广东省深圳市龙华区振能学校2023-2024学年九年级下学期月考数学试卷（含答案）

这是一份广东省深圳市龙华区振能学校2023-2024学年九年级下学期月考数学试卷（含答案），共20页。

1．（3分）二次函数y＝x2﹣2x﹣3图象与y轴的交点坐标是（ ）
A．（0，1）B．（1，0）C．（﹣3，0）D．（0，﹣3）
2．（3分）已知⊙O中最长的弦为8，则⊙O的半径是（ ）
A．4B．8C．12D．16
3．（3分）如图，已知抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为x＝2，点A、B均在抛物线上，且AB与x轴平行，其中点A的坐标为（0，3），则点B的坐标为（ ）
A．（3，2）B．（4，3）C．（3，3）D．（5，3）
4．（3分）二次函数y＝（x+3）2﹣7的顶点坐标是（ ）
A．（﹣3，7）B．（3，7）C．（﹣3，﹣7）D．（3，﹣7）
5．（3分）如图，A，B，C，D为⊙O上四点，若∠BOD＝110°，则∠A的度数是（ ）
A．110°B．115°C．120°D．125°
6．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），点B（2，1），点C（2，﹣3）．则经画图操作可知：△ABC的外接圆的圆心坐标是（ ）
A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，0）C．（﹣1，﹣1）D．（0，﹣1）
7．（3分）将抛物线y＝﹣（x﹣3）2+5向右平移2个单位长度，再向下平移6个单位长度平移后的抛物线的函数表达式为（ ）
A．y＝﹣（x﹣5）2﹣1B．y＝﹣（x﹣1）2﹣1
C．y＝﹣（x﹣5）2+11D．y＝﹣（x﹣1）2+11
8．（3分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，若⊙O的半径为6，sinB＝，则线段AC的长是（ ）
A．3B．4C．5D．6
9．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，其对称轴x＝1，有以下结论：①a＜0，c＞0；②9a+3b+c＞0；③4ac﹣b2＜0；④3a+c＜0．其中正确的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
10．（3分）如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝4．P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB＝∠PBC．则线段CP长的最小值为（ ）
A．B．2C．D．
二.填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．（3分）二次函数y＝2x2﹣x﹣3图象的对称轴为直线 ．
12．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝1，关于x的方程ax2+bx+c＝0的一个根为x＝4，则另一个根为 ．
13．（3分）如图，含30°角的直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径重合，点C和点D在量角器的半圆上，若点D在量角器上对应的读数是50°，则∠CAD的度数是 ．
14．（3分）如图，AB是⊙O直径，C、D是⊙O上的两点，且OD∥BC，连接AC和BD．下列四个结论中：
①；
②OD垂直平分AC；
③BD＝AC；
④∠AOD＝2∠DBC．
所有正确结论的序号是 ．
15．（3分）如图，AB是半圆O的直径，弦AD、BC相交于点P，且CD、AB是一元二次方程x2﹣8x+15＝0的两根，则sin∠APC＝ ．
三.解答题（共7小题，满分55分）
16．（5分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴的交点为A、D（A在D的右侧），与y轴的交点为C，且A（4，0），C（0，﹣3），对称轴是直线x＝1，求二次函数的解析式．
17．（12分）已知二次函数y＝﹣x2+4x+5，完成下列各题：
（1）将函数关系式用配方法化为y＝a（x+h）2+k的形式，并写出它的顶点坐标、对称轴．
（2）求出它的图象与x轴的交点坐标．
（3）在直角坐标系中，画出它的图象．
（4）当为x何值时，函数y随着x的增大而增大？
（5）根据图象说明：当x为何值时，y＞0．
18．（8分）如图，要把残缺的圆片复原，已知弧上的三点A、B、C．
（1）用尺规作图法，找出弧BC所在圆的圆心O（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）若在△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝16cm，求图片的半径r．
19．（8分）某体育用品店购进一批单价为20元的球服，如果按单价40元销售，那么一个月内可售出200套，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高4元，销售量相应减少20套．设销售单价为x（x≥40）元，销售量为y套．
（1）求出y与x的函数关系式，并写出自变量取值范围；
（2）当销售单价为多少元时，才能在一个月内获得最大利润？最大利润是多少？
20．（8分）如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，D是AC弧上一点，P是AB延长线上一点，连接AD，DC，CP．若∠BAC＝α．
（1）求∠ADC的度数（用含α的代数式表示）；
（2）若∠ACP＝∠ADC，⊙O的半径为6，CP＝2BP，求AP的长．
21．（8分）为促进经济发展，方便居民出行．某施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道．抛物线的最高点P离路面OM的距离为6m，宽度OM为12m．
（1）按如图所示的平面直角坐标系，求表示该抛物线的函数表达式；
（2）一货运汽车装载某大型设备后高为4m，宽为3.5m．如果该隧道内设双向行车道（正中间是一条宽1m的隔离带），那么这辆货车能否安全通过？
（3）施工队计划在隧道口搭建一个矩形“脚手架”ABCD，使A，D点在抛物线上．B，C点在地面OM线上（如图2所示）．为了筹备材料，需求出“脚手架”三根支杆AB，AD，DC的长度之和的最大值是多少？请你帮施工队计算一下．
22．（6分）已知：二次函数．
（1）求证：不论k为何实数时，此二次函数与x轴总有交点；
（2）设k＜0，当二次函数的图象与x轴的两个交点A、B间的距离为4时，求此二次函数的解析式；
（3）在（2）的条件下，若抛物线的顶点为C，过y轴上一点M（0，m）作y轴的垂线l，当m为何值时，直线l与△ABC的外接圆有公共点？
参考答案与试题解析
一.选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）二次函数y＝x2﹣2x﹣3图象与y轴的交点坐标是（ ）
A．（0，1）B．（1，0）C．（﹣3，0）D．（0，﹣3）
【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣2x﹣3，
∴当x＝0时，y＝﹣3，
即二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象与y轴的交点坐标是（0，﹣3），
故选：D．
2．（3分）已知⊙O中最长的弦为8，则⊙O的半径是（ ）
A．4B．8C．12D．16
【解答】解：∵⊙O中最长的弦为8，即直径为8，
∴⊙O的半径为4．
故选：A．
3．（3分）如图，已知抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为x＝2，点A、B均在抛物线上，且AB与x轴平行，其中点A的坐标为（0，3），则点B的坐标为（ ）
A．（3，2）B．（4，3）C．（3，3）D．（5，3）
【解答】解：由题意可知抛物线的y＝x2+bx+c的对称轴为x＝2，
∵点A的坐标为（0，3），且AB与x轴平行，
可知A、B两点为对称点，
∴B点坐标为（4，3）
故选：B．
4．（3分）二次函数y＝（x+3）2﹣7的顶点坐标是（ ）
A．（﹣3，7）B．（3，7）C．（﹣3，﹣7）D．（3，﹣7）
【解答】解：∵二次函数y＝（x+3）2+7是顶点式，
∴顶点坐标为（﹣3，7）．
故选：A．
5．（3分）如图，A，B，C，D为⊙O上四点，若∠BOD＝110°，则∠A的度数是（ ）
A．110°B．115°C．120°D．125°
【解答】解：∵A，B，C，D为⊙O上四点，∠BOD＝110°，
∴∠C＝∠BOD＝55°，
∴∠A＝180°﹣∠C＝125°．
故选：D．
6．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），点B（2，1），点C（2，﹣3）．则经画图操作可知：△ABC的外接圆的圆心坐标是（ ）
A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，0）C．（﹣1，﹣1）D．（0，﹣1）
【解答】解：∵△ABC的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，
∴EF与MN的交点O′即为所求的△ABC的外心，
∴△ABC的外心坐标是（﹣2，﹣1）．
故选：A．
7．（3分）将抛物线y＝﹣（x﹣3）2+5向右平移2个单位长度，再向下平移6个单位长度平移后的抛物线的函数表达式为（ ）
A．y＝﹣（x﹣5）2﹣1B．y＝﹣（x﹣1）2﹣1
C．y＝﹣（x﹣5）2+11D．y＝﹣（x﹣1）2+11
【解答】解：将抛物线y＝﹣（x﹣3）2+5向右平移2个单位长度，再向下平移6个单位长度平移后的抛物线的函数表达式为：y＝﹣（x﹣3﹣2）2+5﹣6，即y＝﹣（x﹣5）2﹣1．
故选：A．
8．（3分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，若⊙O的半径为6，sinB＝，则线段AC的长是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【解答】解：连接CD，则∠DCA＝90°．
Rt△ACD中，sinD＝sinB＝，AD＝12．
则AC＝AD•sinD＝12×＝4．
故选：B．
9．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，其对称轴x＝1，有以下结论：①a＜0，c＞0；②9a+3b+c＞0；③4ac﹣b2＜0；④3a+c＜0．其中正确的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【解答】解∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵b＝﹣2a，
∴b＞0，
∵抛物线与y轴交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴①正确，符合题意．
由图象可得x＝﹣1时，y＜0，根据抛物线对称性可得x＝3时，y＜0，
∴9a+3b+c＜0，②错误，不符合题意．
∵图象与x轴有两个不同的交点，
∴4ac﹣b2＜0，③正确，符合题意．
∵x＝﹣1，y＜0，
∴a﹣b+c＜0，
∵b＝﹣2a，
∴3a+c＜0，④正确，符合题意．
故选：C．
10．（3分）如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝4．P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB＝∠PBC．则线段CP长的最小值为（ ）
A．B．2C．D．
【解答】解：∵∠ABC＝90°，
∴∠ABP+∠PBC＝90°，
∴∠APB＝90°，
∴点P在以AB为直径的⊙O上，连接OC交⊙O于点P，此时PC最小．
在Rt△BCO中，
∵∠OBC＝90°，BC＝4，OB＝3，
∴OC＝＝5，
∴PC＝OC﹣OP＝5﹣3＝2，
∴PC的最小值为2．
故选：B．
二.填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．（3分）二次函数y＝2x2﹣x﹣3图象的对称轴为直线 ．
【解答】解：二次函数y＝2x2﹣x﹣3图象的对称轴为直线．
故答案为：．
12．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝1，关于x的方程ax2+bx+c＝0的一个根为x＝4，则另一个根为 x＝﹣2 ．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，
∴﹣＝1，即b＝﹣2a，
根据根与系数的关系得4+x＝﹣＝﹣＝2，
解得x＝﹣2，
即方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的另一个根为x＝﹣2．
故答案为：x＝﹣2．
13．（3分）如图，含30°角的直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径重合，点C和点D在量角器的半圆上，若点D在量角器上对应的读数是50°，则∠CAD的度数是 35° ．
【解答】解：如图，连接OD，
根据题意得，∠CAB＝60°，
∵点D在量角器上对应的读数是50°，
∴∠DOB＝50°，
∵∠DAB＝∠DOB，
∴∠DAB＝25°，
∴∠CAD＝∠CAB﹣∠DAB＝35°，
故答案为：35°．
14．（3分）如图，AB是⊙O直径，C、D是⊙O上的两点，且OD∥BC，连接AC和BD．下列四个结论中：
①；
②OD垂直平分AC；
③BD＝AC；
④∠AOD＝2∠DBC．
所有正确结论的序号是 ①②④ ．
【解答】解：∵AB是⊙O直径，
∴∠C＝90°，
∴BC⊥AC，
∵OD∥BC，
∴OD⊥AC，
∴OD平分AC，
∴OD垂直平分AC，
故②正确，符合题意；
∴＝，
故①正确，符合题意；
∴∠AOD＝2∠DBC，
故④正确，符合题意；
根据题意，无法求解BD＝AC，
故③错误，不符合题意；
故答案为：①②④．
15．（3分）如图，AB是半圆O的直径，弦AD、BC相交于点P，且CD、AB是一元二次方程x2﹣8x+15＝0的两根，则sin∠APC＝ ．
【解答】解：∵CD、AB是一元二次方程x2﹣8x+15＝0的两根，
∴CD＝3，AB＝5，
连接AC，
∵∠BCD＝∠BAD，∠CDA＝∠ABC，
∴△CPD∽△APB．
∴＝，
由AB是直径得∠ACB＝90°．设PC＝3x，
则PA＝5x，
∴AC＝＝4x，
∴sin∠APC＝＝．
故答案为：．
三.解答题（共7小题，满分55分）
16．（5分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴的交点为A、D（A在D的右侧），与y轴的交点为C，且A（4，0），C（0，﹣3），对称轴是直线x＝1，求二次函数的解析式．
【解答】解：由题意，设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c，
又抛物线过A（4，0），C（0，﹣3），对称轴是直线x＝﹣＝1，
∴．
∴．
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣3．
17．（12分）已知二次函数y＝﹣x2+4x+5，完成下列各题：
（1）将函数关系式用配方法化为y＝a（x+h）2+k的形式，并写出它的顶点坐标、对称轴．
（2）求出它的图象与x轴的交点坐标．
（3）在直角坐标系中，画出它的图象．
（4）当为x何值时，函数y随着x的增大而增大？
（5）根据图象说明：当x为何值时，y＞0．
【解答】解：（1）y＝﹣x2+4x+5
＝﹣（x2﹣4x+4）+4+5
＝﹣（x﹣2）2+9，
顶点坐标为（2，9），
对称轴为直线x＝2；
（2）令y＝0，则﹣x2+4x+5＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝5，
所以，图象与x轴的交点坐标为（﹣1，0），（5，0）；
（3）函数图象如图所示；
（4）x＜2时，y随着x的增大而增大；
（5）﹣1＜x＜5时，y＞0．
18．（8分）如图，要把残缺的圆片复原，已知弧上的三点A、B、C．
（1）用尺规作图法，找出弧BC所在圆的圆心O（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）若在△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝16cm，求图片的半径r．
【解答】解：（1）分别作AB、AC的垂直平分线，设交点为O，则O为所求圆的圆心．
（2）连接AO交BC于E，连接OB．
∵AB＝AC，
∴AE⊥BC，BE＝BC＝8（厘米），
在Rt△ABE中，AE＝＝6（厘米），
设⊙O的半径为R cm，
在Rt△BEO中，
OB2＝BE2+OE2，即R2＝82+（R﹣6）2，
∴R2＝64+R2﹣12R+36，
∴R＝．
所以所求圆的半径为cm．
19．（8分）某体育用品店购进一批单价为20元的球服，如果按单价40元销售，那么一个月内可售出200套，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高4元，销售量相应减少20套．设销售单价为x（x≥40）元，销售量为y套．
（1）求出y与x的函数关系式，并写出自变量取值范围；
（2）当销售单价为多少元时，才能在一个月内获得最大利润？最大利润是多少？
【解答】解：（1）销售单价为x元，则销售量减少×20，
故销售量为y＝200﹣×20＝﹣5x+400（x≥40）；
（2）设一个月内获得的利润为w元，根据题意得：
w＝（x﹣20）（﹣5x+400）
＝﹣5x2+500x﹣8000
＝﹣5（x﹣50）2+4500．
∵x≥40，
当x＝50时，w的最大值为4500．
故当销售单价为50元时，才能在一个月内获得最大利润，最大利润是4500元．
20．（8分）如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，D是AC弧上一点，P是AB延长线上一点，连接AD，DC，CP．若∠BAC＝α．
（1）求∠ADC的度数（用含α的代数式表示）；
（2）若∠ACP＝∠ADC，⊙O的半径为6，CP＝2BP，求AP的长．
【解答】解：（1）连接BC，
∵AB是圆的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠BDC＝∠BAC＝α，
∠ADC＝∠ADB+∠BDC＝90°+α；
（2）∵∠ACP＝∠ADC，
∴∠PCO+∠ACO＝∠ADB+∠BDC，
∵∠OCA＝∠OAC，∠BDC＝∠OAC，
∴∠BDC＝∠OCA，
∴∠PCO＝∠ADB＝90°，
令PB＝x，则PC＝2PB＝2x，
∵⊙O的半径为6，
∴PO＝OB+PB＝6+x，
∵PO2＝PC2+OC2，
∴（6+x）2＝（2x）2+62，
∴x＝4，
∴PB＝4，
∴AP＝AB+PB＝6×2+4＝16．
21．（8分）为促进经济发展，方便居民出行．某施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道．抛物线的最高点P离路面OM的距离为6m，宽度OM为12m．
（1）按如图所示的平面直角坐标系，求表示该抛物线的函数表达式；
（2）一货运汽车装载某大型设备后高为4m，宽为3.5m．如果该隧道内设双向行车道（正中间是一条宽1m的隔离带），那么这辆货车能否安全通过？
（3）施工队计划在隧道口搭建一个矩形“脚手架”ABCD，使A，D点在抛物线上．B，C点在地面OM线上（如图2所示）．为了筹备材料，需求出“脚手架”三根支杆AB，AD，DC的长度之和的最大值是多少？请你帮施工队计算一下．
【解答】解：（1）根据题意，顶点P的坐标为（6，6），
设抛物线的解析式为y＝a（x﹣6）2+6，
把点O（0，0）代入得：36a+6＝0，
解得：，
即所求抛物线的解析式为：（0≤x≤12）；
（2）根据题意，当x＝6﹣0.5﹣3.5＝2时（或者当x＝6+0.5+3.5＝10）时，
，
∴这辆货车不能安全通过；
（3）设A点的坐标为，
则OB＝m，，
根据抛物线的对称性可得CM＝OB＝m，
∴BC＝12﹣2m，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝12﹣2m，，
∴三根支杆AB，AD，DC的长度之和：＝，
∴当m＝3，即OB＝3米时，三根支杆AB，AD，DC的长度之和的最大值为15．
22．（6分）已知：二次函数．
（1）求证：不论k为何实数时，此二次函数与x轴总有交点；
（2）设k＜0，当二次函数的图象与x轴的两个交点A、B间的距离为4时，求此二次函数的解析式；
（3）在（2）的条件下，若抛物线的顶点为C，过y轴上一点M（0，m）作y轴的垂线l，当m为何值时，直线l与△ABC的外接圆有公共点？
【解答】（1）证明：∵Δ＝k2﹣4×（k﹣）＝（k﹣1）2≥0，
∴不论k为何实数时，此二次函数与x轴总有交点；
（2）解：当y＝0时，＝0，
∴x1+x2＝﹣2k，x1•x2＝2k﹣1，
∴AB＝＝4，
解得k＝﹣1，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣；
（3）解：当y＝0时，x2﹣x﹣＝0，
解得x＝3或x＝﹣1，
∴A（﹣1，0），B（3，0），
∵y＝x2﹣x﹣＝（x﹣1）2﹣2，
∴抛物线的顶点为C（1，﹣2），
∵AC＝2，BC＝2，AB＝4，
∴△ABC是直角三角形，
∴△ABC的外接圆圆心为（1，0），半径为2，
∴﹣2≤m≤2时，直线l与△ABC的外接圆有公共点