2023年广东省茂名市化州市中考数学二模试卷（含解析）

这是一份2023年广东省茂名市化州市中考数学二模试卷（含解析），共21页。试卷主要包含了下列四个数中，比﹣1小的数是，下列运算正确的是，下列命题中，是真命题的是等内容，欢迎下载使用。

一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．下列四个数中，比﹣1小的数是（ ）
A．﹣2B．﹣C．0D．1
2．今年是共建“一带一路”倡议提出10周年，也是构建人类命运共同体理念提出10周年．2013年到2022年，中国与“一带一路”共建国家的累计双向投资超过3800亿美元．3800亿用科学记数法表示为（ ）
A．38×1010B．3.8×1011C．0.38×1012D．3.8×1012
3．下列航空公司的标志中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
4．下列运算正确的是（ ）
A．a3•a4＝a12B．（m3）2＝m5
C．x3+x3＝x6D．（﹣a2）3＝﹣a6
5．某校举行“喜迎中国共产党建党100周年”党史知识竞赛，如表是10名决赛选手的成绩．这10名决赛选手成绩的众数是（ ）
A．85B．90C．95D．100
6．已知直角三角形的两边长分别为2，3，则第三边长可以为（ ）
A．B．3C．D．
7．下列命题中，是真命题的是（ ）
A．太阳光线下形成的投影是中心投影
B．反比例函数y＝的图象既是轴对称图形又是中心对称图形
C．对角线相等的四边形是矩形
D．若a＞b，则3﹣a＞3﹣b
8．一根钢管放在V形架内，横截面如图所示，钢管的半径是6．若∠ACB＝60°，则阴影部分的面积是（ ）
A．B．C．D．
9．已知函数y＝x2﹣2x+3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是（ ）
A．m≥1B．0≤m≤2C．1≤m≤2D．m≤2
10．如图，已知在正方形ABCD中，AD＝4，E，F分别是CD，BC上的一点，且∠EAF＝45°，EC＝1，点G在CB延长线上且GB＝DE，连接EF，则以下结论：①DE+BF＝EF，②BF＝，③AF＝，④S△AEF＝中正确的个数有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．分解因式：3x2﹣3y2＝ ．
12．女生小琳所在班级共有40名学生，其中女生占65%．现学校组织部分女生去市三女中参观，需要从小琳所在班级的女生当中随机抽取一名女生参加，那么小琳被抽到的概率是 ．
13．在△ABC中，E，F分别是边AB，AC上的点且EF∥BC，AE：EB＝2：3，四边形BCFE的面积为21，则△ABC的面积为 ．
14．如图，反比例函数y1＝的图象与一次函数y2＝x+2的图象交于A、B两点．当x满足 时，y1＜y2．
15．如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，点D在边AC上，AD＝BD，将△DBC沿BD折叠，BC的对应边BC'交AC于点P，连接AC'．若AP＝4，AC＝9，则AC'的长为 ．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16．（8分）计算：．
17．（8分）解不等式组：．
18．（8分）随着中国第一部反电信诈骗电影《孤注一掷》的热播，电信诈骗的常见陷阱和欺骗案例着实令人唏嘘，“校园防电信诈骗安全”也受到全社会的广泛关注．某中学对九年级学生就防电信诈骗安全知识的了解程度，采用随机抽样的方式进行了调查，并根据收集到的信息进行统计，绘制了如所示的两幅不完整统计图．
请你根据统计图中的信息解答下列问题：
（1）请补全条形统计图；
（2）若从对校园防电信诈骗安全知识达到“了解”程度的2名男生和3名女生中随机抽取2人参加“校园防电信诈骗安全”知识竞赛，请用树状图或列表法求出恰好抽到1名男生和1名女生的概率；
（3）请帮助该校写一句防电信诈骗的宣传标语．
19．“草长莺飞二月天，扶梯杨柳醉春烟，儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．星期天，小明和小伙伴准备自制风筝到公园去放，小明将正方形纸片ABCD和菱形纸片EMFN按照如图所示制作，顶点B和顶点N重合，菱形EMFN的对角线MN经过点D，点E，F分别在AD，CD上．
（1）求证：△ABF≌△CBE；
（2）若AB＝20cm，点E在CD的中点上，求DM的长度．
20．探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程以下是我们研究函数y＝2x+|x﹣1|性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．
（1）写出表格中a，b的值：a＝ ，b＝ ；
（2）根据表格中的数据在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象；
（3）已知函数y＝x2﹣1的图象如图所示，结合你所画的函数图象，它们相交于点A，点B，在y轴上是否存在一点P，使|PB﹣PA|的值最大？若存在，求出这个最大值及点P的坐标；若不存在，请说明理由．
21．3月12日，学校用6000元购买了A、B两种树苗共150棵进行植树活动．已知一棵B种树苗是一棵A种树苗价格的2倍，且购买A种树苗与购买B种树苗费用相同．
（1）求购买一棵A种树苗、一棵B种树苗各需多少元？
（2）若学校还需购买A、B两种树苗共80棵，且A种树苗的棵数不多于B种树苗棵数的2倍，问至少要花多少钱？
22．（12分）如图，以AB为直径的⊙O外接等腰Rt△ABC，点D是弧AB的一个动点（点D与点C在AB异侧，且不与点A，点B重合），连接DA，DB，DC交AB于点E．
（1）∠BDC＝ °；
（2）若DE＝1，CE＝2，求直径AB的长；
（3）随着点D的运动，请问的值是否会发生改变？如果不改变，请求出它的值；如果发生改变，请说明理由．
23．（12分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C（0，﹣3）．
（1）求二次函数的表达式；
（2）如图，点M是直线BC下方的二次函数图象上的一个动点，过点M作MH⊥x轴于点H，交BC于点N，求线段MN最大时点M的坐标；
（3）在（2）的条件下，该抛物线上是否存在点Q，使得∠QCB＝∠CBM．若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1． 解：根据有理数比较大小的方法，可得
﹣2＜﹣1，0＞﹣1，﹣＞﹣1，1＞﹣1，
∴四个数中，比﹣1小的数是﹣2．
故选：A．
2． 解：3800亿＝380000000000＝3.8×1011．
故选：B．
3． 解：A、不是轴对称图形，不合题意；
B、不 是轴对称图形，不合题意；
C、是轴对称图形，符合题意；
D、不是轴对称图形，不合题意；
故选：C．
4． 解：∵a3•a4＝a7，
∴选项A不符合题意；
∵（m3）2＝m6，
∴选项B不符合题意；
∵x3+x3＝2x3，
∴选项C不符合题意；
∵（﹣a2）3＝﹣a6，
∴选项D符合题意．
故选：D．
5． 解：95分出现了4次，出现的次数最多，
所以这10名决赛选手成绩的众数是95．
故选：C．
6． 解：3是直角边时，第三边＝，
3是斜边时，第三边＝，
所以，第三边长为或．
故选：D．
7． 解：A、太阳光线下形成的投影是平行投影，故本选项说法是假命题，不符合题意；
B、反比例函数y＝的图象既是轴对称图形又是中心对称图形，是真命题，符合题意；
C、对角线相等的平行四边形是矩形，故本选项说法是假命题，不符合题意；
D、a＞b，则3﹣a＜3﹣b，故本选项说法是假命题，不符合题意；
故选：B．
8． 解：连接OC，
由题意得：CA、CB是圆O的切线，
∴OA⊥CA，OB⊥CB，AC＝BC，
∴∠OAC＝∠OBC＝90°，
∵∠ACB＝60°，
∴∠AOB＝180°﹣∠ACB＝120°，∠OCA＝∠OCB＝30°，
∴S扇形OAB＝＝12π，
∴OC＝2OA＝12，
∴AC＝BC＝＝＝6，
∴S△OAC＝S△OBC＝OA•AC＝×6×6＝18，
∴阴影部分的面积＝S△OAC+S△OBC﹣S扇形OAB＝36﹣12π，
故选：B．
9． 解：∵二次函数y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，
∴抛物线开口向上，对称轴为x＝1，顶点坐标为（1，2），与y轴的交点为（0，3）
其大致图象如图所示：由对称性可知，当y＝3时，x＝0或x＝2，
∵二次函数y＝x2﹣2x+3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，
∴1≤m≤2．
故选：C．
10． 解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝4，∠D＝∠ABG＝90°，
∵EC＝1，
∴GB＝DE＝3，
∴AE＝AG＝5，
即△ADE绕点A沿顺时针方向旋转90°后与△ABG重合，
∴∠DAE＝∠BAG，
∵∠EAF＝45°，
∴∠DAE+∠BAF＝45°＝∠GAB+∠BAF＝∠GAF＝45°，
∵AG＝AE，∠FAE＝∠FAG＝45°，AF＝AF，
在△AFE和△AFG中，
，
∴△AFE≌△AFG（SAS），
∴EF＝FG，
∵DE＝BG，
∴EF＝FG＝BG+FB＝DE+BF，故①正确；
∵BC＝CD＝AD＝4，EC＝1，
∴DE＝3，
设BF＝x，则EF＝x+3，CF＝4﹣x，
在Rt△ECF中，（x+3）2＝（4﹣x）2+12，
解得x＝，
∴BF＝，故②正确；
∴AF＝＝＝，故③错误；
∴GF＝3+＝，
∴S△AEF＝S△AGF＝AB×GF＝4×＝，故④正确．
所以正确的有①②④，共3个．
故选：C．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11． 解：原式＝3（x2﹣y2）＝3（x+y）（x﹣y），
故答案为：3（x+y）（x﹣y）
12． 解：∵小琳所在班级的女生共有40×65%＝26（人），
∴从小琳所在班级的女生当中随机抽取一名女生参加，小琳被抽到的概率是，
故答案为：．
13． 解：如图，
∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴S△ABC：S四边形BCFE＝25：21，
∵四边形BCFE的面积为21，
∴S△ABC＝25，
故答案为：25．
14． 解：解方程组得：或，
即A的坐标为（1，3），B的坐标为（﹣3，﹣1），
所以当﹣3＜x＜0或x＞1，y1＜y2．
故答案为：﹣3＜x＜0或x＞1．
15． 解：过点A作AM⊥DC'于点M，
∵将△DBC沿BD折叠，BC的对应边BC'交AC于点P，
∴∠PBD＝∠DBC，∠BDC＝∠BDC'，
∵∠BAC＝60°，AD＝BD，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠ABD＝∠ADB＝60°，
∵∠ADB＝∠DBC+∠C，
∴∠ABP+∠PBD＝∠C+∠DBC，
∴∠C＝∠ABP，
∵∠PAB＝∠BAC，
∴△APB∽△ABC，
∴，
∴AB2＝AP•AC＝4×9＝36，
∴AB＝AD＝6，
∴PD＝2，CD＝C'D＝AC﹣AD＝3，
∵∠BDC＝∠BDC'，∠ADB＝60°，∠BDC+∠ADB＝180°，
∴∠BDC'＝120°，
∴∠ADC'＝60°，
∵AM⊥DC'，
∴，
∴DM＝3，
∵C'D＝3，
∴点C'与点M重合，
∴．
故答案为：3．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16． 解：原式＝
＝﹣1﹣1+
＝﹣．
17． 解：解不等式x﹣（3x﹣5）＞﹣1，得：x＜3，
解不等式﹣1≤，得：x≥﹣2，
则不等式组的解集为﹣2≤x＜3．
18． 解：（1）调查的人数为30÷50%＝60（人），
∴了解程度为A的人数为60﹣5﹣30﹣10＝15（人）．
补全条形统计图如下．
（2）记2名男生分别为A，B，3名女生为C，D，E，
画树状图如下：
共有20种等可能的结果，其中恰好抽到1名男生和1名女生的结果有：AC，AD，AE，BC，BD，BE，CA，CB，DA，DB，EA，EB，共12种，
∴恰好抽到1名男生和1名女生的概率为＝．
（3）答案不唯一，如：时刻绷紧防范之弦，严防电信网络诈骗．
19． （1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝AD＝CD，∠A＝∠C＝90°，
∵四边形HEFG是菱形，
∴NE＝NF＝FM＝EM，EN∥FM，
∴∠FBD＝∠EBD，
∴∠ABD﹣∠FBD＝∠CBD﹣∠EBD，
即∠ABF＝∠CBE，
在△ABF和△CBE中，
，
∴△ABF≌△CBF（ASA）；
（2）解：连接EF，交NM于点O，可知EF⊥MN，
∵△ABF≌△CBF，
∴CE＝AF，
∵点E在CD的中点上，AD＝CD，
∴AF＝DF＝CE＝DE＝10cm，
在Rt△ABD中，AB＝AD＝20cm，根据勾股定理得，
BD＝＝20cm，
在Rt△ABF中，根据勾股定理得，
BF＝＝10cm，
根据勾股定理得，
BF2﹣BO2＝DF2﹣OD2，
即500﹣（20﹣OD）2＝100﹣OD2，
∴OD＝5，
∴BO＝MO＝20＝15，
∴DM＝MO﹣DO＝15＝10cm．
20． 解：（1）将x＝﹣2代入y＝2x+|x﹣1|得，y＝2×（﹣2）+|﹣2﹣1|＝﹣4+3＝﹣1，
∴a＝﹣1；
将x＝2代入y＝2x+|x﹣1|得，y＝2×2+|2﹣1|＝4+1＝5，
∴b＝5，
故答案为：﹣1，5；
（2）通过列表一描点一连线的方法作图，如图所示：
（3）存在，理由：
设直线BC的解析式为 y＝kx+t，
将（1，2）和（2，5）代入得：，
∴解得 ，
∴y＝3x﹣1，
联立直线y＝3x﹣1和抛物线 y＝x2﹣1得，，
即 x2﹣1＝3x﹣1，
解得 x1＝0，x2＝3．
将x＝3代入y＝3x﹣1得，y＝8，
∴点B的坐标为（3，8），
如图，作点B关于y轴的对称点B′，连接B'A并延长交y轴于点P，
∴点B'的坐标为 （﹣3，8），
∵|PB'﹣PA|≤B'A，
∴当点B′，A，P三点共线时，|PB﹣PA|的值最大，即B′A的长度，
设直线AC的解析式为 y＝k1x+b1，
将（﹣1，0）和（0，1）代入得：，
解得，
∴y＝x+1，
联立直线y＝x+1和抛物线 y＝x2﹣1得，，
即x2﹣1＝x+1，
解得 x1＝﹣1，x2＝2，
将x＝﹣1代入y＝x+1得，y＝0，
∴点A的坐标为（﹣1，0），
∴B′A＝＝2，
∴|PB﹣PA|的最大值为 ，
设直线BA的解析式为y＝mx+n，
∴将B′（﹣3，8）和A（﹣1，0）代入得，，
解得，
∴直线B′A的解析式为y＝﹣4x﹣4，
将x＝0代入y＝﹣4x﹣4＝﹣4，
∴点P的坐标为（0，﹣4）．
21． 解：（1）设购买一棵A种树苗需要x元，则购买一棵B种树苗需要2x元，
依题意得：+＝150，
解得：x＝30，
经检验，x＝30是原方程的解，且符合题意，
∴2x＝2×30＝60．
答：购买一棵B种树苗需要60元，购买一棵A种树苗需要30元．
（2）设购买A种树苗m棵，则购买B种树苗（80﹣m）棵，
依题意得：m≤2（80﹣m），
解得：m≤．
设购买两种树苗80棵所需总费用为w元，则w＝30m+60（80﹣m）＝﹣30m+4800．
∵﹣30＜0，
∴w随m的增大而减小，
又∵m≤，且m为正整数，
∴当m＝53时，w取得最小值，最小值＝﹣30×53+4800＝3210．
答：至少要花3210元钱．
22． 解：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠BAC＝∠CBA＝45°，
∵，
∴∠BDC＝∠BAC＝45°．
故答案为：45；
（2）∵，
∴∠ABC＝∠ADC，
∵∠ABC＝∠BAC，
∴∠ADC＝∠BAC，
∵∠ACE＝∠DCA，
∴△ACE∽△DCA，
∴，
∵DE＝1，CE＝2，
∴，
解得（负值舍去），
∴，
在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2，
∴AB＝＝2；
（3）随着点D的运动， 的值不会发生改变，
理由如下：如图，延长BD至P点，使得DP＝AD，
∵Rt△ABC中，AC＝BC，
∴∠BAC＝∠ABC＝45°，
∵，
∴∠ABC＝∠ADC＝45°，
∵，
∴∠BAC＝∠BDC＝45°，
∵∠ADB＝∠ADC+∠BDC＝45°+45°＝90°，
∴∠ADP＝90°，
∵DP＝AD，∠P＝∠PAD＝45°，
∵∠ACD＝∠ABD，∠ADC＝∠P＝45°，
∴△ADC∽△APB，
∴，
∵∠ADP＝90°，AD＝PD，
∴，
∴＝＝，
即＝．
23． 解：（1）将点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3）代入y＝ax2+bx+c，
得：，解得：，
∴二次函数的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3，
（2）设直线BC的解析式为：y＝k1x+b1，
将B（3，0），C（0，﹣3）代入y＝k1x+b1，
得：，解得：，
∴直线BC的解析式为：y＝x﹣3，
设点M的横坐标为t，
∵点M在BC下方的二次函数图象上，
∴点M的纵坐标为：t2﹣2t﹣3，
∵MH⊥x轴交BC于点N，
∴点N的横坐标为t，
∴点N的纵坐标为：t﹣3，
∴，
∴当时，MN为最大，
当时，，
∴点M的坐标为．
（3）存在，点Q的坐标为或．
理由如下：
设直线BM的解析式为：y＝k2x+b2，
将点B（3，0），M（3/2，﹣15/4）代入y＝k2x+b2，
得：，解得：，
∴直线BM的解析式为：，
当∠QCB＝∠CBM时，有以下两种情况：
①当点Q在直线BC上方时，
∵∠QCB＝∠CBM，
∴CQ∥BM，
设直线CQ的解析式为：y＝k3x+b3，
则，b3＝﹣3，
∴直线CQ的解析式为：，
解方程组，得：，，
∴点Q的坐标为；
②当点Q在直线BC的下方时，
设CQ与BM交于点R，连接OR，
∵∠QCB＝∠CBM，
∴RB＝RC，
又点A（﹣1，0），C（0，﹣3），
∴OB＝OC＝3，
∴OR为BC的垂直平分线，且为∠BOC的平分线，
由（2）知：点N的横坐标为，
∴，
∴，
∴H为OB的中点，
∵NH∥OC，
∴点N为BC的中点，
∴OR经过点N，
∵OR为∠BOC的平分线，
∴直线OR的解析式为：y＝﹣x，
解方程组，得：，
∴点R的坐标为，
设直线CR的解析式为：y＝k4x+b4，
将C（0，﹣3），代入y＝k4x+b4，
得：，解得：，
∴直线CR的解析式为：，
解方程组，得：，，
∴点Q的坐标为．
综上所述：点Q的坐标为或．
分数
100
95
90
85
人数
1
4
3
2
x
…
﹣5
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
﹣4
﹣3
﹣2
a
0
1
2
b
8
…