湖南省怀化市溆浦县第一中学2023届九年级上学期期中考试数学试卷(含答案)

溆浦一中2022-2023上学期九年级数学期中测试测试

满分：150 分时量：120 分钟

注意事项：

1．答题前请在答题卡上填写好自己的姓名、班级、考号等信息.

2．请将答案正确填写在答题卡上．

一、选择题（每小题4分，共40分）

1. 若反比例函数y＝（a＞1，x＜0）图象上有两个点（x1，y1），（x2，y2），设m＝（x1﹣x2）（y1﹣y2），则y＝mx﹣m不经过第（　　）象限．

A. 一 B. 二 C. 三 D. 四

【答案】C

2. 下列方程中，一元二次方程共有（　　）个

①；②；③；④⑤；

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

【答案】A

3. 若实数满足，则的值是（ ）

A. 1 B. -3或1 C. -3 D. -1或3

【答案】A

4. 已知线段，是线段的黄金分割点，则的长度为（    ）

A.  B.  

C. 或 D. 以上都不对

【答案】C

5. 已知，则k的值为(　　)

A.  B. － C. 或－ D. 或－1

【答案】C

6. 如表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差：

根据表数据，从中选择一名成绩好且发挥稳定的参加比赛，应该选择（　　）

A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁

【答案】A

7. 若关于x的一元二次方程有实数根，则a应满足（　　）

A.  B.  C. 且 D. 且

【答案】C

8. 如图，在等腰三角形中，，图中所有三角形均相似，其中最小的三角形面积为1，的面积为42，则四边形DBCE的面积是（    ）

A. 20 B. 22 C. 24 D. 26

【答案】D

9. 如图，和都是等腰直角三角形，，反比例函数在第一象限的图象经过点B．若，则k的值为（　　）

A. 6 B. 7 C. 8 D. 9

【答案】A

10. 如图，等腰直角三角形，，、是上的两点，且，过、作、分别垂直、，垂足为、，交于点，连接、．其中①四边形是正方形；②；③当时， ；④当时，．正确结论有（　　）

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

【答案】D

二、填空题（每小题4分，共24 分）

11. 已知与成反比例，且时，，则当1时，x的值为___________

【答案】

12. 若关于的方程是一元二次方程，则______．

【答案】﹣2

13. 设，是整数，方程有一个实数根是，则___________．

【答案】1

14. 如图，建筑物上有一高为的旗杆，从D处观测旗杆顶部A的仰角为，观测旗杆底部B的仰角为，则建筑物的高约为_____（结果保留小数点后一位）．（参考数据，，）

【答案】

【解析】

【详解】解：由题意得：，

是等腰直角三角形，

，

设，则，

在中，，即，

解得，经检验，是所列分式方程的解，且符合题意，

即建筑物的高约为，

故答案为：．

15. 如图，正方形的顶点，，延长交x轴于点，作正方形，延长交x轴于点，作正方形，…，按照这样的规律，点的纵坐标为___________

【答案】

【解析】

【详解】连接，，，，

∵，，

∴，

∵，

∴，

∵四边形是正方形，

∴，，，

∴，

∴点D的纵坐标为，

∵，

∴，

同理可得：，

∴点、、、的纵坐标分别是：、、、，

以此类推，

∴点的纵坐标为，

故答案为：

16. 边长为1的8个正方形如图摆放在直角坐标系中，直线平分这8个正方形所组成的图形的面积，交其中两个正方形的边于，两点，过点的双曲线的一支交其中两个正方形的边于，两点，连接，，，则__________．

【答案】．

【解析】

【详解】解：设，

直线平分这8个正方形所组成的图形的面积，

，解得，

，

把代入直线得，解得，

直线解析式为，

当时，，则，

双曲线经过点，

，

双曲线的解析式为，

当时，，解得，则；

当时，，则，

．

故答案为．

三、解答题

17. 用合适的方法解方程：

（1）

（2）

【答案】（1）10，   

（2）

【解析】

【小问1详解】

∴，

解得；

【小问2详解】

，

当，原方程化为，

解得（不合题意，舍去），

当时，，矛盾，舍去；

当，原方程化为，

解得（不合题意，舍去），

综上所述，原方程的根是．

【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，正确运用合适的方法是解题的关键．

18. 计算：

（1）

（2）

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【小问1详解】

解：

【小问2详解】

解：

．

19. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于第一、三象限内的，两点，与轴交于点．

（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；

（2）在轴上找一点使最大，求的最大值及点的坐标；

（3）直接写出当时，x的取值范围．

【答案】（1），   

（2），   

（3）或

【解析】

【小问1详解】

解：把代入，可得，

反比例函数的解析式为，

把点代入，可得，

．

把，代入，可得，

解得，

一次函数的解析式为；

【小问2详解】

解：一次函数的解析式为，令，则，

一次函数与轴的交点为，

此时，最大，即为所求，

令，则，

，

过点向轴作垂线，由勾股定理可得：

；

【小问3详解】

解：当时，或．

20. 已知：平行四边形ABCD的两边AB、BC的长是关于x的方程x2﹣mx+﹣＝0的两个实数根．

（1）试说明：无论m取何值方程总有两个实数根

（2）当m为何值时，四边形ABCD是菱形？求出这时菱形的边长；

（3）若AB的长为2，那么平行四边形ABCD的周长是多少？

【答案】（1）见解析； （2）m＝1，菱形的边长为；（3）平行四边形ABCD的周长为5．

【解析】

【详解】（1）证明：∵关于x的方程x2﹣mx+﹣＝0，△＝m2﹣2m+1＝（m﹣1）2

∵（m﹣1）2≥0

∴无论m取何值方程总有两个实数根；

（2）解：∵四边形ABCD是菱形

∴AB＝BC即（m﹣1）2＝0，

∴m＝1代入方程得：

∴

∴x1＝x2＝，

即菱形的边长为；

（3）解：将AB＝2代入方程x2﹣mx+﹣＝0，

解得：m＝，

将代入方程，x2﹣mx+﹣＝0，

解得：x1＝2，x2＝，

即BC＝，

所以平行四边形ABCD的周长为2+2+＝5．

21. 如图，矩形ABCD中，AB＝20，BC＝10，点P为AB边上一动点，DP交AC于点Q.

(1)求证：△APQ∽△CDQ；

(2)P点从A点出发沿AB边以每秒1个单位长度的速度向B点移动，移动时间为t秒．当t为何值时，DP⊥AC?

【答案】（1）见解析；（2）当t＝5时，DP⊥AC，理由见解析

【解析】

【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴CD∥AB，

∴∠DCQ=∠QAP，∠PDC=∠QPA，

∴△APQ∽△CDQ；

（2）解：当t=5时，DP⊥AC；

∵∠ADC=90°，DP⊥AC，

∴∠AQD=∠AQP=∠ADC=90°，

∵∠DAQ=∠CAD，

∴△ADQ∽△ACD，

∴，

AC=，

则AQ=，

∵∠AQP=∠ABC=90°，∠QAP=∠BAC，

∴△AQP∽△ABC，

∴，

则，

解得：t=5，

即当t=5时，DP⊥AC．

22. 某装备企业采用订单式生产销售某种产品，保证其销售量与产量相等，图中的线段，线段分别表示该产品每万台生产成本（单位：万元）、销售价（单位：万元）与产量（单位：台）之间的函数关系，考虑企业的经济效益，当此种产品市场预定生产为万台时，将停止订单生产销售，求当该产品产量为多少万台时，可实现万元利润？

【答案】当该产品产量为50万台时，可实现2000万元利润．

【解析】

【详解】设线段AB所表示的y1与x之间的函数关系式为y=k1x+b1，
∵y=k1x+b1的图象过点（0，60）与（75，45），
∴这个一次函数的表达式为；y=-0.2x+60（0≤x≤75）；
设线段CD所表示y2与x之间的函数关系式为y=k2x+b2，
∵y=k2x+b2的图象过点（0，120）与（75，75），
∴这个一次函数的表达式为；y=-0.6x+120（0≤x≤75）；
设该产品产量x万台时，可实现2000万元利润，由题意得
x（-0.6x+120）-x（-0.2x+60）=2000
解得：x1=50，x2=100（不合题意，舍去），
答：当该产品产量为50万台时，可实现2000万元利润．

23. 七班学生参加学校组织的“绿色奥运”知识竞赛，老师将学生的成绩按分的组距分段，统计每个分数段出现的频数，填入频数分布表，并绘制频数分布直方图.

频数分布表中________， ___________；

把频数分布直方图补充完整；

学校设定成绩在分以上的学生将获得一等奖或二等奖，一等奖奖励作业本本，二等奖奖励作业本本，已知这部分学生共获得作业本本，则一等奖和二等奖各多少人？

【答案】（1）；；（2）见解析；（3）获一等奖的有人，获二等奖的有人.

【解析】

【详解】解：（1）总人数是：(人)，

则， .

故答案为：；.

（2）（人）

补全频数分布直方图如图所示：

（3）设获一等奖的有人，获二等奖的有人，根据题意得

解得：

答：获一等奖的有人，获二等奖的有人．

24. 阅读：若为正实数，对于某一函数图象上任意两点、，若恒成立，则称这个函数为王氏函数，为王氏系数．

（1）分别判断和是不是王氏函数；

（2）若是王氏函数，求的取值范围；

（3）若是王氏函数，且的最大值为27，求的值．

【答案】（1）是王氏函数，不是王氏函数   

（2）≤   

（3）3

【解析】

【小问1详解】

由≥得

①，

∴=3

∴（满足）

②，

∴=

∴（不是定值，不满足）

∴王氏函数，不是王氏函数；

【小问2详解】

若是王氏函数，则有≥恒成立，即≥

∵，

设

∴

∴≤恒成立

∴≤

故≤；

【小问3详解】

由题≥

∴且

∴，，

即

∴

所求的值是3．

25. 已知和都为等腰三角形，．

（1）当时，

①如图1，当点D在上时，请直接写出与的数量关系；_________；

②如图2，当点D不在上时，判断线段与的数量关系，并说明理由；

（2）当时，

①如图3，探究线段与的数量关系，并说明理由；

②当时，请直接写出长．

【答案】（1）①；②，理由见解析；（2）①，理由见解析；②5．

【解析】

【详解】解：（1）①当时，，

和都为等腰三角形，

和都为等边三角形，

，

，即，

故答案为：；

②，理由如下：

和都为等边三角形，

，

，即，

在和中，，

，

；

（2）①当时，，

和都为等腰直角三角形，

，

，即，

设，

则，

，

在和中，，

，

，

即；

②如图，设与交于点，

，

，

设，则，

，

，，

，即，

解得，

，

在中，，

在中，，

，

则在中，．