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2022-2023学年河南省洛阳市九年级（下）第三次大练习数学试卷（含解析）
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这是一份2022-2023学年河南省洛阳市九年级（下）第三次大练习数学试卷（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年河南省洛阳市九年级（下）第三次大练习数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. −12的相反数是( )
A. −12 B. 12 C. −2 D. 2
2. 如图是一个放置在水平试验台上的锥形瓶，它从上面看到的形状图为( )
A.
B.
C.
D.
3. 中国信息通信研究院测算.2020−2025年，中国5G商用带动的消费规模将超过8万亿元，直接带动经济总产出达10.6万亿元，其中数据10.6万亿用科学记数法表示为( )
A. 10.6×104 B. 1.06×1013 C. 10.6×1013 D. 1.06×108
4. 如图所示，直线a、b被c、d所截，下列条件中能说明a//b的是( )
A. ∠1=∠2
B. ∠2+∠4=180°
C. ∠3=∠4
D. ∠1+∠4=180°
5. 下列计算正确的是( )
A. x8÷x4=x4 B. x2⋅x3=x6
C. x3+x2=x5 D. (x+y)2=x2+y2
6. 下列调查中，最适合采用普查的是( )
A. 对某市居民垃圾分类意识的调查 B. 对某批汽车抗撞击能力的调查
C. 对一批节能灯管使用寿命的调查 D. 对某班学生的身高情况的调查
7. 若一元二次方程ax2+2x+1=0有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是( )
A. a<1 B. a≤1 C. a≤1且a≠0 D. a<1且a≠0
8. 如图，A，B为定点，定直线l//AB，P是l上一动点，点M，N分别为PA，PB的中点．下列各值：①线段MN的长；②△PAB的周长；③△PMN的面积；④直线MN，AB之间的离；⑤∠APB的大小．其中会随着点P的移动发生变化的值是( )
A. ②③ B. ①③④ C. ④⑤ D. ②⑤
9. 定义新运算：p⊕q=pq(q>0)−pq(q<0)，例如：2⊕3=23，2⊕(−3)=23，则y=4⊕x(x≠0)的图象是( )
A. B. C. D.
10. 如图，在平面直角坐标系中，点A1在x轴的正半轴上，B1在第一象限，且△OA1B1是等边三角形．在射线OB1上取点B2，B3，…，分别以B1B2，B2B3，…为边作等边三角形△B1A2B2，△B2A3B3，…使得A1，A2，A3，…在同一直线上，该直线交y轴于点C.若OA1=1，∠OA1C=30°，则点B9的横坐标是( )
A. 2552 B. 5112 C. 256 D. 5132
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11. 因式分解：3mx−6my=______．
12. 若点A(−3,y1)，B(−4,y2)在反比例函数y=a2+1x的图象上，则y1 ______ y2.(填“>”或“<”或“=”)
13. 某社区组织A、B、C、D小区的居民接种加强针新冠疫苗．若将这4个小区的居民随机分成两批，每批2个小区的居民接种加强针，则A、B两个小区都被分在第一批的概率是______．
14. 如图，正五边形ABCDE的边长为4，以AB为边作等边△ABF，则图中阴影部分的面积为 ．
15. 如图，在△ACB中，∠ACB=90°，∠B=30°，AB=4，CD是中线，E是边上一动点，将△DEB沿DE折叠得到△DEF，若点F(不与点C重合)在△ABC的角平分线上，则CE的长为______．
三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. (本小题10.0分)
(1)计算：|−2|+(3.14−π)0−(−13)−1；
(2)化简：(2x−1)2−(2x+3)(2x−3)．
17. (本小题9.0分)
王老师任教的(1)班和(2)班均为40人，期末数学成绩相关的统计表和统计图如下．
统计量
平均数
众数
中位数
优秀率
(1)班
79
84
76
40%
成绩均为整数，满分100分，成绩等级分为：优秀(80分及以上)，良好(70～79分)，合格(60～69分)，不合格(60分以下).(2)班中“良好”这一组学生的成绩分别是：70，71，73，73，73，74，76，77，78，79．
根据以上信息，回答下列问题：
(1)写出(2)班成绩的中位数和优秀率．
(2)成绩是76分的学生，在哪个班的名次更好些？为什么？
(3)你认为哪个班整体成绩更好，请说明理由．
18. (本小题9.0分)
已知四边形ABCD是平行四边形，AB
(2)求证：四边形ABEF是菱形．
19. (本小题9.0分)
北京冬残奥会期间，为方便中外参赛运动员的生活起居、参赛出行，组委会在无障碍设施方面做了精心的安排，让运动员在细节里感受“中国温度”.如图1是一场馆内的无障碍坡道，其示意图如图2所示，台阶的垂直高度AB的长为1.4m，缓坡BD的坡角∠DBC=6°，缓坡FD的坡角∠EDF=8°，平台AF的长为2m，求BC的长．(结果精确到0.1m)(参考数据：sin6°≈0.10，cos6°≈0.99，tan6°≈0.11，sin8°≈0.14，cos8°≈0.99，tan8°≈0.14)
20. (本小题9.0分)
3月12日是植树节，某学校开展植树活动.学校用6000元购买了A，B两种树苗共150棵.已知一棵B种树苗是一棵A种树苗价格的2倍，且购买A种树苗与购买B种树苗费用相同．
(1)求购买一棵A种树苗、一棵B种树苗各需多少元？
(2)若学校还需购买A，B两种树苗共90棵，且A种树苗的棵数不多于B种树苗棵数的2倍，问至少要花多少钱？
21. (本小题9.0分)
如图，AB是⊙O的直径，E为AB延长线上一点，EC切⊙O于C，AD⊥CE于点D．
(1)求证：∠DAC=∠EAC；
(2)如果BE=2，CE=4，求线段AD的长．
22. (本小题10.0分)
小明家所在小区要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管的顶端安一个喷水头，喷出的水流在各个方向上沿形状相同的抛物线的路径落下，记水流与池中心水管的水平距离为x米，距地面的高度为y米，测量得到如下数值：
x/m
0
4
1
1.5
2
2.5
3
y/m
2.5
3.3
3.9
3.85
3.3
2.25
7
小明根据学习函数的经验，发现y是x的函数，并对y随x的变化而变化的情况进行了探究．
(1)首先通过描点法画出该函数的图象，结合函数图象发现，水管出水口距地面的高度OC为 m，可得到y关于x表达式为 ，水流达到最高点时与池中心水管的水平距离为 m；
(2)如图，考虑到小区的喷水池面积有限，现只降低水管出水口距离地面的高度OC，使水流落地点与水管的距离OA缩短为3m，请求出降低后的水管高度是多少？
23. (本小题10.0分)
在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D是直线AB上的一动点(不与点A，B重合)连接CD，在CD的右侧以CD为斜边作等腰直角三角形CDE，点H是BD的中点，连接EH．
【问题发现】
(1)如图(1)，当点D是AB的中点时，线段EH与AD的数量关系是______.EH与AD的位置关系是______．
【猜想论证】
(2)如图(2)，当点D在边AB上且不是AB的中点时，(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请仅就图(2)中的情况给出证明；若不成立，请说明理由．
【拓展应用】
(3)若AC=BC=2 2，其他条件不变，连接AE、BE.当△BCE是等边三角形时，请直接写出△ADE的面积．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：−12的相反数是12，
故选：B．
根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案．
本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．
2.【答案】D
【解析】解：根据题意得：从上面看到的形状图为：
故选：D．
俯视图是从物体的上面看，所得到的图形，据此解答即可．
本题主要考查了简单几何体的三视图，根据题意得到从上面看到的形状图是解题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：10.6万亿=10600000000000=1.06×1013．
故选：B．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要确定a的值以及n的值．
4.【答案】C
【解析】解：∵∠3=∠4，
∴a//b(同位角相等，两直线平行)，
故选：C．
根据平行线的判定定理求解即可．
此题考查了平行线的判定，熟记“同位角相等，两直线平行”是解题的关键．
5.【答案】A
【解析】解：A.x8÷x4=x4，故本选项符合题意；
B.x2⋅x3=x5，故本选项不符合题意；
C.x3与x2不是同类项，所以不能合并，故本选项不符合题意；
D.(x+y)2=x2+2xy+y2，故本选项不符合题意；
故选：A．
分别根据同底数幂的除法法则，同底数幂的乘法法则，合并同类项法则以及完全平方公式逐一判断即可．
本题考查了同底数幂的乘除法，合并同类项以及完全平方公式，掌握相关公式与运算法则是解答本题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：A.对某市居民垃圾分类意识的调查，普查工作量大，适合抽样调查，故本选项不合题意；
B.对某批汽车抗撞击能力的调查，具有破坏性，适合抽样调查，故本选项不合题意；
C.对一批节能灯管使用寿命的调查，具有破坏性，适合抽样调查，故本选项不合题意；
D.对某班学生的身高情况的调查，范围较小，适于全面调查，故本选项符合题意．
故选：D．
适合全面调查的方式一般有以下几种：①范围较小；②精确度高；③不具有破坏性；④可操作性较强，其他适用抽样调查，结合题中所给的事例，运用抽样调查与全面调查的适用范围即可求解．
本题考查抽样调查与全面调查，正确理解抽样调查与全面调查的适用范围是解题关键．
7.【答案】D
【解析】解：∵一元二次方程ax2+2x+1=0有两个不相等的实数根，
∴a≠0，Δ=22−4×a×1=4−4a>0，
解得：a<1，且a≠0．
故选：D．
由一元二次方程ax2+2x+1=0有两个不相等的实数根，即可得判别式Δ>0，a≠0，继而可求得a的范围．
此题考查了一元二次方程判别式的知识．此题比较简单，注意掌握一元二次方程有两个不相等的实数根，即可得Δ>0．
8.【答案】D
【解析】解：∵点A，B为定点，点M，N分别为PA，PB的中点，
∴MN是△PAB的中位线，
∴MN=12AB，
即线段MN的长度不变，故①错误；
PA、PB的长度随点P的移动而变化，
所以，△PAB的周长会随点P的移动而变化，故②正确；
∵MN的长度不变，点P到MN的距离等于l与AB的距离的一半，
∴△PMN的面积不变，故③错误；
直线MN，AB之间的距离不随点P的移动而变化，故④错误；
∠APB的大小点P的移动而变化，故⑤正确．
综上所述，会随点P的移动而变化的是②⑤．
故选：D．
根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得MN=12AB，从而判断出①不变；再根据三角形的周长的定义判断出②是变化的；确定出点P到MN的距离不变，然后根据等底等高的三角形的面积相等确定出③不变；根据平行线间的距离相等判断出④不变；根据角的定义判断出⑤变化．
本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，等底等高的三角形的面积相等，平行线间的距离的定义，熟记定理是解题的关键．
9.【答案】D
【解析】解：∵p⊕q=pq(q>0)−pq(q<0)，
∴y=4⊕x=4x(x>0)−4x(x<0)，
故选：D．
根据题目中的新定义，可以写出y=4⊕x函数解析式，从而可以得到相应的函数图象，本题得以解决．
本题考查函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．
10.【答案】B
【解析】根据题意求出点B1，B2，B3的坐标，然后找出B点坐标的变化规律，把Bn的坐标用含n的式子表示出来，取n=9，即可求出B9的横坐标．
解：∵△OA1B1是等边三角形，OA1=1，
∴B1的横坐标为12，OA1=OB1，
设B1(12,y)，则(12)2+y2=12，
解答y= 32或y=− 32(舍)，
∴B1(12, 32)，
∴OB1所在的直线的解析式为y= 3x，
∵OA1=1，∠OA1C=30°，△OA1B1是等边三角形，
∴∠B1A1C=90°，
∵∠O1BA1=∠B1B2A2=60°，
∴B1A1//B2A2，
∴∠B1A1C=∠B2A2A1=90°，
∴∠B1A2A1=30°，
∴B1A2=2A1B1=2，
∴B2的横坐标为32，
∴y= 3x=3 32，
∴B2(32,3 32)，
同理：B3 (72,7 32)，
B4 (152,15 32)，
总结规律：
B1 的横坐标为12，
B2 的横坐标为12+1=32，
B3 的横坐标为12+1+2=72，
B4 的横坐标为12+1+2+4=152，
...，
∴点B9的横坐标是12+1+2+4+8+16+32+64=5112．
故选：B．
本题考查了点的坐标规律，等边三角形的性质，解决本题的关键是根据等边三角形的性质得到点B2的横坐标为32．
11.【答案】3m(x−2y)
【解析】解：原式=3m(x−2y)．
故答案为：3m(x−2y)．
直接提取公因式3m，进而分解因式即可．
此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
12.【答案】<
【解析】解：∵k=a2+1>0，
∴反比例函数y=a2+1x的图象在一、三象限，且在每个象限内y随x的增大而减小，
∵点A(−3,y1)，B(−4,y2)同在第三象限，且−3>−4，
∴y1
反比例函数y=a2+1x的图象在一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，判断出y的值的大小关系．
本题考查反比例函数的图象和性质，掌握反比例函数的增减性是解决问题的关键．
13.【答案】16
【解析】解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中A、B两个小区都被分在第一批的结果有2种，即AB、BA，
∴A、B两个小区都被分在第一批的概率为212=16，
故答案为：16．
画树状图，共有12种等可能的结果，其中A、B两个小区都被分在第一批的结果有2种，再由概率公式求解即可．
此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
14.【答案】3215π
【解析】解：在正五边形ABCDE中，∠EAB=(5−2)×180°5=108°，
∵△ABF是等边三角形，
∴∠FAB=60°，
∴∠EAF=48°，
∴S阴影=48×42π360=32π15，
故答案为：32π15．
首先求得正五边形的内角的度数，然后求得扇形的圆心角的度数，利用扇形的面积公式求得阴影部分的面积即可．
本题考查了正多边形和圆的知识，掌握多边形的内角和公式，扇形的面积公式是解题的关键．
15.【答案】2 33或2( 3−1)
【解析】解：如图1，当F点在∠CAB的角平分线上时，
∵∠B=30°，
∴∠CAB=60°，
∴∠BAF=30°，
由折叠可知，∠B=∠DFE=30°，BE=EF，
∵∠FAD=∠DFA=30°，
∴∠BDF=60°，
∴DF//AC，
∴DH⊥BC，
∴H是BC的中点，
∵AB=4，
∴AC=2，BC=2 3，
∴BH= 3，
∵D是AB的中点，
∴HD=1，
在Rt△EFH中，HE=12EF，
∴HE= 33，
∴CE= 33+ 3=4 33；
如图2，当F点在∠ABC的角平分线上时，
由折叠知，BD=BE，
∵∠DBF=∠FBE，
∴△DBF≌△EBF(SAS)，
∴EF=FE，
∵EB=EF，
∴BD=DF=EF=BE，
∵BD=AD=2，
∴BE=2，
∵BC=2 3，
∴CE=2 3−2；
综上所述：CE的长为4 33或2( 3−1)，
故答案为：4 33或2( 3−1)．
分两种情况讨论：当F点在∠CAB的角平分线上时，求出CE=4 33；当F点在∠ABC的角平分线上时，求出CE=2( 3−1)．
本题考查图形的折叠，熟练掌握图形翻折的性质，直角三角形的性质，分类讨论，数形结合是解题的关键．
16.【答案】解：(1)原式=2+1+3
=6；
(2)原式=4x2−4x+1−(4x2−9)
=4x2−4x+1−4x2+9
=10−4x．
【解析】(1)根据绝对值的定义、零指数幂的意义以及负整数指数幂的运算法则即可求出答案．
(2)根据完全平方公式以及平方差公式即可求出答案．
此题考查了实数的运算和整式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
17.【答案】解：(1)(2)班成绩的中位数是第20、21个数据的平均数，而第20、21个数据分别为71、73，
所以其中位数为71+732=72，优秀率为9+340×100%=30%；
(2)成绩为76分的学生在(2)班的名次更好，
∵(1)班成绩的中位数是76，(2)班成绩的中位数是72，
∴成绩为76分的学生在(2)班的名次更好；
(3)(1)班，
因为(1)班成绩的中位数和优秀率均高于(2)班．
【解析】(1)根据中位数的定义和优秀率的概念求解即可；
(2)根据中位数的意义求解即可；
(3)比较中位数和优秀率大小即可得出答案．
本题主要考查频数分布表、频数分布直方图，中位数及众数，解题的关键是根据表格、频数分布直方图得出解题所需数据及中位数的定义和意义的运用．
18.【答案】(1)解：如图，EF为所作；
(2)证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠FAE=∠BEA，
∵AE平分∠BAF，
∴∠BAE=∠FAE，
∴∠BAE=∠BEA，
∴BA=BE，
∵AB=AF，
∴AF=BE，
而AF//BE，
∴四边形ABEF为平行四边形，
∵AB=AF，
∴四边形ABEF是菱形．
【解析】(1)根据几何语言画出对应的几何图形；
(2)先证明BE=BA，则利用AF=BE，AF//BE可判断四边形ABEF为平行四边形，然后加上邻边相等可判断四边形ABEF是菱形．
本题考查了作图−复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行四边形的性质和菱形的判定．
19.【答案】
解：作FM⊥BC于点M，延长DE交FM于点N，设BC=x m，则CM=DN=x−2，
在Rt△BCD中，tan∠CBD=CDBC，
∴tan6°=CDx，
∴CD=x⋅tan6°=0.11x，
∴MN=CD=0.11x，
∴FN=1.4−0.11x，
在Rt△DFN中，tan∠FDN=FNDN，
∴tan8°=1.4−0.11xx−2≈0.14，
解得x≈6.7．
答：BC的长约为6.7米．
【解析】作FM⊥BC于点M，延长DE交FM于点N，设BC=x m，则CM=DN=x−2，在Rt△BCD和Rt△DFN中，根据坡角的正切得到x的方程，解方程可以求出答案．
本题考查解直角三角形的应用−坡度坡角问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
20.【答案】解：(1)设购买一棵A种树苗需要x元，则购买一棵B种树苗需要2x元，
依题意得：3000x+30002x=150，
解得：x=30，
经检验，x=30是原方程的解，且符合题意，
∴2x=2×30=60．
答：购买一棵B种树苗需要60元，购买一棵A种树苗需要30元．
(2)设购买A种树苗m棵，则购买B种树苗(90−m)棵，
依题意得：m≤2(90−m)，
解得：m≤60．
设购买两种树苗80棵所需总费用为w元，则w=30m+60(90−m)=−30m+5400．
∵−30<0，
∴w随m的增大而减小，
又∵m≤60，且m为正整数，
∴当m60时，w取得最小值，最小值=−30×60+5400=3600．
答：至少要花3600元钱．
【解析】(1)设购买一棵A种树苗需要x元，则购买一棵B种树苗需要2x元，利用数量=总价÷单价，结合两种树苗共购买了150棵，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出购买一棵A种树苗所需费用，再将其代入2x中即可求出购买一棵B种树苗所需费用；
(2)设购买A种树苗m棵，则购买B种树苗(80−m)棵，根据购买A种树苗的棵数不多于B种树苗棵数的2倍，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，设购买两种树苗80棵所需总费用为w元，利用总价=单价×数量，即可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式．
21.【答案】(1)证明：连接OC，如图，
∵EC切⊙O于C，
∴OC⊥DE，
∵AD⊥CE，
∴OC//AD，
∴∠DAC=∠OCA，
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠EAC，
∴∠DAC=∠EAC；
(2)解：设⊙O的半径为r，则OC=OB=r，
在Rt△OCE中，r2+42=(r+2)2，
解得r=3，
∴OC=OB=3，
∵OC//AD，
∴△ECO∽△EDA，
∴OCAD=EOEA，即3AD=55+3，
∴AD=245．
【解析】(1)连接OC，如图，根据切线的性质得到OC⊥DE，再证明OC//AD得到∠DAC=∠OCA，加上∠OCA=∠EAC，从而得到∠DAC=∠EAC；
(2)设⊙O的半径为r，利用勾股定理得到r2+42=(r+2)2，解方程得到OC=OB=3，然后证明△ECO∽△EDA，则利用相似比可计算出AD的长．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理．
22.【答案】2.5 y=−x2+2.4x+2.5 1.2
【解析】解：(1)∵记水流与池中心水管的水平距离为x米，距地面的高度为y米，当x=0时，y=2.5，
∴水管出水口距地面的高度OC为2.5m；
设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，将(0,2.5)，(1,3.9)，(2,3.3)代入得：
c=2.5a+b+c=3.94a+2b+c=3.3，
解得：a=−1b=2.4c=2.5，
∴y关于x的函数表达式为y=−x2+2.4x+2.5；
∵y=−x2+2.4x+2.5=−(x−1.2)2+3.94，
∴该抛物线的顶点坐标为(1.2,3.94)，
∴水流达到最高点时与池中心水管的水平距离为1.2m．
故答案为：2.5；y=−x2+2.4x+2.5；1.2；
(2)∵只降低水管出水口距离地面的高度OC，
∴设降低水管出水口距离的抛物线的解析式为y=−x2+2.4x+m，
∵水流落地点与水管的距离OA缩短为3m，
∴抛物线y=−x2+2.4x+m经过(3,0)，
∴−32+2.4×3+m=0，
∴m=1.8，
∴降低水管出水口距离的抛物线的解析式为y=−x2+2.4x+1.8，
令x=0，则y=1.8，
∴降低后的水管高度为1.8米．
(1)观察表格数据可知：当x=0时的y值即为水管出水口距地面的高度OC；利用待定系数法即可求得y关于x的函数表达式；利用配方法和二次函数的性质解答即可求得水流达到最高点时与池中心水管的水平距离；
(2)由题意设出新的抛物线的解析式为y=−x2+2.4x+m，利用该抛物线经过(3,0)求得m值，则结论可得．
本题主要考查了二次函数的应用，待定系数法，抛物线上点的坐标的特征，利用待定系数法和数形结合法解答是解题的关键．
23.【答案】(1)EH=12AD， EH⊥AB；
(2)结论仍然成立：
理由：如图2中，延长DE到F，使得EF=DE，连接CF，BF．
∵DE=EF.CE⊥DF，
∴CD=CF，
∴∠CDF=∠CFD=45°，
∴∠ECF=∠ECD=45°，
∴∠ACB=∠DCF=90°，
∴∠ACD=∠BCF，
∵CA=CB，
∴△ACD≌△BCF(SAS)，
∴AD=BF，∠A=∠CBF=45°，
∵∠ABC=45°，
∴∠ABF=90°，
∴BF⊥AB，
∵DE=EF，DH=HB，
∴EH=12BF，EH//BF，
∴EH⊥AD，EH=12AD．
(3)如图3−1中，当△BCE是等边三角形时，过点E作EH⊥BD于H．
∵∠ACB=90°，∠ECB=60°，
∴∠ACE=30°，
∵AC=CB=CE=EB=DE=2 2，
∴∠CAE=∠CEA=75°，
∵∠CAB=45°，
∴∠EAH=30°，
∵∠DEC=90°，∠CEB=60°，
∴∠DEB=150°，
∴∠EDB=∠EBD=15°，
∵∠EAH=∠ADE+∠AED，
∴∠ADE=∠AED=15°，
∴AD=AE，设EH=x，则AD=AE=2x，AH= 3x，
∵EH2+DH2=DE2，
∴x2+(2x+ 3x)2=8，
∴x= 3−1，
∴AD=2 3−2，
∴S△ADE=12⋅AD⋅EH=12×(2 3−2)⋅( 3−1)=4−2 3．
如图3−2中，当△BCE是等边三角形时，过点E作EH⊥BD于H．
同法可求：EH= 3+1，AD=2 3+2，
∴S△ADE=12⋅AD⋅EH=12×(2 3+2)( 3+1)=4+2 3，
综上所述，满足条件的△ADE的面积为4−2 3或4+2 3．
【解析】解：(1)如图1中，
∵CA=CB，∠ACB=90°，AD=BD，
∴CD⊥AB，CD=AD=DB，
∴∠A=∠B=45°，∠DCB=∠ACD=45°，
∵∠DCE=45°，
∴点E在线段CB上，
∵DE⊥BC，
∴∠EDB=∠B=45°，
∵DH=HB，
∴EH⊥DB，EH=12DB=12AD，
故答案为EH=12AD，EH⊥AD．
(2)(3)见答案．
(1)利用等腰直角三角形的判定和性质解决问题即可．
(2)结论仍然成立：如图2中，延长DE到F，使得EF=DE，连接CF，BF.证明△ACD≌△BCF(SAS)，再利用三角形的中位线定理即可解决问题．
(3)分两种情形：如图3−1中，当△BCE是等边三角形时，过点E作EH⊥BD于H.如图3−2中，当△BCE是等边三角形时，过点E作EH⊥BD于H.分别求出AD，EH即可解决问题．
本题属于四边形综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
2022-2023学年河南省洛阳市九年级（下）第三次大练习数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. −12的相反数是( )
A. −12 B. 12 C. −2 D. 2
2. 如图是一个放置在水平试验台上的锥形瓶，它从上面看到的形状图为( )
A.
B.
C.
D.
3. 中国信息通信研究院测算.2020−2025年，中国5G商用带动的消费规模将超过8万亿元，直接带动经济总产出达10.6万亿元，其中数据10.6万亿用科学记数法表示为( )
A. 10.6×104 B. 1.06×1013 C. 10.6×1013 D. 1.06×108
4. 如图所示，直线a、b被c、d所截，下列条件中能说明a//b的是( )
A. ∠1=∠2
B. ∠2+∠4=180°
C. ∠3=∠4
D. ∠1+∠4=180°
5. 下列计算正确的是( )
A. x8÷x4=x4 B. x2⋅x3=x6
C. x3+x2=x5 D. (x+y)2=x2+y2
6. 下列调查中，最适合采用普查的是( )
A. 对某市居民垃圾分类意识的调查 B. 对某批汽车抗撞击能力的调查
C. 对一批节能灯管使用寿命的调查 D. 对某班学生的身高情况的调查
7. 若一元二次方程ax2+2x+1=0有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是( )
A. a<1 B. a≤1 C. a≤1且a≠0 D. a<1且a≠0
8. 如图，A，B为定点，定直线l//AB，P是l上一动点，点M，N分别为PA，PB的中点．下列各值：①线段MN的长；②△PAB的周长；③△PMN的面积；④直线MN，AB之间的离；⑤∠APB的大小．其中会随着点P的移动发生变化的值是( )
A. ②③ B. ①③④ C. ④⑤ D. ②⑤
9. 定义新运算：p⊕q=pq(q>0)−pq(q<0)，例如：2⊕3=23，2⊕(−3)=23，则y=4⊕x(x≠0)的图象是( )
A. B. C. D.
10. 如图，在平面直角坐标系中，点A1在x轴的正半轴上，B1在第一象限，且△OA1B1是等边三角形．在射线OB1上取点B2，B3，…，分别以B1B2，B2B3，…为边作等边三角形△B1A2B2，△B2A3B3，…使得A1，A2，A3，…在同一直线上，该直线交y轴于点C.若OA1=1，∠OA1C=30°，则点B9的横坐标是( )
A. 2552 B. 5112 C. 256 D. 5132
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11. 因式分解：3mx−6my=______．
12. 若点A(−3,y1)，B(−4,y2)在反比例函数y=a2+1x的图象上，则y1 ______ y2.(填“>”或“<”或“=”)
13. 某社区组织A、B、C、D小区的居民接种加强针新冠疫苗．若将这4个小区的居民随机分成两批，每批2个小区的居民接种加强针，则A、B两个小区都被分在第一批的概率是______．
14. 如图，正五边形ABCDE的边长为4，以AB为边作等边△ABF，则图中阴影部分的面积为 ．
15. 如图，在△ACB中，∠ACB=90°，∠B=30°，AB=4，CD是中线，E是边上一动点，将△DEB沿DE折叠得到△DEF，若点F(不与点C重合)在△ABC的角平分线上，则CE的长为______．
三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. (本小题10.0分)
(1)计算：|−2|+(3.14−π)0−(−13)−1；
(2)化简：(2x−1)2−(2x+3)(2x−3)．
17. (本小题9.0分)
王老师任教的(1)班和(2)班均为40人，期末数学成绩相关的统计表和统计图如下．
统计量
平均数
众数
中位数
优秀率
(1)班
79
84
76
40%
成绩均为整数，满分100分，成绩等级分为：优秀(80分及以上)，良好(70～79分)，合格(60～69分)，不合格(60分以下).(2)班中“良好”这一组学生的成绩分别是：70，71，73，73，73，74，76，77，78，79．
根据以上信息，回答下列问题：
(1)写出(2)班成绩的中位数和优秀率．
(2)成绩是76分的学生，在哪个班的名次更好些？为什么？
(3)你认为哪个班整体成绩更好，请说明理由．
18. (本小题9.0分)
已知四边形ABCD是平行四边形，AB
(2)求证：四边形ABEF是菱形．
19. (本小题9.0分)
北京冬残奥会期间，为方便中外参赛运动员的生活起居、参赛出行，组委会在无障碍设施方面做了精心的安排，让运动员在细节里感受“中国温度”.如图1是一场馆内的无障碍坡道，其示意图如图2所示，台阶的垂直高度AB的长为1.4m，缓坡BD的坡角∠DBC=6°，缓坡FD的坡角∠EDF=8°，平台AF的长为2m，求BC的长．(结果精确到0.1m)(参考数据：sin6°≈0.10，cos6°≈0.99，tan6°≈0.11，sin8°≈0.14，cos8°≈0.99，tan8°≈0.14)
20. (本小题9.0分)
3月12日是植树节，某学校开展植树活动.学校用6000元购买了A，B两种树苗共150棵.已知一棵B种树苗是一棵A种树苗价格的2倍，且购买A种树苗与购买B种树苗费用相同．
(1)求购买一棵A种树苗、一棵B种树苗各需多少元？
(2)若学校还需购买A，B两种树苗共90棵，且A种树苗的棵数不多于B种树苗棵数的2倍，问至少要花多少钱？
21. (本小题9.0分)
如图，AB是⊙O的直径，E为AB延长线上一点，EC切⊙O于C，AD⊥CE于点D．
(1)求证：∠DAC=∠EAC；
(2)如果BE=2，CE=4，求线段AD的长．
22. (本小题10.0分)
小明家所在小区要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管的顶端安一个喷水头，喷出的水流在各个方向上沿形状相同的抛物线的路径落下，记水流与池中心水管的水平距离为x米，距地面的高度为y米，测量得到如下数值：
x/m
0
4
1
1.5
2
2.5
3
y/m
2.5
3.3
3.9
3.85
3.3
2.25
7
小明根据学习函数的经验，发现y是x的函数，并对y随x的变化而变化的情况进行了探究．
(1)首先通过描点法画出该函数的图象，结合函数图象发现，水管出水口距地面的高度OC为 m，可得到y关于x表达式为 ，水流达到最高点时与池中心水管的水平距离为 m；
(2)如图，考虑到小区的喷水池面积有限，现只降低水管出水口距离地面的高度OC，使水流落地点与水管的距离OA缩短为3m，请求出降低后的水管高度是多少？
23. (本小题10.0分)
在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D是直线AB上的一动点(不与点A，B重合)连接CD，在CD的右侧以CD为斜边作等腰直角三角形CDE，点H是BD的中点，连接EH．
【问题发现】
(1)如图(1)，当点D是AB的中点时，线段EH与AD的数量关系是______.EH与AD的位置关系是______．
【猜想论证】
(2)如图(2)，当点D在边AB上且不是AB的中点时，(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请仅就图(2)中的情况给出证明；若不成立，请说明理由．
【拓展应用】
(3)若AC=BC=2 2，其他条件不变，连接AE、BE.当△BCE是等边三角形时，请直接写出△ADE的面积．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：−12的相反数是12，
故选：B．
根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案．
本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．
2.【答案】D
【解析】解：根据题意得：从上面看到的形状图为：
故选：D．
俯视图是从物体的上面看，所得到的图形，据此解答即可．
本题主要考查了简单几何体的三视图，根据题意得到从上面看到的形状图是解题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：10.6万亿=10600000000000=1.06×1013．
故选：B．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要确定a的值以及n的值．
4.【答案】C
【解析】解：∵∠3=∠4，
∴a//b(同位角相等，两直线平行)，
故选：C．
根据平行线的判定定理求解即可．
此题考查了平行线的判定，熟记“同位角相等，两直线平行”是解题的关键．
5.【答案】A
【解析】解：A.x8÷x4=x4，故本选项符合题意；
B.x2⋅x3=x5，故本选项不符合题意；
C.x3与x2不是同类项，所以不能合并，故本选项不符合题意；
D.(x+y)2=x2+2xy+y2，故本选项不符合题意；
故选：A．
分别根据同底数幂的除法法则，同底数幂的乘法法则，合并同类项法则以及完全平方公式逐一判断即可．
本题考查了同底数幂的乘除法，合并同类项以及完全平方公式，掌握相关公式与运算法则是解答本题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：A.对某市居民垃圾分类意识的调查，普查工作量大，适合抽样调查，故本选项不合题意；
B.对某批汽车抗撞击能力的调查，具有破坏性，适合抽样调查，故本选项不合题意；
C.对一批节能灯管使用寿命的调查，具有破坏性，适合抽样调查，故本选项不合题意；
D.对某班学生的身高情况的调查，范围较小，适于全面调查，故本选项符合题意．
故选：D．
适合全面调查的方式一般有以下几种：①范围较小；②精确度高；③不具有破坏性；④可操作性较强，其他适用抽样调查，结合题中所给的事例，运用抽样调查与全面调查的适用范围即可求解．
本题考查抽样调查与全面调查，正确理解抽样调查与全面调查的适用范围是解题关键．
7.【答案】D
【解析】解：∵一元二次方程ax2+2x+1=0有两个不相等的实数根，
∴a≠0，Δ=22−4×a×1=4−4a>0，
解得：a<1，且a≠0．
故选：D．
由一元二次方程ax2+2x+1=0有两个不相等的实数根，即可得判别式Δ>0，a≠0，继而可求得a的范围．
此题考查了一元二次方程判别式的知识．此题比较简单，注意掌握一元二次方程有两个不相等的实数根，即可得Δ>0．
8.【答案】D
【解析】解：∵点A，B为定点，点M，N分别为PA，PB的中点，
∴MN是△PAB的中位线，
∴MN=12AB，
即线段MN的长度不变，故①错误；
PA、PB的长度随点P的移动而变化，
所以，△PAB的周长会随点P的移动而变化，故②正确；
∵MN的长度不变，点P到MN的距离等于l与AB的距离的一半，
∴△PMN的面积不变，故③错误；
直线MN，AB之间的距离不随点P的移动而变化，故④错误；
∠APB的大小点P的移动而变化，故⑤正确．
综上所述，会随点P的移动而变化的是②⑤．
故选：D．
根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得MN=12AB，从而判断出①不变；再根据三角形的周长的定义判断出②是变化的；确定出点P到MN的距离不变，然后根据等底等高的三角形的面积相等确定出③不变；根据平行线间的距离相等判断出④不变；根据角的定义判断出⑤变化．
本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，等底等高的三角形的面积相等，平行线间的距离的定义，熟记定理是解题的关键．
9.【答案】D
【解析】解：∵p⊕q=pq(q>0)−pq(q<0)，
∴y=4⊕x=4x(x>0)−4x(x<0)，
故选：D．
根据题目中的新定义，可以写出y=4⊕x函数解析式，从而可以得到相应的函数图象，本题得以解决．
本题考查函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．
10.【答案】B
【解析】根据题意求出点B1，B2，B3的坐标，然后找出B点坐标的变化规律，把Bn的坐标用含n的式子表示出来，取n=9，即可求出B9的横坐标．
解：∵△OA1B1是等边三角形，OA1=1，
∴B1的横坐标为12，OA1=OB1，
设B1(12,y)，则(12)2+y2=12，
解答y= 32或y=− 32(舍)，
∴B1(12, 32)，
∴OB1所在的直线的解析式为y= 3x，
∵OA1=1，∠OA1C=30°，△OA1B1是等边三角形，
∴∠B1A1C=90°，
∵∠O1BA1=∠B1B2A2=60°，
∴B1A1//B2A2，
∴∠B1A1C=∠B2A2A1=90°，
∴∠B1A2A1=30°，
∴B1A2=2A1B1=2，
∴B2的横坐标为32，
∴y= 3x=3 32，
∴B2(32,3 32)，
同理：B3 (72,7 32)，
B4 (152,15 32)，
总结规律：
B1 的横坐标为12，
B2 的横坐标为12+1=32，
B3 的横坐标为12+1+2=72，
B4 的横坐标为12+1+2+4=152，
...，
∴点B9的横坐标是12+1+2+4+8+16+32+64=5112．
故选：B．
本题考查了点的坐标规律，等边三角形的性质，解决本题的关键是根据等边三角形的性质得到点B2的横坐标为32．
11.【答案】3m(x−2y)
【解析】解：原式=3m(x−2y)．
故答案为：3m(x−2y)．
直接提取公因式3m，进而分解因式即可．
此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
12.【答案】<
【解析】解：∵k=a2+1>0，
∴反比例函数y=a2+1x的图象在一、三象限，且在每个象限内y随x的增大而减小，
∵点A(−3,y1)，B(−4,y2)同在第三象限，且−3>−4，
∴y1
反比例函数y=a2+1x的图象在一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，判断出y的值的大小关系．
本题考查反比例函数的图象和性质，掌握反比例函数的增减性是解决问题的关键．
13.【答案】16
【解析】解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中A、B两个小区都被分在第一批的结果有2种，即AB、BA，
∴A、B两个小区都被分在第一批的概率为212=16，
故答案为：16．
画树状图，共有12种等可能的结果，其中A、B两个小区都被分在第一批的结果有2种，再由概率公式求解即可．
此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
14.【答案】3215π
【解析】解：在正五边形ABCDE中，∠EAB=(5−2)×180°5=108°，
∵△ABF是等边三角形，
∴∠FAB=60°，
∴∠EAF=48°，
∴S阴影=48×42π360=32π15，
故答案为：32π15．
首先求得正五边形的内角的度数，然后求得扇形的圆心角的度数，利用扇形的面积公式求得阴影部分的面积即可．
本题考查了正多边形和圆的知识，掌握多边形的内角和公式，扇形的面积公式是解题的关键．
15.【答案】2 33或2( 3−1)
【解析】解：如图1，当F点在∠CAB的角平分线上时，
∵∠B=30°，
∴∠CAB=60°，
∴∠BAF=30°，
由折叠可知，∠B=∠DFE=30°，BE=EF，
∵∠FAD=∠DFA=30°，
∴∠BDF=60°，
∴DF//AC，
∴DH⊥BC，
∴H是BC的中点，
∵AB=4，
∴AC=2，BC=2 3，
∴BH= 3，
∵D是AB的中点，
∴HD=1，
在Rt△EFH中，HE=12EF，
∴HE= 33，
∴CE= 33+ 3=4 33；
如图2，当F点在∠ABC的角平分线上时，
由折叠知，BD=BE，
∵∠DBF=∠FBE，
∴△DBF≌△EBF(SAS)，
∴EF=FE，
∵EB=EF，
∴BD=DF=EF=BE，
∵BD=AD=2，
∴BE=2，
∵BC=2 3，
∴CE=2 3−2；
综上所述：CE的长为4 33或2( 3−1)，
故答案为：4 33或2( 3−1)．
分两种情况讨论：当F点在∠CAB的角平分线上时，求出CE=4 33；当F点在∠ABC的角平分线上时，求出CE=2( 3−1)．
本题考查图形的折叠，熟练掌握图形翻折的性质，直角三角形的性质，分类讨论，数形结合是解题的关键．
16.【答案】解：(1)原式=2+1+3
=6；
(2)原式=4x2−4x+1−(4x2−9)
=4x2−4x+1−4x2+9
=10−4x．
【解析】(1)根据绝对值的定义、零指数幂的意义以及负整数指数幂的运算法则即可求出答案．
(2)根据完全平方公式以及平方差公式即可求出答案．
此题考查了实数的运算和整式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
17.【答案】解：(1)(2)班成绩的中位数是第20、21个数据的平均数，而第20、21个数据分别为71、73，
所以其中位数为71+732=72，优秀率为9+340×100%=30%；
(2)成绩为76分的学生在(2)班的名次更好，
∵(1)班成绩的中位数是76，(2)班成绩的中位数是72，
∴成绩为76分的学生在(2)班的名次更好；
(3)(1)班，
因为(1)班成绩的中位数和优秀率均高于(2)班．
【解析】(1)根据中位数的定义和优秀率的概念求解即可；
(2)根据中位数的意义求解即可；
(3)比较中位数和优秀率大小即可得出答案．
本题主要考查频数分布表、频数分布直方图，中位数及众数，解题的关键是根据表格、频数分布直方图得出解题所需数据及中位数的定义和意义的运用．
18.【答案】(1)解：如图，EF为所作；
(2)证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠FAE=∠BEA，
∵AE平分∠BAF，
∴∠BAE=∠FAE，
∴∠BAE=∠BEA，
∴BA=BE，
∵AB=AF，
∴AF=BE，
而AF//BE，
∴四边形ABEF为平行四边形，
∵AB=AF，
∴四边形ABEF是菱形．
【解析】(1)根据几何语言画出对应的几何图形；
(2)先证明BE=BA，则利用AF=BE，AF//BE可判断四边形ABEF为平行四边形，然后加上邻边相等可判断四边形ABEF是菱形．
本题考查了作图−复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行四边形的性质和菱形的判定．
19.【答案】
解：作FM⊥BC于点M，延长DE交FM于点N，设BC=x m，则CM=DN=x−2，
在Rt△BCD中，tan∠CBD=CDBC，
∴tan6°=CDx，
∴CD=x⋅tan6°=0.11x，
∴MN=CD=0.11x，
∴FN=1.4−0.11x，
在Rt△DFN中，tan∠FDN=FNDN，
∴tan8°=1.4−0.11xx−2≈0.14，
解得x≈6.7．
答：BC的长约为6.7米．
【解析】作FM⊥BC于点M，延长DE交FM于点N，设BC=x m，则CM=DN=x−2，在Rt△BCD和Rt△DFN中，根据坡角的正切得到x的方程，解方程可以求出答案．
本题考查解直角三角形的应用−坡度坡角问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
20.【答案】解：(1)设购买一棵A种树苗需要x元，则购买一棵B种树苗需要2x元，
依题意得：3000x+30002x=150，
解得：x=30，
经检验，x=30是原方程的解，且符合题意，
∴2x=2×30=60．
答：购买一棵B种树苗需要60元，购买一棵A种树苗需要30元．
(2)设购买A种树苗m棵，则购买B种树苗(90−m)棵，
依题意得：m≤2(90−m)，
解得：m≤60．
设购买两种树苗80棵所需总费用为w元，则w=30m+60(90−m)=−30m+5400．
∵−30<0，
∴w随m的增大而减小，
又∵m≤60，且m为正整数，
∴当m60时，w取得最小值，最小值=−30×60+5400=3600．
答：至少要花3600元钱．
【解析】(1)设购买一棵A种树苗需要x元，则购买一棵B种树苗需要2x元，利用数量=总价÷单价，结合两种树苗共购买了150棵，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出购买一棵A种树苗所需费用，再将其代入2x中即可求出购买一棵B种树苗所需费用；
(2)设购买A种树苗m棵，则购买B种树苗(80−m)棵，根据购买A种树苗的棵数不多于B种树苗棵数的2倍，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，设购买两种树苗80棵所需总费用为w元，利用总价=单价×数量，即可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式．
21.【答案】(1)证明：连接OC，如图，
∵EC切⊙O于C，
∴OC⊥DE，
∵AD⊥CE，
∴OC//AD，
∴∠DAC=∠OCA，
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠EAC，
∴∠DAC=∠EAC；
(2)解：设⊙O的半径为r，则OC=OB=r，
在Rt△OCE中，r2+42=(r+2)2，
解得r=3，
∴OC=OB=3，
∵OC//AD，
∴△ECO∽△EDA，
∴OCAD=EOEA，即3AD=55+3，
∴AD=245．
【解析】(1)连接OC，如图，根据切线的性质得到OC⊥DE，再证明OC//AD得到∠DAC=∠OCA，加上∠OCA=∠EAC，从而得到∠DAC=∠EAC；
(2)设⊙O的半径为r，利用勾股定理得到r2+42=(r+2)2，解方程得到OC=OB=3，然后证明△ECO∽△EDA，则利用相似比可计算出AD的长．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理．
22.【答案】2.5 y=−x2+2.4x+2.5 1.2
【解析】解：(1)∵记水流与池中心水管的水平距离为x米，距地面的高度为y米，当x=0时，y=2.5，
∴水管出水口距地面的高度OC为2.5m；
设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，将(0,2.5)，(1,3.9)，(2,3.3)代入得：
c=2.5a+b+c=3.94a+2b+c=3.3，
解得：a=−1b=2.4c=2.5，
∴y关于x的函数表达式为y=−x2+2.4x+2.5；
∵y=−x2+2.4x+2.5=−(x−1.2)2+3.94，
∴该抛物线的顶点坐标为(1.2,3.94)，
∴水流达到最高点时与池中心水管的水平距离为1.2m．
故答案为：2.5；y=−x2+2.4x+2.5；1.2；
(2)∵只降低水管出水口距离地面的高度OC，
∴设降低水管出水口距离的抛物线的解析式为y=−x2+2.4x+m，
∵水流落地点与水管的距离OA缩短为3m，
∴抛物线y=−x2+2.4x+m经过(3,0)，
∴−32+2.4×3+m=0，
∴m=1.8，
∴降低水管出水口距离的抛物线的解析式为y=−x2+2.4x+1.8，
令x=0，则y=1.8，
∴降低后的水管高度为1.8米．
(1)观察表格数据可知：当x=0时的y值即为水管出水口距地面的高度OC；利用待定系数法即可求得y关于x的函数表达式；利用配方法和二次函数的性质解答即可求得水流达到最高点时与池中心水管的水平距离；
(2)由题意设出新的抛物线的解析式为y=−x2+2.4x+m，利用该抛物线经过(3,0)求得m值，则结论可得．
本题主要考查了二次函数的应用，待定系数法，抛物线上点的坐标的特征，利用待定系数法和数形结合法解答是解题的关键．
23.【答案】(1)EH=12AD， EH⊥AB；
(2)结论仍然成立：
理由：如图2中，延长DE到F，使得EF=DE，连接CF，BF．
∵DE=EF.CE⊥DF，
∴CD=CF，
∴∠CDF=∠CFD=45°，
∴∠ECF=∠ECD=45°，
∴∠ACB=∠DCF=90°，
∴∠ACD=∠BCF，
∵CA=CB，
∴△ACD≌△BCF(SAS)，
∴AD=BF，∠A=∠CBF=45°，
∵∠ABC=45°，
∴∠ABF=90°，
∴BF⊥AB，
∵DE=EF，DH=HB，
∴EH=12BF，EH//BF，
∴EH⊥AD，EH=12AD．
(3)如图3−1中，当△BCE是等边三角形时，过点E作EH⊥BD于H．
∵∠ACB=90°，∠ECB=60°，
∴∠ACE=30°，
∵AC=CB=CE=EB=DE=2 2，
∴∠CAE=∠CEA=75°，
∵∠CAB=45°，
∴∠EAH=30°，
∵∠DEC=90°，∠CEB=60°，
∴∠DEB=150°，
∴∠EDB=∠EBD=15°，
∵∠EAH=∠ADE+∠AED，
∴∠ADE=∠AED=15°，
∴AD=AE，设EH=x，则AD=AE=2x，AH= 3x，
∵EH2+DH2=DE2，
∴x2+(2x+ 3x)2=8，
∴x= 3−1，
∴AD=2 3−2，
∴S△ADE=12⋅AD⋅EH=12×(2 3−2)⋅( 3−1)=4−2 3．
如图3−2中，当△BCE是等边三角形时，过点E作EH⊥BD于H．
同法可求：EH= 3+1，AD=2 3+2，
∴S△ADE=12⋅AD⋅EH=12×(2 3+2)( 3+1)=4+2 3，
综上所述，满足条件的△ADE的面积为4−2 3或4+2 3．
【解析】解：(1)如图1中，
∵CA=CB，∠ACB=90°，AD=BD，
∴CD⊥AB，CD=AD=DB，
∴∠A=∠B=45°，∠DCB=∠ACD=45°，
∵∠DCE=45°，
∴点E在线段CB上，
∵DE⊥BC，
∴∠EDB=∠B=45°，
∵DH=HB，
∴EH⊥DB，EH=12DB=12AD，
故答案为EH=12AD，EH⊥AD．
(2)(3)见答案．
(1)利用等腰直角三角形的判定和性质解决问题即可．
(2)结论仍然成立：如图2中，延长DE到F，使得EF=DE，连接CF，BF.证明△ACD≌△BCF(SAS)，再利用三角形的中位线定理即可解决问题．
(3)分两种情形：如图3−1中，当△BCE是等边三角形时，过点E作EH⊥BD于H.如图3−2中，当△BCE是等边三角形时，过点E作EH⊥BD于H.分别求出AD，EH即可解决问题．
本题属于四边形综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
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