2023-2024学年广东省深圳市龙华区振能学校九年级（下）月考数学试卷（3月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年广东省深圳市龙华区振能学校九年级（下）月考数学试卷（3月份）（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.二次函数y=x2−2x−3图象与y轴的交点坐标是( )
A. (0,1)B. (1,0)C. (−3,0)D. (0,−3)
2.已知⊙O中最长的弦为8，则⊙O的半径是( )
A. 4B. 8C. 12D. 16
3.如图，已知抛物线y=x2+bx+c的对称轴为x=2，点A、B均在抛物线上，且AB与x轴平行，其中点A的坐标为(0,3)，则点B的坐标为( )
A. (3,2)
B. (4,3)
C. (3,3)
D. (5,3)
4.二次函数y=(x+3)2−7的顶点坐标是( )
A. (−3,7)B. (3,7)C. (−3,−7)D. (3,−7)
5.如图，A，B，C，D为⊙O上四点，若∠BOD=110°，则∠A的度数是( )
A. 110°
B. 115°
C. 120°
D. 125°
6.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(0,3)，点B(2,1)，点C(2,−3).则经画图操作可知：△ABC的外接圆的圆心坐标是( )
A. (−2,−1)B. (−1,0)C. (−1,−1)D. (0,−1)
7.将抛物线y=−(x−3)2+5向右平移2个单位长度，再向下平移6个单位长度平移后的抛物线的函数表达式为( )
A. y=−(x−5)2−1B. y=−(x−1)2−1
C. y=−(x−5)2+11D. y=−(x−1)2+11
8.如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，若⊙O的半径为6，sinB=13，则线段AC的长是( )
A. 3B. 4C. 5D. 6
9.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，其对称轴x=1，有以下结论：①a<0，c>0；②9a+3b+c>0；③4ac−b2<0；④3a+c<0.其中正确的个数为( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
10.如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4.P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC.则线段CP长的最小值为( )
A. 32
B. 2
C. 8 1313
D. 12 1313
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.二次函数y=2x2−x−3图象的对称轴为直线______．
12.如图，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=1，关于x的方程ax2+bx+c=0的一个根为x=4，则另一个根为______．
13.如图，含30°角的直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径重合，点C和点D在量角器的半圆上，若点D在量角器上对应的读数是50°，则∠CAD的度数是______．
14.如图，AB是⊙O直径，C、D是⊙O上的两点，且OD/​/BC，连接AC和BD.下列四个结论中：
①AD=CD；
②OD垂直平分AC；
③BD=AC；
④∠AOD=2∠DBC．
所有正确结论的序号是______．
15.如图，AB是半圆O的直径，弦AD、BC相交于点P，且CD、AB是一元二次方程x2−8x+15=0的两根，则sin∠APC=______．
三、解答题：本题共7小题，共55分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题5分)
如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点为A、D(A在D的右侧)，与y轴的交点为C，且A(4,0)，C(0,−3)，对称轴是直线x=1，求二次函数的解析式．
17.(本小题12分)
已知二次函数y=−x2+4x+5，完成下列各题：
(1)将函数关系式用配方法化为y=a(x+h)2+k的形式，并写出它的顶点坐标、对称轴．
(2)求出它的图象与x轴的交点坐标．
(3)在直角坐标系中，画出它的图象．
(4)当为x何值时，函数y随着x的增大而增大？
(5)根据图象说明：当x为何值时，y>0．
18.(本小题8分)
如图，要把残缺的圆片复原，已知弧上的三点A、B、C．
(1)用尺规作图法，找出弧BC所在圆的圆心O(保留作图痕迹，不写作法)；
(2)若在△ABC中，AB=AC=10cm，BC=16cm，求图片的半径r．
19.(本小题8分)
某体育用品店购进一批单价为20元的球服，如果按单价40元销售，那么一个月内可售出200套，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高4元，销售量相应减少20套．设销售单价为x(x≥40)元，销售量为y套．
(1)求出y与x的函数关系式，并写出自变量取值范围；
(2)当销售单价为多少元时，才能在一个月内获得最大利润？最大利润是多少？
20.(本小题8分)
如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，D是AC弧上一点，P是AB延长线上一点，连接AD，DC，CP.若∠BAC=α．
(1)求∠ADC的度数(用含α的代数式表示)；
(2)若∠ACP=∠ADC，⊙O的半径为6，CP=2BP，求AP的长．
21.(本小题8分)
为促进经济发展，方便居民出行．某施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道．抛物线的最高点P离路面OM的距离为6米，OM宽度为12米．
(1)在如图所示的平面直角坐标系中，求出该抛物线的函数表达式；
(2)一货运汽车装载某大型设备后高为4米，宽为3.5米．如果该隧道内设双向行车道(正中间是一条宽1米的隔离带)，那么这辆货车能否安全通过？
(3)施工队计划在隧道口搭建一个矩形“脚手架”ABCD，使点A、D在抛物线上．点B、C在地面OM线上(如图2所示).为了筹备材料，需求出“脚手架”三根支杆AB、AD、DC的长度之和的最大值是多少？请你帮施工队计算一下．
22.(本小题6分)
已知：二次函数y=12x2+kx+k−12．
(1)求证：不论k为何实数时，此二次函数与x轴总有交点；
(2)设k<0，当二次函数y=12x2+kx+k−12的图象与x轴的两个交点A、B间的距离为4时，求此二次函数的解析式；
(3)在(2)的条件下，若抛物线的顶点为C，过y轴上一点M(0,m)作y轴的垂线l，当m为何值时，直线l与△ABC的外接圆有公共点？
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：∵二次函数y=x2−2x−3，
∴当x=0时，y=−3，
即二次函数y=x2−2x−3的图象与y轴的交点坐标是(0,−3)，
故选：D．
将x=0代入函数解析式，求出相应的y的值，即可得到二次函数y=x2−2x−3的图象与y轴的交点坐标．
本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确二次函数与y轴的交点，就是求x=0时对应的函数值．
2.【答案】A
【解析】解：∵⊙O中最长的弦为8，即直径为8，
∴⊙O的半径为4．
故选：A．
⊙O最长的弦就是直径从而不难求得半径的长．
本题考查弦，直径等知识，记住圆中的最长的弦就是直径是解题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：由题意可知抛物线的y=x2+bx+c的对称轴为x=2，
∵点A的坐标为(0,3)，且AB与x轴平行，
可知A、B两点为对称点，
∴B点坐标为(4,3)
故选：B．
已知抛物线的对称轴为x=2，知道A的坐标为(0,3)，由函数的对称性知B点坐标．
本题主要考查二次函数的性质及二次函数图象上点的坐标特点，熟知二次函数具有对称性是解题的关键．
4.【答案】A
【解析】解：∵二次函数y=(x+3)2+7是顶点式，
∴顶点坐标为(−3,7)．
故选：A．
因为顶点式y=a(x−h)2+k，其顶点坐标是(h,k)，对照求二次函数y=(x+3)2+7的顶点坐标．
此题主要考查了利用二次函数顶点式求顶点坐标，此题型是中考考查重点，同学们应熟练掌握．
5.【答案】D
【解析】解：∵A，B，C，D为⊙O上四点，∠BOD=110°，
∴∠C=12∠BOD=55°，
∴∠A=180°−∠C=125°．
故选：D．
由A，B，C，D为⊙O上四点，若∠BOD=110°，根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得∠C的度数，又由圆的内接四边形的性质定理，即可求得答案．
此题考查了圆周角定理以及圆的内接四边形的性质．注意掌握圆的内接四边形的对角互补．
6.【答案】A
【解析】解：∵△ABC的外心是三角形三边垂直平分线的交点，如图，直线EF与MN分别为边BC与AB的垂直平分线，
∴直线EF与MN的交点O′即所求的△ABC的外心，
∴△ABC的外心坐标是(−2,−1)．
故选：A．
首先由△ABC的外心是三角形三边垂直平分线的交点，所以在平面直角坐标系中作BC与AB的垂线平分线，两垂线平分线的交点即△ABC的外心．
此题考查了三角形外接圆与外心，注意三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点．解此题的关键是数形结合思想的应用．
7.【答案】A
【解析】解：将抛物线y=−(x−3)2+5向右平移2个单位长度，再向下平移6个单位长度平移后的抛物线的函数表达式为：y=−(x−3−2)2+5−6，即y=−(x−5)2−1．
故选：A．
根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．
此题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
8.【答案】B
【解析】解：连接CD，则∠DCA=90°．
Rt△ACD中，sinD=sinB=13，AD=12．
则AC=AD⋅sinD=12×13=4．
故选：B．
连接CD，由圆周角定理可得到两个条件：①∠D=∠B，②∠DCA=90°；
在Rt△ACD中，根据∠D的正弦值及斜边AD的长即可求出AC的值．
此题主要考查了圆周角定理及解直角三角形的应用，能够将已知和所求条件构建到一个直角三角形中，是解答此题的关键．
9.【答案】C
【解析】解∵抛物线开口向下，
∴a<0，
∵b=−2a，
∴b>0，
∵抛物线与y轴交点在x轴上方，
∴c>0，
∴①正确，符合题意．
由图象可得x=−1时，y<0，根据抛物线对称性可得x=3时，y<0，
∴9a+3b+c<0，②错误，不符合题意．
∵图象与x轴有两个不同的交点，
∴4ac−b2<0，③正确，符合题意．
∵x=−1，y<0，
∴a−b+c<0，
∵b=−2a，
∴3a+c<0，④正确，符合题意．
故选：C．
根据抛物线开口向下，可判断①，由抛物线与y轴交点位置可判断②，由图象可得x=−1，y<0，根据抛物线对称性可得x=3，y<0，进而判断③④．
本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
10.【答案】B
【解析】解：∵∠ABC=90°，
∴∠ABP+∠PBC=90°，
∴∠APB=90°，
∴点P在以AB为直径的⊙O上，连接OC交⊙O于点P，此时PC最小．
在Rt△BCO中，
∵∠OBC=90°，BC=4，OB=3，
∴OC= BO2+BC2=5，
∴PC=OC−OP=5−3=2，
∴PC的最小值为2．
故选：B．
根据题目，易证得点P在以AB为直径的⊙O上，连接OC与⊙O交于点P，此时PC最小；再利用勾股定理求出OC的长，利用圆的性质可得出OP的长，结合图形可知PC=OC−OP，从而完成解答．
本题考查了点与圆的位置关系和圆周角定理的运用，解题的关键是要找出PC最小的情况．
11.【答案】x=14
【解析】解：二次函数y=2x2−x−3图象的对称轴为直线x=−b2a=−−12×2=14．
故答案为：x=14．
根据二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=−b2a求解即可．
本题考查二次函数的图象和性质．掌握二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴公式为x=−b2a是解题关键．
12.【答案】x=−2
【解析】解：∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=1，
∴−b2a=1，即b=−2a，
根据根与系数的关系得4+x=−ba=−−2aa=2，
解得x=−2，
即方程ax2+bx+c=0(a≠0)的另一个根为x=−2．
故答案为：x=−2．
利用抛物线的对称轴方程得到b=−2a，根据根与系数的关系得4+x=−ba=2，然后求出另一根x的值即可．
本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．掌握根与系数的关系和二次函数的性质是解题关键．
13.【答案】35°
【解析】解：如图，连接OD，
根据题意得，∠CAB=60°，
∵点D在量角器上对应的读数是50°，
∴∠DOB=50°，
∵∠DAB=12∠DOB，
∴∠DAB=25°，
∴∠CAD=∠CAB−∠DAB=35°，
故答案为：35°．
根据圆周角定理得出∠DAB=12∠DOB=25°，根据角的和差求解即可．
此题考查了圆周角定理，熟记圆周角定理是解题的关键．
14.【答案】①②④
【解析】解：∵AB是⊙O直径，
∴∠C=90°，
∴BC⊥AC，
∵OD/​/BC，
∴OD⊥AC，
∴OD平分AC，
∴OD垂直平分AC，
故②正确，符合题意；
∴AD=CD，
故①正确，符合题意；
∴∠AOD=2∠DBC，
故④正确，符合题意；
根据题意，无法求解BD=AC，
故③错误，不符合题意；
故答案为：①②④．
根据圆周角定理，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系判断求解即可．
此题考查了圆周角定理、垂径定理等知识，熟练掌握圆周角定理、垂径定理是解题的关键．
15.【答案】35
【解析】解：∵CD、AB是一元二次方程x2−8x+15=0的两根，
∴CD=3，AB=5，
连接AC，
∵∠BCD=∠BAD，∠CDA=∠ABC，
∴△CPD∽△APB．
∴PCPA=CDAB=35，
由AB是直径得∠ACB=90°.设PC=3x，
则PA=5x，
∴AC= PA2−PC2=4x，
∴sin∠APC=ACPA=45．
故答案为：45．
连接AC，根据相似三角形的性质和勾股定理即可得到结论．
本题考查了相似三角形的判定，相似三角形对应边比值相等的性质，勾股定理在直角三角形中的运用，本题中根据勾股定理求AC的长是解题的关键．
16.【答案】解：由题意，设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，
又抛物线过A(4,0)，C(0,−3)，对称轴是直线x=−b2a=1，
∴16a+4b+c=0c=−3−b2a=1．
∴a=38b=−34c=−3．
∴抛物线的解析式为y=38x2−34x−3．
【解析】依据题意，设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，然后将A(4,0)，C(0,−3)代入解析式，再结合对称轴是直线x=−b2a=1，求出a，b，c即可得解．
本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式，解题时要熟练掌握并准确计算是关键．
17.【答案】解：(1)y=−x2+4x+5
=−(x2−4x+4)+4+5
=−(x−2)2+9，
顶点坐标为(2,9)，
对称轴为直线x=2；
(2)令y=0，则−x2+4x+5=0，
解得x1=−1，x2=5，
所以，图象与x轴的交点坐标为(−1,0)，(5,0)；
(3)函数图象如图所示；
(4)x<2时，y随着x的增大而增大；
(5)−10．
【解析】(1)利用配方法整理成顶点式，然后写出顶点坐标和对称轴即可；
(2)令y=0解关于x的一元二次方程，即可得到与x轴的交点坐标；
(3)利用五点法作出函数图象即可；
(4)根据函数图象利用二次函数的增减性解答；
(5)写出抛物线在x轴上方部分的x的取值范围即可．
本题考查了二次函数的三种形式，二次函数的性质，二次函数图象与x轴的交点问题，以及二次函数图象与不等式，熟练掌握配方法的操作整理成顶点式形式求出顶点坐标和对称轴更加简便．
18.【答案】解：(1)分别作AB、AC的垂直平分线，设交点为O，则O为所求圆的圆心．

(2)连接AO交BC于E，连接OB．
∵AB=AC，
∴AE⊥BC，BE=12BC=8(厘米)，
在Rt△ABE中，AE= AB2−BE2=6(厘米)，
设⊙O的半径为R cm，
在Rt△BEO中，
OB2=BE2+OE2，即R2=82+(R−6)2，
∴R2=64+R2−12R+36，
∴R=253．
所以所求圆的半径为253cm．
【解析】(1)作图思路：可根据AB，AC的垂直平分线来确定圆心．
(2)本题可通过构建直角三角形来求解．连接AO交BC于E.先求出AE的值，然后在直角三角形OBE中，用半径表示出OE，OB，然后根据勾股定理求出半径的值．
本题综合考查了垂径定理，勾股定理等知识点，要注意作图中是根据垂径定理作为作图依据．
19.【答案】解：(1)销售单价为x元，则销售量减少x−404×20，
故销售量为y=200−x−404×20=−5x+400(x≥40)；
(2)设一个月内获得的利润为w元，根据题意得：
w=(x−20)(−5x+400)
=−5x2+500x−8000
=−5(x−50)2+4500．
∵x≥40，
当x=50时，w的最大值为4500．
故当销售单价为50元时，才能在一个月内获得最大利润，最大利润是4500元．
【解析】(1)由销售单价为x元得到销售减少量，用200减去销售减少量得到y与x的函数关系式；
(2)设一个月内获得的利润为w元，根据题意得：w=(x−20)(−5x+400)，然后利用配方法求最值．
本题考查了二次函数与一次函数的实际应用，掌握数学建模思想方法，求出表达式是解题的关键．
20.【答案】解：(1)连接BC，
∵AB是圆的直径，
∴∠ADB=90°，
∵∠BDC=∠BAC=α，
∠ADC=∠ADB+∠BDC=90°+α；
(2)∵∠ACP=∠ADC，
∴∠PCO+∠ACO=∠ADB+∠BDC，
∵∠OCA=∠OAC，∠BDC=∠OAC，
∴∠BDC=∠OCA，
∴∠PCO=∠ADB=90°，
令PB=x，则PC=2PB=2x，
∵⊙O的半径为6，
∴PO=OB+PB=6+x，
∵PO2=PC2+OC2，
∴(6+x)2=(2x)2+62，
∴x=4，
∴PB=4，
∴AP=AB+PB=6×2+4=16．
【解析】(1)一般圆周角定理推出∠ADB=90°，∠BDC=∠BAC=α，即可得到∠ADC=∠ADB+∠BDC=90°+α；
(2)由圆周角定理推出∠PCO=∠ADB=90°，令PB=x，由勾股定理得到(6+x)2=(2x)2+62，求出x=4，得到PB=4，即可求出PA的长．
本题考查圆周角定理，勾股定理，关键是由圆周角定理推出∠PCO=90°，由勾股定理列出关于PB的方程．
21.【答案】解：(1)根据题意，抛物线顶点P的坐标为(6,6)，过点O(0,0)，
设该抛物线的解析式为：y=a(x−6)2+6(a≠0)，
把点O(0,0)代入得：36a+6=0，
解得：a=−16，
即所求抛物线的解析式为：y=−16(x−6)2+6(0≤x≤12)；
(2)根据题意，当x=6−0.5−3.5=2(或当x=6+0.5+3.5=10)时，
y=103<4，
∴这辆货车不能安全通过；
(3)∵y=−16(x−6)2+6=−16x²+2x，
∴设点A的坐标为(m,−16m²+2m)，由题意得0则OB=m，AB=−16m²+2m，
根据抛物线的对称性可得：CM=OB=m，
∴BC=12−2m，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=12−2m，DC=AB=−16m²+2m，
∴三根支杆AB、AD、DC的长度之和为：12−2m−16m²+2m−16m²+2m=−13m2+2m+12=−13(m−3)2+15，
∵−13<0，
∴抛物线开口向下，
∴当m=3时，即OB=3米时，三根支杆AB、AD、DC的长度之和的最大值为15米．
【解析】(1)根据图象的顶点坐标先把函数解析式设为顶点式，再把原点坐标代入解析式求出a即可；
(2)根据隧道是双向车道，把x=6−0.5−3.5代入(1)中解析式求出y的值与4进行比较即可；
(3)设点A的坐标为(m,−16m²+2m)，从而求出OB、AB的长度，再根据二次函数的对称性求出CM、BC的长度，则AB、AD、DC的长度之和是关于m的二次函数，再根据函数的性质求最值．
本题考查二次函数在实际问题中的应用以及待定系数法求函数解析式，关键是根据图象求出函数解析式．
22.【答案】(1)证明：∵Δ=k2−4×12(k−12)=(k−1)2≥0，
∴不论k为何实数时，此二次函数与x轴总有交点；
(2)解：当y=0时，12x2+kx+k−12=0，
∴x1+x2=−2k，x1⋅x2=2k−1，
∴AB= 4k2−4(2k−1)=4，
解得k=−1，
∴抛物线的解析式为y=12x2−x−32；
(3)解：当y=0时，12x2−x−32=0，
解得x=3或x=−1，
∴A(−1,0)，B(3,0)，
∵y=12x2−x−32=12(x−1)2−2，
∴抛物线的顶点为C(1,−2)，
∵AC=2 2，BC=2 2，AB=4，
∴△ABC是直角三角形，
∴△ABC的外接圆圆心为(1,0)，半径为2，
∴−2≤m≤2时，直线l与△ABC的外接圆有公共点．
【解析】(1)利用判别式进行证明；
(2)利用根与系数的关系建立方程求k的值即可；
(3)判断出△ABC是等腰直角三角形，再由外接圆的性质求解即可．
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，勾股定理逆定理，三角形的外接圆性质是解题的关键．