以． 

【解析】根据组人数以及百分比计算即可解决问题；
求出组人数，画出条形图即可解决问题；
用“十分了解”所占的比例即可；
先画出树状图，继而根据概率公式可求出两位参赛选手恰好是一男一女的概率．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

21.【答案】解：设与的函数关系式为，
根据题意得，
，
解得：，
与的函数关系式为；
设每个月可获得的利润为，
根据题意得，，
整理得，，
，
该抛物线开口向下，有最大值，
当时，，
每件商品的销售价定为元时，每个月可获得最大利润，最大月利润是元． 

【解析】设与的函数关系式为，再根据待定系数法求解即可；
根据月利润每件商品的利润月销售量列出列出解析式，再将其化为顶点式，再根据其性质取最大值即可．
本题考查一次函数的应用、二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数解析式，利用二次函数的性质求最值．
 

22.【答案】证明：连接，则，
，
平分，
，
，
，
，
在中，，是角平分线，
，
，
是的半径，
与相切；
解：在中，，为的中点，
，
在中，，
，
设的半径为，则，
，
∽，
，
即，
，
即的半径为． 

【解析】连接，可得，进而推出，由平行线的性质得到，由等腰三角形的性质得到，得到，由圆的切线的判定即可证得结论；
首先证得∽，根据相似三角形对应边成比例即可求解．
本题考查了切线的性质和判定，等腰三角形的性质，平行线的性质和判定，相似三角形的判定与性质，解题的关键是正确作出辅助线进行证明．
 

23.【答案】解：，，
，
，
抛物线经过点，，，
，
，
抛物线的函数表达式为，
直线经过，两点，
，
，
直线的函数表达式为．
抛物线对称轴为直线，即，
点横坐标为，
，
，
点与点之间的水平距离为，
点是直线上方抛物线上的动点，
所以设，，
连接和，过点向轴作垂线，与交于点，
，
，
面积，
设点和点到的距离分别为和，
，
该抛物线的对称轴为，图象开口向下，
，
当时，；
，
当时，；
综上可得：面积最大值为，．

将原抛物线的对称轴与轴的交点记为，
，
，
，
，
，
，
，
以点，，为顶点的三角形与相似，
或，
当时，，
，
，，
，
，或，
直线交线段于点，
令，
解得：，
，
过点向轴作垂线，垂足为，

，
，
，
，
，
或，
或，
经检验，或均分别为这两个分式方程的解，且符合题意，
的值为或．
 

【解析】先求出点的坐标，再利用待定系数法即可求解；
先求出点与点之间的水平距离，再设出点的坐标，表示出，再利用面积得到关于的二次函数，函数的最大值即可；
先求出，得到一组对应角，再利用两个三角形相似分情况讨论，得到或，利用点的坐标得到对应线段的长度，代入求值即可．
本题考查了抛物线与一次函数的综合，涉及到了待定系数法求函数解析式、相似三角形的性质、勾股定理、两点间距离公式、等角对等边和等边对等角等知识，解题关键是理解题意，正确作出辅助线，本题综合性较强，且要求学生具备较高的运算能力．