2022-2023学年河南省洛阳市偃师市中成外国语学校九年级（下）第二次月考数学试卷（1）（含解析）

2022-2023学年河南省洛阳市偃师市中成外国语学校九年级（下）第二次月考数学试卷（1）

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  一个正方体的每个面上都有一个汉字，其平面展开图如图所示，那么在该正方体中与“价”字相对的字是(    )
 

A. 记 B. 心 C. 间 D. 观

2.  小明将一块直角三角板摆放在直尺上，如图所示，则与的关系是(    )
 

A. 互余
B. 互补
C. 同位角
D. 同旁内角

3.  下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

4.  如图，在平行四边形中，以点为圆心，长为半径作弧交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点若，，则的周长为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  定义运算：，如，则方程根的情况是(    )

A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 只有一个实数根 D. 无实数根

6.  如图，用一个半径为的定滑轮带动重物上升，滑轮上一点旋转了，假设绳索粗细不计与滑轮之间没有滑动，则重物上升了(    )

A.
B.
C.
D.

7.  如图，在中，，，是边的中点，是边上一点，若平分的周长，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，正方形的四个顶点均在坐标轴上，将正方形绕点顺时针旋转，每秒旋转，同时点从的中点处出发，在正方形的边上顺时针移动，每秒移动个单位，则第秒时，点的坐标为(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

9.  已知反比例函数是常数的图象位于第一、三象限，那么的取值范围是______．

10.  不等式组的解集是______．

11.  盒子里装有除颜色外没有其他区别的个红球和个黑球，搅匀后从中取出个球，放回搅匀再取出第个球，则两次取出的球是红黑的概率为______．

12.  如图，在扇形中，，以点为圆心，为半径画弧交于点若，则图中阴影部分的面积为        ．

13.  如图，正方形边长为，为对角线上的一个动点，过作的垂线并截取，连结，周长的最小值为______．

三、计算题（本大题共1小题，共9.0分）

14.  某校为了解九年级同学的体育考试准备情况，随机抽查该年级若干名学生进行体育模拟测试，根据测试成绩单位：分绘制成两幅不完整的统计图，请根据图中信息回答下面的问题：
请补全条形统计图；
所调查学生测试成绩的平均数为______ ，中位数为______ 众数为______ ；
若该校九年级学生共有人，请估计该校九年级学生在体育模拟测试中不低于分的学生约有多少人？
 

四、解答题（本大题共7小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15.  本小题分
计算：
计算：；
先化简再从，，，，选一个合适的数作为的值代入求值．

16.  本小题分
如图，在菱形中，轴，点的坐标为，点的坐标为边所在直线与轴交于点，与双曲线交于点．
求直线对应的函数解析式及的值．
当时，使的自变量的取值范围为______．

17.  本小题分
如图，一艘轮船从点处以的速度向正东方向航行，在处测得灯塔在北偏东方向上，继续航行到达处，这时测得灯塔在北偏东方向上，已知在灯塔的四周内有暗礁，问这艘轮船继续向正东方向航行是否安全？并说明理由．提示：，

18.  本小题分
某实验中学计划购买甲、乙两种树苗绿化校园已知用元购买甲种树苗的棵数比用元购买乙种树苗的棵数少棵，且乙种树苗的单价为甲种树苗单价的．
问甲、乙两种树苗的单价分别为多少元？
学校计划购买甲、乙两种树苗共棵，并且要求乙种树苗的数量不多于甲种树苗数量的，那么应按照什么方案购买才能使费用最少，最少费用应为多少？

19.  本小题分
中国级旅游景区开封市清明上河园，水车园中的水车是由立式水轮、竹筒、支撑架和水槽等部件组成．如图是水车园中半径为的水车灌田的简化示意图，立式水轮在水流的作用下利用竹筒将水运送到点处，水沿水槽流到田地，与水面交于点，，且点，，在同一直线上，与相切，若点到点的距离为米，立式水轮的最低点到水面的距离为米．连接，请解答下列问题．
求证：．
请求出水槽的长度．
 

20.  本小题分
如图，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线．图是喷灌架为一坡地草坪喷水的平面示意图，喷水头的高度喷水头距喷灌架底部的距离是米，当喷射出的水流与喷灌架的水平距离为米时，达到最大高度米，现将喷灌架置于坡地底部点处，草坡上距离的水平距离为米处有一棵高度为米的小树，垂直水平地面且点到水平地面的距离为米．

计算说明水流能否浇灌到小树后面的草地．
记水流的高度为，斜坡的高度为，求的最大值．
如果要使水流恰好喷射到小树顶端的点，那么喷射架应向后平移多少米？

21.  本小题分
在矩形中，，，将线段绕点逆时针旋转得到线段，记旋转角为连接，，过点作直线的垂线，垂足为．
如图，当时，的值为______．
当且点不与点重合时，
中的结论是否仍然成立？若成立，请仅就图的情形给出证明；若不成立，请说明理由．
当以点，，为顶点的三角形是等腰直角三角形时，请直接写出的长．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答即可求得答案．
【解答】

解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，
“价”与“记”是相对面，
“值”与“间”是相对面，
“观”与“心”是相对面，
故选A．

2.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了平行线的性质，三角形内角和以及三角形外角的性质，灵活运用性质解决问题是解题的关键．
利用三角形外角的性质并结合平行线的性质可得出答案．
【解答】
解：根据题意可得：，，
，，
，
，
即，
和互余，
故选：．  

3.【答案】 

【解析】解：：，故A是错误的；
：，故B是错误的；
：，故C是错误的；
：，故D是正确的；
故选：．
分别根据平方差公式、幂的乘方、积的乘方、及同底数幂的除法进行求解判断．
本题考查了幂的乘方、负整数次幂、同底数幂的乘法，及平方差公式，熟练掌握数学基本知识的运算是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：由作图得：平分，
，
在平行四边形中，有，，，
，
，
的周长为：，
故选：．
先根据作图得平分，再根据平行四边形的性质求解．
本题考查了作图，掌握平行四边形的性质是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：根据题中的新定义得：，
整理得：，
，
方程没有实数根．
故选：．
方程利用题中的新定义化简，计算出根的判别式的值，即可作出判断．
此题考查了根的判别式，实数的运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：重物上升了，
故选：．
根据题意列出算式，再求出即可．
本题考查了弧长的计算和生活中的旋转现象，能根据题意列出算式是解此题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：延长至，使，连接，
，
，
为等边三角形，
，
平分的周长，
，
，
，
，
故选：．
延长至，使，连接，根据等边三角形的性质求出，根据三角形中位线定理解答即可．
本题考查的是三角形中位线定理、等边三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：根据题意可知：正方形旋转次回到原位，点经过秒回到原位，
，，
此时正方形回到原位，点走个单位，
所以点位于第三象限，在的中点处，
．
，

故选：．
根据题意可得正方形旋转次回到原位，点经过秒回到原位，，，此时正方形回到原位，点走个单位，所以点位于第三象限，在的中点处，根据勾股定理和三角形中位线定理即可解决问题．
本题考查了正方形的性质，坐标与图形变化旋转，解决本题的关键是掌握旋转的性质．
 

9.【答案】 

【解析】解：反比例函数是常数的图象在第一、三象限，
，
．
故答案为：．
反比例函数图象在一、三象限，可得，据此列出关于的不等式求得的取值范围即可．
本题运用了反比例函数的性质，关键要知道的决定性作用．
 

10.【答案】 

【解析】解：，
解不等式得：，
解不等式得：，
不等式组的解集为，
故答案为：．
解出每个不等式的解集，再找出公共解集即可．
本题考查解不等式组，解题的关键是求出每个不等式的解集，能找出不等式的公共解集．
 

11.【答案】 

【解析】解：画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中两次取出的球是红黑的结果有种，
两次取出的球是红黑的概率为．
故答案为：．
画树状图得出所有等可能的结果数和两次取出的球是红黑的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：连接，，
由题意得：是等边三角形，
，，，
扇形的面积扇形的面积，的面积，
阴影的面积扇形的面积的面积扇形的面积．
故答案为：．
阴影的面积扇形的面积的面积扇形的面积，由扇形面积公式，三角形面积公式，即可解决问题．
本题考查求阴影的面积，关键是掌握扇形面积公式．
 

13.【答案】 

【解析】解：如图，过作交于，连结、，

，，
，
，
，
，
，，
，
四边形为平行四边形，
，
四边形为矩形，
，
，
在中，，
，
当时，取得最小值此时，
周长的最小值，
故答案为：．
过作交于，连结、，证四边形为矩形，得，据此知，再求出，当时，取得最小值，此时，从而得出答案．
本题主要考查轴对称最短路线问题及矩形的判定与性质，解题的关键是掌握矩形的判定与性质及轴对称的性质．
 

14.【答案】     

【解析】解：抽样学生中成绩为分的有人，占抽样学生数的，
所以本次抽样人数为：人，
因为成绩分的人数占抽样人数的，
所以抽样学生中成绩为分的有：人．
补全条形统计图如下：

所调查学生测试成绩的平均数为：

；
把该组数据按从小到大的顺序排列后，第、个数都是，所以该组数据的中位数为：；
该组数据中，分出现的次数最多，所以众数为：．
故答案为：，，．
由扇形图知，抽样学生中成绩不少于分的占：，
所以该校九年级学生在体育模拟测试中不低于分的学生约有：人．
答：该校九年级学生在体育模拟测试中不低于分的学生约有人．
根据条形统计图和扇形统计图，先算出分学生的人数，再补全条形统计图；
利用平均数、中位数、众数的求法，直接求值即可；
先计算抽样学生中成绩不低于分的百分比，再估计全部九年级学生的成绩情况．
本题考查了条形统计图、扇形统计图、中位数、平均数、众数及用样本估计总体等知识点，读懂条形统计图和扇形统计图，并掌握平均数、中位数及众数的求法是解决本题的关键．
 

15.【答案】解：原式

．
原式

，
由分式有意义的条件可知：不能取、，
故，
原式
． 

【解析】根据绝对值的性质、零指数幂的意义、特殊角的锐角三角函数值以及二次根式的性质即可求出答案．
根据分式的加减运算以及乘除运算法则进行化简，然后将的值代入原式即可求出答案．
本题考查绝对值的性质、零指数幂的意义、特殊角的锐角三角函数值、二次根式的性质、分式的加减运算以及乘除运算法则，本题属于基础题型．
 

16.【答案】 

【解析】解：点，点，
，．
在中，由勾股定理得，
四边形为菱形，
，
，
点的坐标为，点的坐标为．
对于直线，有，
解得，

双曲线交于点，
；
由图象可知，当时，，
所以，当时，使的自变量的取值范围为，
故答案为．
根据勾股定理求得的长，进而求得、的坐标，然后根据待定系数法即可求得直线的函数表达式及的值；
根据函数的图象即可求得使的自变量的取值范围，即可得到结论．
本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求解析式等；求得、的坐标是解题的关键．
 

17.【答案】解：安全，理由如下：
过点作垂直，

由题意可得，，，，
在中，设，则，
在中，，
，
，
解得：，
所以，这艘轮船继续向正东方向航行是安全的． 

【解析】过点作垂直，利用特殊角的三角函数值求得的长度，从而根据无理数的估算作出判断．
本题考查解直角三角形的应用，通过添加辅助线构建直角三角形，熟记特殊角的三角函数值是解题关键．
 

18.【答案】解：设甲种树苗每棵元，则乙种树苗每棵元，
根据题意得：，
解得，
经检验，是原方程的解，
，
答：甲种树苗每棵元，乙种树苗每棵元；
设购进甲种树苗棵，则购进乙种树苗棵，费用是元，
根据题意得：，
即，
乙种树苗的数量不多于甲种树苗数量的，
，
解得，
在中，，
随的增大而增大，
时，最小，最小值是，
此时，
答：购进甲种树苗棵，购进乙种树苗棵，所需费用最少是元． 

【解析】设甲种树苗每棵元，则乙种树苗每棵元，可得，即可解得甲种树苗每棵元，乙种树苗每棵元；
设购进甲种树苗棵，则购进乙种树苗棵，费用是元，可得，根据乙种树苗的数量不多于甲种树苗数量的，可得，根据一次函数性质即可得购进甲种树苗棵，购进乙种树苗棵，所需费用最少是元．
本题考查一次函数及一元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．
 

19.【答案】证明：连接，并延长交于，连接，则，

，
与相切，
，
，
，
；
解：如图，于点，且米，

米，
米，
连接，
米，
米，
米，
米，
，，
∽，
，
，
米． 

【解析】连接，并延长交于，连接，则，由切线的性质及圆周角定理可得出结论；
由勾股定理求出米，证明∽，得出，可求出答案．
本题考查了切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握切线的性质是解题的关键．
 

20.【答案】解：由题可知：抛物线的顶点为，
设水流形成的抛物线为，
将点代入可得，
抛物线为，
当时，，
答：能浇灌到小树后面的草坪；
由题可知点坐标为，
则直线为，
，
，
当时，的最大值为；
答：的最大值为；
设喷射架向后平移了米，
则平移后的抛物线可表示为，
将点代入得：或舍去，
答：喷射架应向后移动米． 

【解析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，正确理解题意、熟练掌握待定系数法及二次函数的性质是解题的关键．
设抛物线的解析式为，用待定系数法求得解析式；
先求出直线的解析式，再根据两个纵坐标的差求出最大值即可；
设喷射架向后平移了米，则平移后的抛物线可表示为，将点的坐标代入可得答案．
 

21.【答案】 

【解析】解：将线段绕点逆时针旋转得到线段，记旋转角为，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
故答案为：；
仍然成立．证明如下：
过点作于点，

四边形是矩形，
，
，，
，
，，，
，
即，
由旋转的性质可得，
又，
，
，
若是等腰直角三角形，可分两种情况：
当点在线段的延长线上时，如图，

设，则，，
，
在中，，
解得负值已舍去，
，
当点在线段上时，如图，

设，则，，
，
在中，，
解得负值已舍去，
，
综上所述，当以点，，为顶点的三角形是等腰直角三角形时，的长是或．
由旋转的性质得出，证明是等边三角形，得出，则可得出答案；
过点作于点，证出，得出，，证出，则可得出结论；
分两种情况，由等腰直角三角形的性质及勾股定理可得出答案．
本题属于几何变换综合题，主要考查了矩形的性质、旋转的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练运用勾股定理是解答本题的关键．