九年级数学下册北师版·广东省深圳市月考附答案解析

2020-2021学年深圳市百合外国语学校初三下四月考数学卷解析版

一、选择题（共 10 小题）

1．﹣22 的绝对值等于（    ）

 A．﹣22      B．﹣     C．      D．22

2．载至北京时间 2020 年 8 月 16 日 24 时，全球累计新冠肺炎确诊病例数已超 2168 万．将 2168 万用科学记数法表示为（  ）

 A．2.168×    B．0.2168×    C．2 168×    D．2.168×

3．如图所示的几何体是由 7 个大小相同的小立方块搭成，其左视图是（  ）

4．下列计算正确的是（  ）

 A．   B．   C．2(x+2y)=2x+2y    D．7xy-xy=7

5．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（  ）

6．二次函数y＝a+bx+c 的图象如图所示，则一次函数y＝ax+b和反比例函数y＝在同一平面直角坐标系中的图象可能是（     ）

7．如图，AB 是⊙O 的直径，点 C，D 在⊙O 上．若∠ABC＝60°，则∠D 的度数为（  ）

  A．25°     B．30°    C．35°    D．40°

8．如图，热气球探测器显示，从热气球 A 处看一栋楼顶部 B 处的仰角α为 30°，看这栋楼底部 C 处的俯角β为 60°，热气球与楼的水平距离 AD 为 90 米，则这栋楼的高度 BC 为（  ）

 A． 米      B．90米     C．120米     D．225 米

9．如图，抛物线 y＝﹣2x+m 交 x 轴于点 A（a，0），B（b，0），交 y 轴于点 C，抛物线的顶点为 D，下列四个结论：①无论 m 取何值，CD＝恒成立；②当 m＝0 时，△ABD 是等腰直角三角形；③若 a＝﹣2，则 b＝6；④P（，），Q（，）是抛物线上的两点，若＜1＜，且 +＞2，则＜．其中正确的有（  ）

 A．①②③④    B．①②④    C．①②    D．②③④

10．如图，正方形ABCD中，点E为对角线 AC 上一点，EF⊥DE 交边 AB 于 F，连接 DF 交线 段 AC 于点 H，延长 DE 交边 BC 于点 Q，连接 QF．下列结论：①DE＝EF；②若 AB＝6， CQ＝3，则 AF＝2； ③∠AFD＝∠DFQ； ④若 AH＝2，CE＝4，则 AB＝3+；其中 正确的有（  ）个．

 A．1 个    B．2 个    C．3 个    D．4 个

二．填空题（共 5 小题）

11．分解因式：m﹣4mxy+4m= ________．

12．在一个不透明的布袋中有 2 个红球和 1 个白球，它们除颜色外其他都相同，如果从布袋里随机摸出两个球，那么所摸到两个球恰好是一红一白球的概率为__________．

13．关于 x 的分式方程有增根，则 m 的值为___________．

14．如图，四边形OABC是平行四边形，其面积为8，点A在反比例函数y＝的图象上，过点A作AD∥x轴交BC于点D，过点D的反比例函数图象关系式为y＝，则k的值是_________．

15．如图，在矩形 ABCD 中，AC=5，AE 平分∠DAC 交 CD 于 E， CF 平分∠ACD 交 AE 于点 F，且 EF：AF=1：2，则 CF= _________．

三、解答题（7 小题，共 55 分）

16．（6 分）计算：

17．（6 分）先化简，再求值：（ ）÷．其中 x 的值为一元二次方程的解

18．（7 分）据某知名网站调查，2020 年网民们最关注的热点话题分别有：消费、教育、环保、 反腐及其他共五类．根据调查的部分相关数据，绘制的统计图表如下： 根据所给信息解答下列问题：

（1）求调查的总人数，并补全条形统计图，并在图中标明相应数据；

（2）若 2020 年某地常住人口约有 20 万，请你估计最关注环保问题的人数约为多少万人？

（3）在这次调查中，某单位共有甲、乙、丙、丁四人最关注教育问题，现准备从这四人中随 机抽取两人进行座谈，试用列表或树形图的方法求抽取的两人恰好是甲和乙的概率．

19．（8 分）2020 年以来，新冠肺炎疫情肆虐全球，我市某厂接到订单任务，7 天时间生产 A、 B 两种型号的口罩不少于 5.8 万只．该厂的生产能力是：每天只能生产一种口罩，如果 2 天 生产 A 型口罩，3 天生产 B 型口罩，一共可以生产 4.6 万只；如果 3 天生产 A 型口罩，2 天 生产 B 型口罩，一共可以生产 4.4 万只；

（1）试求出该厂每天能生产 A 型口罩或 B 型口罩多少万只？

（2）生产一只 A 型口罩可获利 0.5 元，生产一只 B 型口罩可获利 0.3 元，且 A 型口罩只数不少于 B 型口罩．在完成订单任务的前提下，应怎样安排生产 A 型口罩和 B 型口罩的天数，才能使获得的总利润最大，最大利润是多少万元？

20．（8 分）如图，AC 是⊙O 的直径，点 B 是⊙O 上一点，且 BD＝BA，过点 B 作 BE⊥DC，交 DC 的延长线于点 E．

（1）求证：BE 是⊙O 的切线；

（2）若 BE＝2CE，当 AD＝6 时，求 BD 的长．

21．（10 分） 如图①，在平面直角坐标系中，已知抛物线 y＝a+bx+3（a≠0）与 x 轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与 y 轴交于点C．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）如图②，若点D是抛物线上一动点，设点D的横坐标为m（0＜m＜3），连接CD，BD， 当△BCD的面积等于△AOC 面积的2倍时，求 m 的值；

（3）抛物线上是否存在点 P，使∠CBP+∠ACO＝∠ABC？若存在，请求出点 P 的坐标；若 不存在，请说明理由．

22．（10 分）如图 1，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝1，点 D，E 分别为 AC，BC 的中点．△CDE 绕点 C 顺时针旋转，设旋转角为α（0°≤α≤360°），记直线 AD 与直 线 BE 的交点为点 P．

（1）如图 1，当α＝0°时，AD 与 BE 的数量关系为______，AD 与 BE 的位置关系为__________；

（2）当 0°＜α≤360°时，上述结论是否成立？若成立，请仅就图 2 的情形进行证明；若不成立，请说明理由；

（3）△CDE 绕点 C 顺时针旋转一周，请直接写出运动过程中 P 点运动轨迹的长度和 P 点到 直线 BC 距离的最大值

【答案详解】

1-5  DACAA          6-10  DBCBD

11.原式=m(x+2y)(x-2y)       12.         13.3      14.-5         15.

16．【解析】原式

17．【解析】原式=[ ]÷

一元二次方程变形为（x+2）（x+3）=0,解得x=-2或x=-3，∵x≠-2，

∴当x=-3时原式=

18．【解析】

（1）调查总人数为420÷30%=1400人，关注教育的人数为1400×25%=350人，补全如图；

（2）20×10%=2（万人），∴估计最关注环保问题的人数约为2万人；

（3）树状图如下：

由图可知共有12种等可能情况，符合题意的有2种，∴抽取的两人恰好是甲和乙的概率为

19．【解析】

（1）抓住条件“如果 2 天 生产 A 型口罩，3 天生产 B 型口罩，一共可以生产 4.6 万只；如果 3 天生产 A 型口罩，2 天 生产 B 型口罩，一共可以生产 4.4 万只”列二元一次方程组解题.

解：设该厂每天能生产 A 型口罩x万只， B 型口罩y万只，由题意可得：，解得，∴该厂每天能生产 A 型口罩0.8万只， B 型口罩1万只，

（2）依不等关系式“7 天时间生产 A、 B 两种型号的口罩不少于 5.8 万只”及“A 型口罩只数不少于 B 型口罩”列不等式组确定自变量的取值范围，依等量关系式“总利润=A利润+B利润=A只数×每只利润+B只数×每只利润”列一次函数关系式，再依函数增减性解题。

解：设该厂应安排a天生产A型口罩，则生产B型口罩(7-a)天，由题意可得：，解得,设总利润为W万元，由题意可得：W=0.5×0.8a+0.3×1×(7-a)=0.1a+2.1，∵0.1>0,∴W随a的增大而增大，当a=6时，即应安排6天生产A型口罩，则生产B型口罩1天，W有最大值，最大值为0.1×6+2.1=2.7（万元）

答：该厂应安排6天生产A型口罩，则生产B型口罩1天，才能使获得的总利润最大，最大利润是2.7万元.

20．【解析】

（1）连接OB，用数学典型模型“角平分线+等腰=角平分线”解题

  ∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠BCE=∠DAB，∵BD=BA，∴∠BAD=∠BDA,∴∠BCE=∠BDA,∵∠BDA=∠BCA,∴∠BCE=∠BCA(角平分线),∵OB=OC（等腰△），∴∠ACB=∠OBC，∴∠BCE=∠OBC，∴OB//DE，∵∠E=90°，∴∠OBE=90°，∵OB是⊙的半径，∴BE 是⊙O 的切线；

（2）延长BO交线段AD于点F，由AB=BD可得，∵OB是半径，由垂径定理可得BF⊥AD且AF=DF，∵AD=6,∴AF=DF=3，由等腰三角形的“三线合一”可得∠ABF=∠DBF，∵∠CBE+∠OBC=90°,∠CAB+∠OCB=90°,∠OBC=∠OCB,∴∠CBE=∠CAB，∵∠CAB=∠CDB，又∵DE//OB，∴∠CDB=∠OBD,∴∠CAB=∠OBD,∴∠CBE=∠OBD=∠FBA,∵BE=2CE，∴tan∠FBA=tan∠CBE=，即，∴AF=6，在Rt△BDF中，DF=3,BF=6,则由勾股定理可得BD=3

21．【解析】

（1）代入A，B两点坐标即可求解抛物线解析式：y＝-+2x+3

（2）由A(-1,0),B(3,0),C(0,3)易得=6,则=12,作DE//y轴交BC于点E，由B,C两点坐标易得直线BC的解析式为y=-x+3，由D(m，-+2m+3)可得E(m,-m+3),则DE=-+2m+3-(-m+3)= -+3m，

∴=12,解m=1或2.

（3）由OB=OC可得∠ABC=45°，∴∠CBP+∠1=45°=∠OCB，作A关于原点的对称点D，则∠1=∠2，则∠CBP+∠2=∠OCB=∠2+∠3，∴∠CBP=∠6.如图2.

①当P点在BC上方时，作BP//CD交抛物上方图像于点P,此时∠3=∠6,由A（-1，0）可得D(1,0)，由C,D两点坐标易得直线CD的解析式为y=-3x+3，则设直线BP的解析式为y=-3x+b，代入B点坐标，可得直线BP的解析式为y=-3x+3，联立方程，解得或(舍去)，∴P点坐标为（2，3）;

②当P点在BC下方时，∠4=∠6,∵∠2+∠6=∠4+∠5=45°，∴∠2=∠5，即∠1=∠5,△CPQ与△OBQ构成数学典型图形“8字模型”，则∠CPQ=∠QOB=90°，即AC⊥BP，由A、C坐标易得直线AC的解析式为y=3x+3，则设直线BP的解析式为y=-x+b，代入B点坐标，可得直线BP的解析式为y=-x+1，联立方程，解得或(舍去)，∴P点坐标为（，）;

综上所述，P点坐标为（2，3）或（，）;

22．【解析】

（1）由D、E是中点可得BE=BC，AD=AC，由∠A＝30°，BC＝1可得AC=BC,∴AD=BE;由图可知AD与BE的位置关系为AD⊥BE；

（2）实质为数学典型模型“手拉手模型”

①由D、E是中点可得CE=BC，CD=AC，∴CE:CB=CD:CA=1:2,由∠BCA=∠ECD可得∠BCE=∠ACD，由“边角边”可得△BCE∽△ACD，由BE:AD=BC:AC=1:，则AD=BE，AD与BE的数量关系仍成立；

②△BCO与△APO构成数学中证角的典型图形“8字模型”，由△BCE∽△ACD可得∠CBE=∠CAD,因对顶角∠COB=∠POA易得∠OCB=∠OPA=90°，则BE⊥AD，则AD与BE的位置关系仍成立；

（3）可采用“构造圆模型”和“三点特殊位置法”确定点P的运动路线，进而求出运动路径长及P到直线BC的距离的最大值。

“构造圆模型”：由（2）可知∠APB=90°是个定值，故点P是在以AB为直径的圆上运动，圆心为AB的中点M；

               由题可知CE=,则E点始终在以C为圆心、半径为的圆上运动，

“三点特殊位置法”

①初始位置（特殊位置）：当α＝0°时，BE与AD的交点P，恰好与点C重合；

②中途位置（特殊位置）：当α＝180°时，BE与AD的交点P，恰好与点C重合；

③终止位置（特殊位置）：当α＝360°时，BE与AD的交点P，恰好与点C重合；

④结论：由图可见当0°＜α≤180°时，点P从点C出发，沿着⊙M的弧逆时针运动到BE与⊙C相切时又回到C点；

当180°＜α≤360°时，点P从点C出发，沿着⊙M的弧顺时针运动到BE与⊙C相切时(由∠EDC=30°,∠ABC=60°,则∠AB=90°可知此时P点与B重合)又回到C点； 所以点P的运动轨迹是在扇形MBP的圆弧上重复运动两次，半径=AB=×2=1，由C=CB可知∠BC=30°，即α＝60°时，BP与⊙C相切，延长C必过AB的中点M，由∠MBP=∠MPB=30°,则圆心角∠BMP=120°，∴P点运动轨迹的长度为：.

由图易知，当BE与⊙C相切于上方时，P到BC的距离有最大值，依“平行线间的距离处处相等”，由MP//BC可知P点BC的距离即是M点到BC的距离，由中位线定理可知，M到BC的距离为AC=.∴P点到直线 BC 距离的最大值.