2022-2023学年河南省洛阳市偃师市中成外国语学校八年级（下）期末数学试卷-普通用卷

2022-2023学年河南省洛阳市偃师市中成外国语学校八年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  若式子有意义，则实数的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D. 且

2.  纳米是表示微小距离的单位，符号是，已知，则数据纳米用科学记数法表示为(    )

A. 米 B. 米 C. 米 D. 米

3.  若，，三点都在函数的图象上，则，与的大小关系是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  已知四边形，下列说法正确的是(    )

A. 当，时，四边形是平行四边形
B. 当，时，四边形是菱形
C. 当，与互相平分时，四边形是矩形
D. 当，时，四边形是正方形

5.  已知关于的分式方程的解为正数，则的取值范围为(    )

A.  B. 且
C.  D. 且

6.  如图，是坐标原点，菱形的顶点的坐标为，顶点在轴的负半轴上，函数的图象经过顶点，则的值为(    )

A.
B.
C.
D.

7.  如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象在第二象限交于，两点若点在轴上，满足，且，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，点从的顶点出发，沿匀速运动，到点停止运动．点运动时，线段的长度与运动时间的函数关系如图所示，其中为曲线部分的最低点，则的面积是(    )

 

A.  B.  C.  D.

9.  如图，在中，，，，为边上一动点，于，于，为中点，则的最小值为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，正方形中，，分别为，上的点，，，交于点，交于点，为的中点，交于点，连接下列结论：；；；，正确的个数是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  方程组的解为______．

12.  如图，在边长为的正方形中，是边上的一点，且，点为对角线上的动点，则周长的最小值为______．

13.  如图，矩形的顶点和中心都在反比例函数上，则矩形的面积为______ ．

14.  如图，矩形中，，，点为射线上一个动点，把沿直线折叠，当点对应点刚好落在线段的垂直平分线上时，的长为______．

15.  如图，在四边形中，，，，是的中点．点以每秒个单位长度的速度从点出发，沿向点运动；点同时以每秒个单位长度的速度从点出发，沿向点运动．点停止运动时，点也随之停止运动，当运动时间秒时，以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，则的值为______．

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
先化简，然后从，，，中选一个合适的数作为的值代入求值．

17.  本小题分
为庆祝中国共产党成立周年，某校组织全校学生进行了一场党史知识竞赛活动根据竞赛结果，抽取了名学生的成绩得分均为正整数，满分为分，大于分的为优秀进行统计，绘制了如图所示尚不完整的统计图表．
名学生党史知识竞赛成绩的频数表

请结合图表解决下列问题：
频数表中， ______ ， ______ ；
请将频数分布直方图补充完整；
抽取的名学生中竞赛成绩的中位数落在的组别是______ 组；
若该校共有名学生，请估计本次党史知识竞赛成绩为“优秀”的学生人数．

18.  本小题分
已知：如图，四边形中，，，是对角线上一点，且．
求证：四边形是菱形；
如果，且：：，求证：四边形是正方形．

19.  本小题分
“中国人的饭碗必须牢牢掌握在咱们自己手中”为扩大粮食生产规模，某粮食生产基地计划投入一笔资金购进甲、乙两种农机具已知购进件甲种农机具和件乙种农机具共需万元，购进件甲种农机具和件乙种农机具共需万元．
求购进件甲种农机具和件乙种农机具各需多少万元？
若该粮食生产基地计划购进甲、乙两农机具共件，且投入资金不少于万元又不超过万元，设购进甲种农机具件，则有哪几种购买方案？哪种购买方案需要的资金最少，最少资金是多少？
在的方案下，由于国家对农业生产扶持力度加大，每件甲种农机具降价万元，每件乙种农机具降价万元，该粮食生产基地计划将节省的资金全部用于再次购买甲、乙两种农机具可以只购买一种请直接写出再次购买农机具的方案有哪几种？

20.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，点，在反比例函数的图象上点的横坐标大于点的横坐标，点的坐标为，过点作轴于点，过点作轴于点，连接，．
求反比例函数的表达式；
若点是的中点，求四边形的面积．

21.  本小题分

如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，，与轴相交于点．

求反比例函数和一次函数的表达式；

求点的坐标及的面积．

22.  本小题分
如图，在中，，过点的直线，为边上一点，过点作，交直线于，垂足为，连接、．
求证：；
当在中点时，四边形是什么特殊四边形？说明你的理由；
若为中点，则当的大小满足什么条件时，四边形是正方形？请说明你的理由．
 

23.  本小题分
如图，已知直线经过、两点．

求直线的解析式；
若是线段上一点，将线段绕点顺时针旋转得到，此时点恰好落在直线上，过作轴于点．
求点和点的坐标；
若点在轴上，在直线上，是否存在以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点坐标，否则说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：式子有意义，
则，且，
解得：且．
故选：．
直接利用二次根式有意义的条件进而分析得出答案．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握定义是解题关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：
故选：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
 

3.【答案】 

【解析】解：在函数的图象上，
，
函数图象的两个分支分别位于二、四象限，且在每一象限内随的增大而增大．
，，
，在第二象限，点在第四象限，
．
故选：．
利用待定系数法求得，根据判断出函数图象所在的象限及其增减性，再根据各点横坐标的大小即可得出结论．
本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数的性质是解答此题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，
不正确；
两组对边分别相等的四边形是平行四边形，
不正确；
对角线互相平分且相等的四边形是矩形，
C正确；
对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，
不正确；
故选：．
由平行四边形、菱形、矩形、正方形的判定定理判断即可．
本题考查了平行四边形的判定、矩形的判定、正方形的判定；熟练掌握平行四边形、矩形、正方形的判定方法是解决问题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：关于的分式方程化为整式方程为，
解得，
关于的分式方程的解为正数，
，
即，
而分式方程有增根，
当时，，
的取值范围为且，
故选：．
求出关于的分式方程的解，使解为整数得出不等式求出的取值范围，再根据分式方程的增根得出的值，综合得出的取值范围即可．
本题考查分式方程的增根、分式方程的解法以及一元一次不等式，理解分式方程的增根，掌握分式方程的解法、一元一次不等式的解法是解决问题的前提．
 

6.【答案】 

【解析】解：，
，
四边形是菱形，
，
则点的横坐标为，
故B的坐标为：，
将点的坐标代入得，，
解得：．
故选：．
根据点的坐标以及菱形的性质求出点的坐标，然后利用待定系数法求出的值即可．
本题考查了菱形的性质以及利用待定系数法求反比例函数解析式，解答本题的关键是根据菱形的性质求出点的坐标．
 

7.【答案】 

【解析】解：分别过点，作轴的垂线，垂足为，，过点作的垂线，垂足为，

因为四边形为矩形，
所以，．
又，，
，
又，
所以．
又，，
所以≌．
所以，．
所以，
即．
又，两点在上，
所以．
则．
所以，．
即．
又，
所以，
又，
所以，
所以，
则∽．
所以，
所以．
在中，
，
解得．
所以．
故选：．
可分别过点和点作轴垂线，垂足为和，再过点作垂线，垂足为，交于点，先利用≌，再利用∽，最终用表示出，在中用勾股定理解决问题．
本题考查一次函数和反比例函数的图象与性质，正确画出辅助线，并通过相似表示出是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：根据图象可知，点在上运动时，此时不断增大，
由图象可知：点从向运动时，的最大值为，即，
点从向运动时，的最小值为，
即边上的高为，
当，，
此时，由勾股定理可知：，
由于图象的曲线部分是轴对称图形，
，
，
的面积为：，
故选：．
根据图象可知点在上运动时，此时不断增大，而从向运动时，先变小后变大，从而可求出与上的高．
本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是注意结合图象求出与的长度．
 

9.【答案】 

【解析】解：

，，，
，
于，于，
四边形是矩形，
，互相平分，且，
，的交点就是点．
当的值最小时，的值就最小，
当时，的值最小，即的值最小．
，
．
，，，
，
，
；
故选：．
先根据矩形的判定得出四边形是矩形，再根据矩形的性质得出，互相平分，且，再根据垂线段最短的性质就可以得出时，的值最小，即的值最小，根据面积关系建立等式求出其解即可．
本题考查了矩形的性质的运用，勾股定理的运用，三角形的面积公式的运用，垂线段最短的性质的运用，解答时求出的最小值是关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：四边形是正方形，
，，
又，
≌，
，
，
，
，
故结论正确；
四边形是正方形，为的中点，
，，，
，
，
≌，
，
故结论正确；
过点作交于点，

，
，
又，，
≌，
，
，
，
，
故结论正确；
≌，
，
，
，，
，
，
故结论正确．
综上，正确，
故选：．
可证≌，得出，进而得到，由此得证；根据题意得出，结合，得出，结合正方形的性质可证≌，根据全等三角形的性质得出
，即得证；过点作交于点，可证出≌，得是等腰直角三角形，由得证；由≌，得，解直角三角形即可得证．
此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质及等腰直角三角形的性质，充分利用线段和角证明三角形全等、转化线段和角的关系式解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：一次函数与的交点坐标为，
方程组 的解为．
故答案为．
由图象可知，一次函数与的交点坐标为，所以方程组 的解为．
本题考查了一次函数与二元一次方程组，掌握两函数的交点坐标即为它们组成的方程组的解是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：如图，连接，，
四边形是正方形，
点与点关于直线对称，
的长即为的最小值，
，，
的最小值，
，
周长的最小值．
故答案为：．
连接，，根据正方形的性质可知点与点关于直线对称，故DE的长即为的最小值，进而可得出结论．
本题考查了正方形的性质、最小值问题、勾股定理、轴对称的性质，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
 

13.【答案】 

【解析】解：延长交轴于点，
四边形是矩形，
设点的坐标为则根据矩形的性质得出矩形中心的纵坐标为，
矩形的顶点和中心都在反比例函数上，
，，所以，
，
，
矩形的面积为．
故答案为：．
设点的坐标为则根据矩形的性质得出矩形中心的纵坐标为，根据中心在反比例函数上，求出中心的横坐标为，进而可得出的长度，根据矩形的面积即可求得矩形的面积．
本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数中为定值是解答此题的关键．
 

14.【答案】或 

【解析】解：如图，若点在线段上时，过点作，

四边形是矩形
，，
把沿直线折叠，当点对应点刚好落在线段的垂直平分线上时，
，，，
，
，
，
，

如图，点在线段的延长线上，过点作，

同理可求：，，
，
，
，

故答案为：或
分两种情况讨论，由折叠的性质可得，，，由勾股定理可求，再由勾股定理可求的长．
本题考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
 

15.【答案】秒或秒 

【解析】

【分析】
本题考查了平行四边形的判定、分类讨论等知识，熟练掌握平行四边形的判定方法、进行分类讨论是解题的关键．由，则时，以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，
当运动到和之间时，设运动时间为，则得：，解方程即可，
当运动到和之间时，设运动时间为，则得：，解方程即可．
【解答】
解：是的中点，
，
，
时，以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，
当运动到和之间时，设运动时间为，
则得：，
解得：，
当运动到和之间时，设运动时间为，
则得：，
解得：；
当运动时间为秒或秒时，以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，
故答案为：秒或秒．  

16.【答案】解：原式




，
或时，原式无意义，
只能取或，
当时，原式当时，原式 

【解析】小括号内进行通分，对多项式进行因式分解，除法转化为乘法，化简约分即可得到化简的结果，根据分式有意义的条件得到的取值，代入求值即可．
本题考查了分式的化简求值，把整式看成分母是的分数，进行通分是解题的关键．
 

17.【答案】， 
由知，，

如图，即为补全的频数分布直方图；

人，
即本次党史知识竞赛成绩为“优秀”的学生人数有人． 

【解析】解：，
，
，
故答案为：，；

抽取的名学生中竞赛成绩的中位数落在的组别是组；
故答案为：；

根据频数分布表中的数据，可以计算出、、的值；
根据中、的值，可以将频数分布直方图补充完整；
根据频数分布表中的数据，可以计算出本次党史知识竞赛成绩超过分的学生人数．
本题考查频数分布直方图、频数分布表、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

18.【答案】证明：在与中，
，
≌，
，
，
，
，
，
，
，
四边形为平行四边形，
，
四边形是菱形；


，
：：，
，
四边形是菱形，
，
，
四边形是正方形． 

【解析】首先证得≌，由全等三角形的性质可得，由可得，易得，可得，易得，利用平行四边形的判定定理可得四边形为平行四边形，由可得四边形是菱形；
由可得为等腰三角形，可得，利用三角形的内角和定理可得，易得，可得，由正方形的判定定理可得四边形是正方形．
本题主要考查了正方形与菱形的判定及性质定理，熟练掌握定理是解答此题的关键．
 

19.【答案】解：设购进件甲种农机具万元，乙种农机具万元．
根据题意得：，
解得
设购进甲种农机具件，购进乙种农机具件，
根据题意得：，
解得：．
为整数．
可取、、．
有三种方案：
方案一：购买甲种农机具件，乙种农机具件．
方案二：购买甲种农机具件，乙种农机具件．
方案三：购买甲种农机具件，乙种农机具件．
设总资金为万元．
．
，
随着的减少而减少，
时，万元．
方案一需要资金最少，最少资金是万．
设节省点资金用于再次购买甲种农机具件，乙种农机具件，
依题意得：
其整数解：或
节省的资金全部用于再次购买农机具的方案有两种
方案一：购买甲种农机具件，乙种农机具件．
方案二：购买甲种农机具件，乙种农机具件． 

【解析】找到关键描述语，件甲种农机具和件乙种农机具共需万元，件甲种农机具和件乙种农机具共需万元，进而找到所求的量的等量关系，列出方程组求解．
根据乙两农机具共件，且投入资金不少于万元又不超过万元，列出不等式组求解．总资金甲农机具的总费用乙农机具的总费用．
本题考查二元一次方程组的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出等式关系式即可求解．考察一元一次不等式组的应用，利用题目的已知条件列出不等式关系式．利用一次函数的性质解决极值问题．
 

20.【答案】解：将点的坐标为代入，
可得，
反比例函数的表达式为：；

，点为中点，
，，
点的横坐标为，将代入，
可得，
点的坐标为，
． 

【解析】将点的坐标为代入，求出，可得反比例函数的解析式；
根据点的坐标和点是的中点，可以求得点的横坐标，利用反比例函数的解析式可得点点纵坐标，利用三角形的面积公式和梯形的面积公式可得结果．
本题主要考查了反比例函数图象上点的特征，运用数形结合思想是解答此题的关键．
 

21.【答案】解：点在反比例函数的图象上，
，
反比例函数的表达式为；
点在反比例函数的图象上，
，解得：，
点．
将点、代入中，
得：，解得：，
一次函数的表达式为．
令中，则，
点的坐标为．
． 

【解析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点坐标、反比例函数图象上点的坐标特征以及待定系数法求函数解析式，本题属于基础题，解题的关键是：利用待定系数法求函数表达式；利用分割图形求面积法求出的面积．
由点的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出值，从而得出反比例函数表达式，再由点的坐标和反比例函数表达式即可求出值，结合点、的坐标利用待定系数法即可求出一次函数表达式；
令一次函数表达式中求出值即可得出点的坐标，利用分解图形求面积法结合点、的坐标即可得出结论．
 

22.【答案】证明：．
．
，
，
，
，即，
四边形是平行四边形，
．
解：四边形是菱形．
理由是：为中点，
，
，
．
，
四边形是平行四边形．
，为中点，
，
平行四边形是菱形．
解：当时，四边形是正方形．
理由是：，，
，
．
为中点，
，
，
四边形是菱形，
菱形是正方形，
即当时，四边形是正方形． 

【解析】本题主要考查平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质以及正方形的判定，掌握相关判定和性质是解题的关键．
先证出四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质推出即可；
先证明四边形是平行四边形，再证明，根据菱形的判定推出即可；
证出，再根据正方形的判定推出即可．
 

23.【答案】解：将，代入得：
，解得：，
直线的解析式为．
，
，，
．
在和中，
，
≌，
，．
设，则点的坐标为，
点在直线上，
，
，
点的坐标为，点的坐标为；
存在以、、、为顶点的四边形是平行四边形，点的坐标为或或 

【解析】

【解答】
见答案；
见答案；
设点的坐标为，
分两种情况考虑：
当为边时，

点的坐标为，点的坐标为，点的横坐标为，
或，
或，
点的坐标为或；
当为对角线时，

点的坐标为，点的坐标为，点的横坐标为，
，
，
点的坐标为
综上所述：存在以、、、为顶点的四边形是平行四边形，点的坐标为或或
【分析】
根据点，的坐标，利用待定系数可求出直线的解析式；
证明≌，利用全等三角形的性质可求出、的长，进而可得出点、的坐标；
分为边和为对角线两种情况考虑：当为边时，由，的坐标及点的横坐标可求出值，进而可得出点的坐标；当为对角线时，由，的坐标及点的横坐标，利用平行四边形的对角线互相平分可求出值，进而可得出点的值．综上，此题得解．
本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、全等三角形的判定与性质以及平行四边形的性质．