2023-2024学年河南省郑州外国语中学九年级（上）月考数学试卷（10月份）（含解析）

2023-2024学年河南省郑州外国语中学九年级（上）月考数学试卷（10月份）

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.下列各组种的四条线段成比例的是(    )

A. 、、、 B. 、、、
C. 、、、 D. 、、、

2.一个不透明的盒子里有个除颜色外其它完全相同的小球，其中有个黄球，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量的重复摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在，那么估计盒子中小球的个数为(    )

A.  B.  C.  D.

3.根据下列表格的对应值，由此可判断方程必有一个解满足(    )

A.  B.
C.  D.

4.如图，点在的边上，要判断∽，添加下列一个条件，不正确的是(    )

A.
B.
C.
D.

5.如图，一架长的梯子斜靠在一竖直的墙上，为中点，当梯子的上端沿墙壁下滑时，的长度将(    )

A. 变大
B. 变小
C. 不变
D. 先变大后变小

6.如图，矩形是某会展中心一楼展区的平面示意图，其中边的长为，边的长为，该展区内有三个全等的矩形展位，每个展位的面积都为，阴影部分为宽度相等的人行通道，求人行通道的宽度．若设人行通道的宽度为，下列方程正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

7.如图，矩形的两对角线相交于点，，，则矩形的面积为(    )

A.
B.
C.
D.

8.如图，是正方形对角线上一点，，，、分别为垂足，若，，则的长是(    )

A.
B.
C.
D.

9.如图，在平行四边形中，是边上的点且：：，、交于点，设的面积为，平行四边形的面积为，则：的值为(    )

A.  B.  C.  D.

10.如图，平行四边形的对角线交于点点、分别是边，的中点，连接，下列结论：若四边形是菱形，则；若四边形是矩形，则；若，则四边形是矩形；若，则四边形是菱形．其中正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.已知两条直线被三条平行线所截，截得线段的长度如图所示，则 ______ ．

12.设，分别为一元二次方程的两个实数根，则______．

13.在三张大小、质地均相同的卡片上各写一个数字，分别为、、，现将三张卡片放入一只不透明的盒子中，搅匀后从中任意摸出一张，记下数字后放回，搅匀后再任意摸出一张，记下数字，则两次摸到不同数字的概率是______ ．

14.如图，在正方形中，，，分别为边，中点，连接，相交于点，则面积为______．

15.如图，在矩形中，，，是的中点，连接，是边上一动点，沿过点的直线将矩形折叠，使点落在上的点处，当是直角三角形时，______．

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.本小题分
解下列一元二次方程：
；
．

17.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，的顶点分别是，，．
作出关于轴对称的图形；
以原点为位似中心，在轴的左侧画出，使它与原三角形相似比为：；
求的面积．

18.本小题分
在一个不透明的箱子里，装有个红球和个黄球，它除了颜色外均相同．
随机地从该箱子里同时取出个球，请你用树状图或列表的方法求两球颜色相同的概率．
小明、小亮都想去观看足球比赛，但是只有一张门票，他们决定通过摸球游戏确定谁去规则如下：随机地从该箱子里同时取出个球，若两球颜色相同，小明去；否则，小亮去这个游戏公平吗？请说明理由．

19.本小题分

如图，▱中，点是的中点，连接并延长交延长线于点
求证：；
连接、，
当时，的形状是______；
若，当______时，四边形是菱形．

20.本小题分
如果关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
求的取值范围；
若方程的一个实数根是，求的值．

21.本小题分
安顺市某商贸公司以每千克元的价格购进一种干果，计划以每千克元的价格销售，为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量千克与每千克降价元之间满足一次函数关系，其图象如图所示：

求与之间的函数关系式；
商贸公司要想获利元，则这种干果每千克应降价多少元？

22.本小题分

小明家窗外有一个路灯，每天晚上灯光都会透过窗户照进房间里，小明利用相关数学知识测量了这个路灯的高如图，路灯顶部处发光，光线透过窗子照亮地面的长度为，小明测得窗户距离地面高度，窗高，某一时刻，，，其中、、、四点在同一条直线上，、、三点在同一条直线上，且，，请求出路灯的高度．

23.本小题分
已知在中，，，，为边上的一点过点作射线，分别交边，于点，．

问题发现
如图，当为的中点，且，时， ______ ；
若为的中点，将绕点旋转到图位置时， ______ ；
类比探究
如图，若改变点的位置，且时，求的值，并写出解答过程；
问题解决
如图，连接，当 ______ 时，与相似．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，所以四条线段不成比例，故A选项不符合题意；
B.，所以四条线段不成比例，故B选项不符合题意；
C.，所以四条线段成比例，故C选项符合题意；
D.，所以四条线段不成比例，故D选项不符合题意．
故选：．
根据比例线段的定义和比例的性质，利用每组数中最大和最小数的积与另两个数之积是否相等进行判断．
本题考查成比例线段的概念，关键是理解比例线段的定义，两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．

2.【答案】 

【解析】解：通过大量重复摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在，
估计摸到黄球的概率为，
个，
故选：．
利用大量重复试验下事件发生的频率可以估计该事件发生的概率，然后用盒子中黄球的个数除以摸到黄球频率的稳定值即可．
本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率．

3.【答案】 

【解析】解：时，，
时，，
时，，
即方程必有一个解满足，
故选：．
利用表中数据得到时，，时，，则可判断时，有一个根满足．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．

4.【答案】 

【解析】解：在和中，，
当时，满足两组角对应相等，可判断∽，故A正确；
当时，满足两组角对应相等，可判断∽，故B正确；
当时，满足两边对应成比例且夹角相等，可判断∽，故C正确；
当时，其夹角不相等，则不能判断∽，故D不正确；
故选：．
根据相似三角形的判定方法，逐项判断即可．
本题主要考查相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键，即在两个三角形中，满足三边对应成比例、两边对应成比例且夹角相等或两组角对应相等，则这两个三角形相似．

5.【答案】 

【解析】解：，为的中点，，
是的中线，
，
梯子的上端沿墙壁下滑时，梯子的长度不变，
的长度也不变，
故选：．
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，即可得出结果．
本题考查了直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．

6.【答案】 

【解析】解：人行通道的宽度为，
每个展位的长为，宽为
依题意得：，
即．
故选：．
由人行通道的宽度为，可得出每个展位的长为，宽为，根据每个展位的面积都为，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

7.【答案】 

【解析】解：四边形是矩形，
，，
，
，
设，则，
根据勾股定理可得，
，
矩形的面积为：．
故选：．
根据矩形的对角线相等且互相平分，以及可得是等边三角形，进而在中可得，根据含度角的直角三角形的性质以及勾股定理求得，即可求得矩形的面积．
本题考查了矩形的性质，含度角的直角三角形的性质，勾股定理，等边三角形的性质判定，掌握矩形的性质是解题的关键．

8.【答案】 

【解析】解：如图，连接，

四边形是正方形，
，，，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
，，，
，
四边形是矩形，
，
，
故选：．
连接，由正方形的性质得出，，，由勾股定理求出，由全等三角形的判定与性质得出，由，得出四边形是矩形，由矩形的性质得出，即可得出，即可得出答案．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，掌握正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质是解决问题的关键．

9.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，
∽，
，，
：：，
：：，
，，
，设，则，，
，
平行四边形的面积为，
：．
故选：．
由平行四边形的性质得出，，证明∽，由相似三角形的性质得出，，设，则，，求出平行四边形的面积为，则可得出答案．
本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，三角形的面积的计算，正确地作出辅助线是解题的关键．

10.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，
点、分别是边，的中点，
，，
四边形与四边形都是平行四边形，
四边形是平行四边形，
，
若平行四边形是菱形，则，
，故正确；
若平行四边形是矩形，则，
四边形是平行四边形，
，
，故正确；
由知，若，则平行四边形是菱形，故不正确；
由知，若，平行四边形是矩形，故不正确；
综上所述，正确的是，
故选：．
易证四边形与四边形都是平行四边形，由平行四边形的性质得出，若平行四边形是菱形，则，即可得出；
若平行四边形是矩形，则，由平行四边形的性质得出，即可得出；
由知，若，则平行四边形是菱形；
由知，若，平行四边形是矩形．
本题考查了菱形的判定与性质、矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、平行线的性质等知识，熟练掌握菱形的判定与性质和矩形的判定与性质是解题的关键．

11.【答案】 

【解析】解：由题意得，，
解得．
故答案为：．
根据平行线的性质解答即可．
本题考查的是平行线的性质，熟知两条平行线之间的距离处处相等是解题的关键．

12.【答案】 

【解析】解：，分别为一元二次方程的两个实数根，
，，即，
则原式．
故答案为：．
由题意，把代入方程求出的值，再利用根与系数的关系求出的值，原式变形后代入计算即可求出值．
此题考查了根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键．

13.【答案】 

【解析】解：画树状图为：

共有种等可能的结果，其中两次摸到不同数字的结果数为，
所以两次摸到不同数字的概率．
故答案为：．
画树状图展示所有种等可能的结果，找出两次摸到不同数字的结果数，然后根据概率公式计算．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图展示所有可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式求出事件或的概率．

14.【答案】 

【解析】解：四边形是正方形，
，，
，分别为边，中点，
，，
，
，
在与中，
，
≌，
，
，
，
，
∽，
，
，
面积，
故答案为：．
根据正方形的性质和全等三角形的判定和性质得出，进而利用相似三角形的判定和性质解答即可．
此题考查正方形的性质，关键是根据正方形的性质和全等三角形的判定和性质解答．

15.【答案】或 

【解析】解：在矩形中，，，
，，
是的中点，
，
，
沿过点的直线将矩形折叠，使点落在上的点处，
，
设，则，
当是直角三角形时，
当时，
，
，
，
∽，
，
，
，
；
当时，
，
，
∽，
，
，
，
，
综上所述，当是直角三角形时，或，
故答案为：或．
根据矩形的性质得到，，根据勾股定理得到，设，则，当是直角三角形时，当时，当时，根据相似三角形的性质列出方程，解之即可得到结论．
本题考查了翻折变换折叠问题，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，正确的理解题意是解题的关键．

16.【答案】解：，
，
或，
，；
，
，
，，，
，
，
，． 

【解析】利用因式分解法求解即可；
利用公式法求解即可．
本题考查了解一元二次方程，解题的关键是学会根据方程的特征确定解方程的方法，属于中考常考题型．

17.【答案】解：如图，为所作；
如图，为所作；

的面积． 

【解析】根据关于轴对称的点的坐标得到、、的坐标，然后描点即可；
把、、的坐标都乘以得到、、的坐标，然后描点即可；
把三角形的面积转化为正方形与三个直角三角形面积之差进行计算便可．
本题考查了轴对称变换，三角形的面积，位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．

18.【答案】解：列表如下：

由表格知，共有种等可能结果，其中颜色相同的共有种结果，
所以两球颜色相同的概率为；
这个游戏不公平，
由知，小明去的概率为，则小亮去的概率为，
，
所以这个游戏不公平． 

【解析】列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可；
由知，小明去的概率为，则小亮去的概率为，继而可得答案．
本题主要考查游戏的公平性，判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平．

19.【答案】等腰三角形   

【解析】证明：四边形是平行四边形，
，
，
点是的中点，
，
在与中，，
≌，
；
是等腰三角形，
，
▱是矩形，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
是等腰三角形；
当时，四边形是菱形，
▱是菱形，
，
，
，
，
，
．
故答案为：等腰三角形，．
根据平行四边形的性质得到，得到，根据全等三角形的判定和性质即可得到结论；
根据矩形的判定定理得到▱是矩形，得到，等量代换即可得到结论；
根据菱形的性质即可得到结论．
本题考查了菱形的判定，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质定理是解题的关键．

20.【答案】解：
关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
且，
即，解得且，
的取值范围为且；
方程的一个实数根为，
，解得，
即的值为． 

【解析】由方程有两个不相等的实数根，根据根的判别式可得到关于的不等式，可求得的取值范围；
把代入方程可求得的取值，注意的范围．
本题主要考查方程根的判别式及根的定义，利用根的判别式得到关于的不等式是解题的关键．

21.【答案】解：设一次函数解析式为：，
当，；当，；
，
解得：，
与之间的函数关系式为；
由题意得：
 ，
整理得：，
解得：，，
让顾客得到更大的实惠，
，
答：商贸公司要想获利元，则这种干果每千克应降价元． 

【解析】本题考查了一元二次方程的应用、一次函数的应用；由题意列出方程组或方程是解题的关键．
设一次函数解析式为：，由题意得出：当，；当，；得出方程组，解方程组即可；
由题意得出方程 ，解方程即可．

22.【答案】解：，，
，
∽，∽，
，，
，，
，
答：路灯的高度为． 

【解析】根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．

23.【答案】   或 

【解析】解：，，，
，，
点是的中点，
，是的中位线，
，，
则 ，
故答案为：；
如图，过点作于点，作于点，


则，
，即，
，
，即，
，
∽，
，
由知，，
；
如图，过点作于点，于点，

，
四边形是矩形，
，，
，
，
，，
∽，∽，
，．
，
，
故答案为：；
，
与相似有如下两种情况：
当∽时，
则，
即，整理，得：，
；
当∽时，
则，
即，整理，得：，
；
综上，当或时，与相似，
故答案为：或．
根据三角形中位线定理可得，，即可得出答案；
过点作于点，作于点，利用同角的余角相等得，则∽，可知，由知，；
过点作于点，于点，根据∽，∽，得，则，，再代入计算得；
分∽或∽时，分别计算即可．
本题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，三角形中位线定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．