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2021年湖北省武汉市洪山区九年级（下）月考数学试卷（有答案）
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这是一份2021年湖北省武汉市洪山区九年级（下）月考数学试卷（有答案），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年湖北省武汉市洪山区九年级（下）月考数学试卷（4月份）
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）
1．（3分）﹣2021的倒数（ ）
A．﹣2021 B．2021 C．﹣ D．
2．（3分）下列说法中，正确的是（ ）
A．“打开电视，正在播放湖北新闻节目”是必然事件
B．某种彩票中奖概率为10%是指买十张一定有一张中奖
C．“明天降雨的概率是50%表示明天有半天都在降雨”
D．“掷一次骰子，向上一面的数字是2”是随机事件
3．（3分）下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．伟 B．大 C．中 D．华
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．＝±3 B．|﹣3|＝﹣3 C．﹣＝﹣3 D．﹣32＝9
5．（3分）如图是由几个相同的小正方体组成立体图形的俯视图，数字表示其位置上的小正方体的个数，则该立体图形的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
6．（3分）在5瓶饮料中，有3瓶已过保质期，从这5瓶饮料中任取2瓶，取到2瓶都不过期的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．（3分）点（x1，y1）、（x2，y2）、（x3，y3）在反比例函数的图象上，且x1＜0＜x2＜x3，则有（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y3＜y1 C．y1＜y3＜y2 D．y3＜y2＜y1
8．（3分）甲、乙施工队分别从两端修一段长度为380米的公路．在施工过程中，乙队曾因技术改进而停工一天，之后加快了施工进度并与甲队共同按期完成了修路任务．下表是根据每天工程进度绘制而成的．
施工时间/天
1
2
3
4
5
6
7
8
9
累计完成施工量/米
35
70
105
140
160
215
270
325
380
下列说法错误的是（ ）
A．甲队每天修路20米
B．乙队第一天修路15米
C．乙队技术改进后每天修路35米
D．前七天甲，乙两队修路长度相等
9．（3分）如图一个扇形纸片的圆心角为90°，半径为6．将这张扇形纸片折叠，使点A与点O恰好重合，折痕为CD，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
10．（3分）如图，过原点的直线与反比例函数y＝（k＞0）的图象交于A、B两点，点A在第一象限，点C在x轴正半轴上，连接AC交反比例函数图象于点D，AE为∠BAC的平分线，过点B作AE的垂线，垂足为E，连接DE，若AC＝3DC，△ADE的面积为8，则k的值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11．（3分）＝ ．
12．（3分）“植树节”时，九年级一班6个小组的植树棵数分别是：5，7，3，x，6，4．已知这组数据的众数是5，则该组数据的平均数是 ．
13．（3分）关于x的分式方程＝1的解是 ．
14．（3分）在一次数学课外实践活动中，小明想测量树AB的高度，若小明在与树底端B在同一水平面上的C点测得树的顶端A的仰角为37°，BC＝40m，则树高AB约 m，（参考数据：，，）
15．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于点A（﹣3，0）、B（1，0）．下列结论：①2a﹣b＝0；②2c＝3b；③当a＜0时，无论m取何值都有a﹣b≥am2+bm；④若a＜0时，抛物线交y轴于点C，且△ABC是等腰三角形，c＝或； ⑤抛物线交y轴于正半轴，抛物线上的两点E（x1，y1）、F（x2，y2）且x1＜x2，x1+x2＞﹣2，则y1＞y2；则其中正确的是 ．（填写所有正确结论的序号）
16．（3分）把边长为2的正方形纸片ABCD分割成如图的四块，其中点O为正方形的中心，点E，F分别为AB，AD的中点．用这四块纸片拼成与此正方形不全等的四边形MNPQ（要求这四块纸片不重叠无缝隙），则四边形MNPQ的周长是 ．
三、解答题（本大题共8小题，共72.0分）
17．解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．
18．已知：如图，∠A＝∠ABC＝90°，∠1+∠BFE＝180°，那么BD∥EF吗？为什么？
19．某中学为了了解学生每天完成家庭作业所用时间的情况，从每班抽取相同数量的学生进行调查，并将所得数据进行整理，制成条形统计图和扇形统计图如图：
（1）补全条形统计图；
（2）求扇形统计图扇形D的圆心角的度数；
（3）若该中学有2000名学生，请估计其中有多少名学生能在1.5小时内完成家庭作业？
20．如图，∠AOB在由边长相等的小正方形组成的网格内，点C、D在射线OB上，请你利用网格：
（1）作∠AOB的平分线OP；
（2）在射线OP上找一点Q，使QC＝QD；
（3）在正方形网格中存在 个格点，使得该格点与C、D两点构成等腰三角形．
21．如图1，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，过点C作∠BCD＝∠ACB交⊙O于点D，连接AD交BC于点E，延长DC至点F，使CF＝AC，连接AF．
（1）求证：AF是⊙O的切线；
（2）如图2，若点G是△ACD的内心，BC•BE＝25，求BG的长．
22．某企业计划对某种设备进行升级改造，升级改造结束后在一定时间内进行生产营销，设改造设备的台数为x：现有甲、乙两种改造方案甲方案：
甲方案，升级后每台设备的生产营销利润为4000元，但改造支出费用Q甲，由材料费、施工费以及其他费用三部分组成，其中材料费与x的平方成正比例，施工费与x成正比例，其他费用为2500元．（总利润＝生产营销利润﹣改造支出费用），设甲方案的总利润为W甲（元），经过调查分析，得到如下数据：
改造台数x
20
40
总利润W甲（元）
9500
5500
乙方案：升级后每台设备的生产营销利润为3500元，改造费用Q乙与x之间满足函数关系式为Q乙＝（1500+20a）x（a为常数，60≤a≤90），且在使用过程中一共还需支出维护费用4x2；（总利润＝生产营销利润﹣改造支出费﹣维护费），设乙方案的总利润为W乙（元）．
（1）求W甲与x的函数关系式；
（2）若W甲，W乙的最大值相等，求a的值；
（3）如果要将30台设备升级改造，请你通过分析，帮企业决策选择甲方案还是乙方案才能使所获得利润较大．
23．如图①，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点E在AC上（且不与点A、C重合），在△ABC的外部作等腰Rt△CED，使∠CED＝90°，连接AD，分别以AB，AD为邻边作平行四边形ABFD，连接AF．
（1）请直接写出线段AF，AE的数量关系；
（2）①将△CED绕点C逆时针旋转，当点E在线段BC上时，如图②，连接AE，请判断线段AF，AE的数量关系，并证明你的结论；
②若AB＝2，CE＝2，在图②的基础上将△CED绕点C继续逆时针旋转一周的过程中，当平行四边形ABFD为菱形时，直接写出线段AE的长度．
24．如图1，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，抛物线与x轴交于点A（4，0），点B（﹣1，0），与y轴交于点C，连接AC、BC．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图2，点D从点B出发沿线段BC向点C运动，到达点C停止，连接AD，过点D作DE⊥AB于点E，作DF⊥AC于点F，当时，求点D的坐标；
（3）如图3，设点P是线段AD的中点，连接PE、PF、EF，在点D由起点B运动到终点C的过程中，求△PEF周长的最小值．
2020-2021学年湖北省武汉市洪山区九年级（下）月考数学试卷（4月份）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）
1．（3分）﹣2021的倒数（ ）
A．﹣2021 B．2021 C．﹣ D．
【解答】解：﹣2021的倒数为：﹣．
故选：C．
2．（3分）下列说法中，正确的是（ ）
A．“打开电视，正在播放湖北新闻节目”是必然事件
B．某种彩票中奖概率为10%是指买十张一定有一张中奖
C．“明天降雨的概率是50%表示明天有半天都在降雨”
D．“掷一次骰子，向上一面的数字是2”是随机事件
【解答】解：A、打开电视，正在播放湖北新闻节目”是随机事件，故A不符合题意；
B、某种彩票中奖概率为10%是指买十张有可能中奖，故B不符合题意；
C、明天降雨的概率是50%表示明天有可能降雨”，故C不符合题意；
D、“掷一次骰子，向上一面的数字是2”是随机事件，故D符合题意；
故选：D．
3．（3分）下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．伟 B．大 C．中 D．华
【解答】解：A、“伟”不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B、“大”是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、“中”既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
D、“华”不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：C．
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．＝±3 B．|﹣3|＝﹣3 C．﹣＝﹣3 D．﹣32＝9
【解答】解：A、＝3，故A选项错误；
B、|﹣3|＝3，故B选项错误；
C、﹣＝﹣3，故C选项正确；
D、﹣32＝﹣9，故D选项错误；
故选：C．
5．（3分）如图是由几个相同的小正方体组成立体图形的俯视图，数字表示其位置上的小正方体的个数，则该立体图形的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：该立体图形的主视图是．
故选：B．
6．（3分）在5瓶饮料中，有3瓶已过保质期，从这5瓶饮料中任取2瓶，取到2瓶都不过期的概率为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：把已过保质期的饮料记为A，不过保质期的饮料记为B，
画树状图如图：
共有20个等可能的结果，取到2瓶都不过期的结果有2个，
∴取到2瓶都不过期的概率为＝，
故选：C．
7．（3分）点（x1，y1）、（x2，y2）、（x3，y3）在反比例函数的图象上，且x1＜0＜x2＜x3，则有（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y3＜y1 C．y1＜y3＜y2 D．y3＜y2＜y1
【解答】解：∵k＜0，
∴函数图象在二，四象限，由x1＜0＜x2＜x3可知，横坐标为x1的点在第二象限，横坐标为x2，x3的点在第四象限．
∵第四象限内点的纵坐标总小于第二象限内点的纵坐标，
∴y1最大，在第二象限内，y随x的增大而增大，
∴y2＜y3＜y1．
故选：B．
8．（3分）甲、乙施工队分别从两端修一段长度为380米的公路．在施工过程中，乙队曾因技术改进而停工一天，之后加快了施工进度并与甲队共同按期完成了修路任务．下表是根据每天工程进度绘制而成的．
施工时间/天
1
2
3
4
5
6
7
8
9
累计完成施工量/米
35
70
105
140
160
215
270
325
380
下列说法错误的是（ ）
A．甲队每天修路20米
B．乙队第一天修路15米
C．乙队技术改进后每天修路35米
D．前七天甲，乙两队修路长度相等
【解答】解：由题意可得，
甲队每天修路：160﹣140＝20（米），故选项A正确；
乙队第一天修路：35﹣20＝15（米），故选项B正确；
乙队技术改进后每天修路：215﹣160﹣20＝35（米），故选项C正确；
前7天，甲队修路：20×7＝140米，乙队修路：270﹣140＝130米，故选项D错误；
故选：D．
9．（3分）如图一个扇形纸片的圆心角为90°，半径为6．将这张扇形纸片折叠，使点A与点O恰好重合，折痕为CD，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：连接OD，如图，
∵扇形纸片折叠，使点A与点O恰好重合，折痕为CD，
∴AC＝OC，
∴OD＝2OC＝6，
∴CD＝＝3，
∴∠CDO＝30°，∠COD＝60°，
∴由弧AD、线段AC和CD所围成的图形的面积＝S扇形AOD﹣S△COD＝﹣×3×3＝6π﹣，
∴阴影部分的面积为﹣2×（6π﹣）＝9﹣3π，
故选：A．
10．（3分）如图，过原点的直线与反比例函数y＝（k＞0）的图象交于A、B两点，点A在第一象限，点C在x轴正半轴上，连接AC交反比例函数图象于点D，AE为∠BAC的平分线，过点B作AE的垂线，垂足为E，连接DE，若AC＝3DC，△ADE的面积为8，则k的值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【解答】解：连接OE，CE，过点A作AF⊥x轴，过点D作DH⊥x轴，过点D作DG⊥AF，
∵过原点的直线与反比例函数y＝（k＞0）的图象交于A，B两点，
∴A与B关于原点对称，
∴O是AB的中点，
∵BE⊥AE，
∴OE＝OA，
∴∠OAE＝∠AEO，
∵AE为∠BAC的平分线，
∴∠DAE＝∠AEO＝∠OAE，
∴AD∥OE，
∴S△ACE＝S△AOC，
∵AC＝3DC，△ADE的面积为8，
∴S△ACE＝S△AOC＝12，
设点A（m，），
∵AC＝3DC，DH∥AF，
∴3DH＝AF，
∴D（3m，），
∵CH∥GD，AG∥DH，
∴△DHC∽△AGD，
∴S△HDC＝S△ADG，
∵S△AOC＝S△AOF+S梯形AFHD+S△HDC＝k+（DH+AF）×FH+S△HDC＝k+××2m+×××2m＝k++＝12，
∴2k＝12，
∴k＝6；
方法二：求出D的坐标可以求出FH＝2m，FC＝3m，OC＝4m，×4m×（）＝2k＝12，可得k＝6．
故选：B．
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11．（3分）＝ 2 ．
【解答】解：＝＝2．
故答案为：2．
12．（3分）“植树节”时，九年级一班6个小组的植树棵数分别是：5，7，3，x，6，4．已知这组数据的众数是5，则该组数据的平均数是 5 ．
【解答】解：∵这组数据的众数是5，
∴x＝5，
则平均数为：＝5．
故答案为：5．
13．（3分）关于x的分式方程＝1的解是 x＝1 ．
【解答】解：去分母得：x2﹣x﹣2+x＝x2﹣2x，
解得：x＝1，
经检验x＝1是分式方程的解，
故答案为：x＝1
14．（3分）在一次数学课外实践活动中，小明想测量树AB的高度，若小明在与树底端B在同一水平面上的C点测得树的顶端A的仰角为37°，BC＝40m，则树高AB约 30 m，（参考数据：，，）
【解答】解：如图，在直角△ABC中，∠B＝90°，∠C＝37°，BC＝40m，
故tanC＝，
则AB＝30（m），
答：树高AB约30m．
故答案为：30．
15．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于点A（﹣3，0）、B（1，0）．下列结论：①2a﹣b＝0；②2c＝3b；③当a＜0时，无论m取何值都有a﹣b≥am2+bm；④若a＜0时，抛物线交y轴于点C，且△ABC是等腰三角形，c＝或； ⑤抛物线交y轴于正半轴，抛物线上的两点E（x1，y1）、F（x2，y2）且x1＜x2，x1+x2＞﹣2，则y1＞y2；则其中正确的是 ①③④⑤ ．（填写所有正确结论的序号）
【解答】解：①∵二次函数与x轴交于点A（﹣3，0）、B（1，0）．
∴二次函数的对称轴为x＝＝﹣1，即﹣＝﹣1，
∴2a﹣b＝0．
故①正确；
②∵二次函数y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣3，0）、B（1，0）．
∴9a﹣3b+c＝0，a+b+c＝0，
又∵b＝2a．
∴b+c＝0，
∴2c＝﹣3b．
故②错误；
③∵a＜0，
∴抛物线开口向下．
∴x＝﹣1时，二次函数有最大值．
∴a﹣b+c≥am2+bm+c．
即a﹣b≥am2+bm．
故③正确；
④由图象可得，AC≠BC．
当BC＝AB＝4时，则12+c2＝42，解得c＝，
当AC＝AB＝4时，则32+c2＝42，解得c＝
故△ABC是等腰三角形时，c＝或，
故④正确；
⑤由题意可知，点E（x1，y1）到对称轴的距离小于点F（x2，y2）到对称轴的距离，
∴y1＞y2，
故⑤正确；
故答案为①③④⑤．
16．（3分）把边长为2的正方形纸片ABCD分割成如图的四块，其中点O为正方形的中心，点E，F分别为AB，AD的中点．用这四块纸片拼成与此正方形不全等的四边形MNPQ（要求这四块纸片不重叠无缝隙），则四边形MNPQ的周长是 6+2或10或8+2 ．
【解答】解：如图所示：
图1的周长为1+2+3+2＝6+2；
图2的周长为1+4+1+4＝10；
图3的周长为3+5++＝8+2．
故四边形MNPQ的周长是6+2或10或8+2．
故答案为：6+2或10或8+2．
三、解答题（本大题共8小题，共72.0分）
17．解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．
【解答】解：解不等式3﹣x＞0，得：x＜3，
解不等式5x﹣2≥3（x﹣2），得：x≥﹣2，
则不等式组的解集为﹣2≤x＜3，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
18．已知：如图，∠A＝∠ABC＝90°，∠1+∠BFE＝180°，那么BD∥EF吗？为什么？
【解答】解：∵∠A＝∠ABC＝90°，
∴AD∥BC，
∴∠1＝∠DBF，
∵∠1+∠BFE＝180°，
∴∠DBF+∠BFE＝180°，
∴BD∥EF．
19．某中学为了了解学生每天完成家庭作业所用时间的情况，从每班抽取相同数量的学生进行调查，并将所得数据进行整理，制成条形统计图和扇形统计图如图：
（1）补全条形统计图；
（2）求扇形统计图扇形D的圆心角的度数；
（3）若该中学有2000名学生，请估计其中有多少名学生能在1.5小时内完成家庭作业？
【解答】解：（1）抽取的总人数是：10÷25%＝40（人），
在B类的人数是：40×30%＝12（人）．
；
（2）扇形统计图扇形D的圆心角的度数是：360×＝27°；
（3）能在1.5小时内完成家庭作业的人数是：2000×（25%+30%+35%）＝1800（人）．
20．如图，∠AOB在由边长相等的小正方形组成的网格内，点C、D在射线OB上，请你利用网格：
（1）作∠AOB的平分线OP；
（2）在射线OP上找一点Q，使QC＝QD；
（3）在正方形网格中存在 9 个格点，使得该格点与C、D两点构成等腰三角形．
【解答】解：（1）如图，射线OP即为所求．
（2）如图，点Q即为所求．
（3）如图，满足条件的点有9个，
故答案为9．
21．如图1，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，过点C作∠BCD＝∠ACB交⊙O于点D，连接AD交BC于点E，延长DC至点F，使CF＝AC，连接AF．
（1）求证：AF是⊙O的切线；
（2）如图2，若点G是△ACD的内心，BC•BE＝25，求BG的长．
【解答】解：（1）如图1，连接OA，
∵AB＝AC，
∴＝，
∴OA⊥BC，
∵CA＝CF，
∴∠CAF＝∠CFA，
∴∠ACD＝∠CAF+∠CFA＝2∠CAF，
∵∠ACB＝∠BCD，
∴∠ACD＝2∠ACB，
∴∠CAF＝∠ACB，
∴AF∥BC，
∴OA⊥AF，
∴AF为⊙O的切线；
（2）∵∠ABE＝∠CBA，∠BAD＝∠BCD＝∠ACB，
∴△ABE∽△CBA，
∴，
∴AB2＝BC•BE，
∵BC•BE＝25，
∴AB＝5，
如图2，连接AG，
∴∠BAG＝∠BAD+∠DAG，∠BGA＝∠GAC+∠ACB，
∵点G为内心，
∴∠DAG＝∠GAC，
又∵∠BAD+∠DAG＝∠GAC+∠ACB，
∴∠BAG＝∠BGA，
∴BG＝AB＝5．
22．某企业计划对某种设备进行升级改造，升级改造结束后在一定时间内进行生产营销，设改造设备的台数为x：现有甲、乙两种改造方案甲方案：
甲方案，升级后每台设备的生产营销利润为4000元，但改造支出费用Q甲，由材料费、施工费以及其他费用三部分组成，其中材料费与x的平方成正比例，施工费与x成正比例，其他费用为2500元．（总利润＝生产营销利润﹣改造支出费用），设甲方案的总利润为W甲（元），经过调查分析，得到如下数据：
改造台数x
20
40
总利润W甲（元）
9500
5500
乙方案：升级后每台设备的生产营销利润为3500元，改造费用Q乙与x之间满足函数关系式为Q乙＝（1500+20a）x（a为常数，60≤a≤90），且在使用过程中一共还需支出维护费用4x2；（总利润＝生产营销利润﹣改造支出费﹣维护费），设乙方案的总利润为W乙（元）．
（1）求W甲与x的函数关系式；
（2）若W甲，W乙的最大值相等，求a的值；
（3）如果要将30台设备升级改造，请你通过分析，帮企业决策选择甲方案还是乙方案才能使所获得利润较大．
【解答】解：（1）由题意得：
W甲＝4000x﹣Q甲＝4000x﹣mx2﹣nx﹣2500＝﹣mx2+（4000﹣n）x﹣2500，
当x＝20时，W甲＝9500；当x＝40时，W甲＝5500，代入整理得：
，解得：m＝20，n＝3000
∴W甲与x的函数关系式为W甲＝﹣20x2+1000x﹣2500，
答：W甲与x的函数关系式为W甲＝﹣20x2+1000x﹣2500．
（2）由题意得：
W乙＝3500x﹣Q乙﹣4x2＝﹣4x2+（2000﹣20a）x，
当W甲，W乙的最大值相等时，则有＝，
解得：a＝80或a＝120，
又∵60≤a≤90，
∴a＝80．
答：a的值为80．
（3）W甲＝20x2+1000x﹣2500，W乙＝﹣4x2+（2000﹣20a）x，
当x＝30时，W甲＝9500，W乙＝﹣600a+56400，
①当W甲＞W乙时，即：9500＞﹣600a+56400，解得：a＞，
∴当＜a≤90时，选择甲方案获利最多；
②当W甲＝W乙时，即：9500＝﹣600a+56400，解得：a＝，
∴当a＝时，甲、乙方案获利一样多；
③当W甲＜W乙时，即：9500＜﹣600a+56400，解得：a＜，
∴当60≤a＜时，选择乙方案获利最多；
答：当＜a≤90时，选择甲方案获利最多；当a＝时，甲、乙方案获利一样多；当60≤a＜时，选择乙方案获利最多．
23．如图①，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点E在AC上（且不与点A、C重合），在△ABC的外部作等腰Rt△CED，使∠CED＝90°，连接AD，分别以AB，AD为邻边作平行四边形ABFD，连接AF．
（1）请直接写出线段AF，AE的数量关系；
（2）①将△CED绕点C逆时针旋转，当点E在线段BC上时，如图②，连接AE，请判断线段AF，AE的数量关系，并证明你的结论；
②若AB＝2，CE＝2，在图②的基础上将△CED绕点C继续逆时针旋转一周的过程中，当平行四边形ABFD为菱形时，直接写出线段AE的长度．
【解答】解：（1）如图①中，结论：AF＝AE．
理由：∵四边形ABFD是平行四边形，
∴AB＝DF，
∵AB＝AC，
∴AC＝DF，
∵DE＝EC，
∴AE＝EF，
∵∠DEC＝∠AEF＝90°，
∴△AEF是等腰直角三角形，
∴AF＝AE．
故答案为AF＝AE．
（2）①如图②中，结论：AF＝AE．
理由：连接EF，DF交BC于K．
∵四边形ABFD是平行四边形，
∴AB∥DF，
∴∠DKE＝∠ABC＝45°，
∴∠EKF＝180°﹣∠DKE＝135°，EK＝ED，
∵∠ADE＝180°﹣∠EDC＝180°﹣45°＝135°，
∴∠EKF＝∠ADE，
∵∠DKC＝∠C，
∴DK＝DC，
∵DF＝AB＝AC，
∴KF＝AD，
在△EKF和△EDA中，
，
∴△EKF≌△EDA，
∴EF＝EA，∠KEF＝∠AED，
∴∠FEA＝∠BED＝90°，
∴△AEF是等腰直角三角形，
∴AF＝AE．
②如图③中，当AD＝AC时，四边形ABFD是菱形，设AE交CD于H，易知EH＝DH＝CH＝，AH＝＝3，AE＝AH+EH＝4，
如图④中当AD＝AC时，四边形ABFD是菱形，易知AE＝AH﹣EH＝3﹣＝2，
综上所述，满足条件的AE的长为4或2．
24．如图1，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，抛物线与x轴交于点A（4，0），点B（﹣1，0），与y轴交于点C，连接AC、BC．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图2，点D从点B出发沿线段BC向点C运动，到达点C停止，连接AD，过点D作DE⊥AB于点E，作DF⊥AC于点F，当时，求点D的坐标；
（3）如图3，设点P是线段AD的中点，连接PE、PF、EF，在点D由起点B运动到终点C的过程中，求△PEF周长的最小值．
【解答】解：（1）将A（4，0），B（﹣1，0）代入y＝+bx+c得：
，解得b＝﹣，c＝﹣3，
∴抛物线的函数表达式为：y＝x2﹣x﹣3；
（2）如图：
∵抛物线的函数表达式：y＝x2﹣x﹣3，A（4，0），点B（﹣1，0）
∴AB＝5，令x＝0得y＝﹣3，
∴C（0，﹣3），OC＝3，
∴AC＝5，
∴AC＝AB＝5，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED＝∠CFD＝90°，
∴△DCF∽△DBE，
∴＝＝，
∴＝，
∵DE⊥x轴，
∴DE∥OC，
∴＝＝＝，
又∵OC＝3，OB＝1，
∴DE＝1，BE＝，
∴OE＝1﹣＝，
∴D（﹣，﹣1）；
（3）∵DE⊥AB，DF⊥AC，P是线段AD的中点，
∴PE＝PD＝PA＝PF＝AD（注：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），
∴A、E、D、F四点在以P为圆心，EP为半径的圆上，
∴∠EPF＝2∠EAF，
∵∠EAF是定值，
∴△PEF是顶角不变的等腰三角形，
∴腰长最小，即AD最小时，PE、PF、EF均最小，
AD最小时，AD⊥BC，如图：
∵AD⊥BC，AB＝AC，
∴D为BC中点，
而DE∥OC，
∴BE＝BE＝，AE＝，
∴＝9，
∴＝＝，
∵BC＝＝，
∴EF＝，BD＝BC＝，
∴AD＝＝，
∴PE+PF＝，
∴△PEF周长的最小值为PE+PF+EF＝+＝．
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日期：2022/2/21 14:07:58；用户：校园号；邮箱：gx998@xyh.com；学号：40932698
2020-2021学年湖北省武汉市洪山区九年级（下）月考数学试卷（4月份）
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）
1．（3分）﹣2021的倒数（ ）
A．﹣2021 B．2021 C．﹣ D．
2．（3分）下列说法中，正确的是（ ）
A．“打开电视，正在播放湖北新闻节目”是必然事件
B．某种彩票中奖概率为10%是指买十张一定有一张中奖
C．“明天降雨的概率是50%表示明天有半天都在降雨”
D．“掷一次骰子，向上一面的数字是2”是随机事件
3．（3分）下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．伟 B．大 C．中 D．华
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．＝±3 B．|﹣3|＝﹣3 C．﹣＝﹣3 D．﹣32＝9
5．（3分）如图是由几个相同的小正方体组成立体图形的俯视图，数字表示其位置上的小正方体的个数，则该立体图形的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
6．（3分）在5瓶饮料中，有3瓶已过保质期，从这5瓶饮料中任取2瓶，取到2瓶都不过期的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．（3分）点（x1，y1）、（x2，y2）、（x3，y3）在反比例函数的图象上，且x1＜0＜x2＜x3，则有（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y3＜y1 C．y1＜y3＜y2 D．y3＜y2＜y1
8．（3分）甲、乙施工队分别从两端修一段长度为380米的公路．在施工过程中，乙队曾因技术改进而停工一天，之后加快了施工进度并与甲队共同按期完成了修路任务．下表是根据每天工程进度绘制而成的．
施工时间/天
1
2
3
4
5
6
7
8
9
累计完成施工量/米
35
70
105
140
160
215
270
325
380
下列说法错误的是（ ）
A．甲队每天修路20米
B．乙队第一天修路15米
C．乙队技术改进后每天修路35米
D．前七天甲，乙两队修路长度相等
9．（3分）如图一个扇形纸片的圆心角为90°，半径为6．将这张扇形纸片折叠，使点A与点O恰好重合，折痕为CD，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
10．（3分）如图，过原点的直线与反比例函数y＝（k＞0）的图象交于A、B两点，点A在第一象限，点C在x轴正半轴上，连接AC交反比例函数图象于点D，AE为∠BAC的平分线，过点B作AE的垂线，垂足为E，连接DE，若AC＝3DC，△ADE的面积为8，则k的值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11．（3分）＝ ．
12．（3分）“植树节”时，九年级一班6个小组的植树棵数分别是：5，7，3，x，6，4．已知这组数据的众数是5，则该组数据的平均数是 ．
13．（3分）关于x的分式方程＝1的解是 ．
14．（3分）在一次数学课外实践活动中，小明想测量树AB的高度，若小明在与树底端B在同一水平面上的C点测得树的顶端A的仰角为37°，BC＝40m，则树高AB约 m，（参考数据：，，）
15．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于点A（﹣3，0）、B（1，0）．下列结论：①2a﹣b＝0；②2c＝3b；③当a＜0时，无论m取何值都有a﹣b≥am2+bm；④若a＜0时，抛物线交y轴于点C，且△ABC是等腰三角形，c＝或； ⑤抛物线交y轴于正半轴，抛物线上的两点E（x1，y1）、F（x2，y2）且x1＜x2，x1+x2＞﹣2，则y1＞y2；则其中正确的是 ．（填写所有正确结论的序号）
16．（3分）把边长为2的正方形纸片ABCD分割成如图的四块，其中点O为正方形的中心，点E，F分别为AB，AD的中点．用这四块纸片拼成与此正方形不全等的四边形MNPQ（要求这四块纸片不重叠无缝隙），则四边形MNPQ的周长是 ．
三、解答题（本大题共8小题，共72.0分）
17．解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．
18．已知：如图，∠A＝∠ABC＝90°，∠1+∠BFE＝180°，那么BD∥EF吗？为什么？
19．某中学为了了解学生每天完成家庭作业所用时间的情况，从每班抽取相同数量的学生进行调查，并将所得数据进行整理，制成条形统计图和扇形统计图如图：
（1）补全条形统计图；
（2）求扇形统计图扇形D的圆心角的度数；
（3）若该中学有2000名学生，请估计其中有多少名学生能在1.5小时内完成家庭作业？
20．如图，∠AOB在由边长相等的小正方形组成的网格内，点C、D在射线OB上，请你利用网格：
（1）作∠AOB的平分线OP；
（2）在射线OP上找一点Q，使QC＝QD；
（3）在正方形网格中存在 个格点，使得该格点与C、D两点构成等腰三角形．
21．如图1，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，过点C作∠BCD＝∠ACB交⊙O于点D，连接AD交BC于点E，延长DC至点F，使CF＝AC，连接AF．
（1）求证：AF是⊙O的切线；
（2）如图2，若点G是△ACD的内心，BC•BE＝25，求BG的长．
22．某企业计划对某种设备进行升级改造，升级改造结束后在一定时间内进行生产营销，设改造设备的台数为x：现有甲、乙两种改造方案甲方案：
甲方案，升级后每台设备的生产营销利润为4000元，但改造支出费用Q甲，由材料费、施工费以及其他费用三部分组成，其中材料费与x的平方成正比例，施工费与x成正比例，其他费用为2500元．（总利润＝生产营销利润﹣改造支出费用），设甲方案的总利润为W甲（元），经过调查分析，得到如下数据：
改造台数x
20
40
总利润W甲（元）
9500
5500
乙方案：升级后每台设备的生产营销利润为3500元，改造费用Q乙与x之间满足函数关系式为Q乙＝（1500+20a）x（a为常数，60≤a≤90），且在使用过程中一共还需支出维护费用4x2；（总利润＝生产营销利润﹣改造支出费﹣维护费），设乙方案的总利润为W乙（元）．
（1）求W甲与x的函数关系式；
（2）若W甲，W乙的最大值相等，求a的值；
（3）如果要将30台设备升级改造，请你通过分析，帮企业决策选择甲方案还是乙方案才能使所获得利润较大．
23．如图①，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点E在AC上（且不与点A、C重合），在△ABC的外部作等腰Rt△CED，使∠CED＝90°，连接AD，分别以AB，AD为邻边作平行四边形ABFD，连接AF．
（1）请直接写出线段AF，AE的数量关系；
（2）①将△CED绕点C逆时针旋转，当点E在线段BC上时，如图②，连接AE，请判断线段AF，AE的数量关系，并证明你的结论；
②若AB＝2，CE＝2，在图②的基础上将△CED绕点C继续逆时针旋转一周的过程中，当平行四边形ABFD为菱形时，直接写出线段AE的长度．
24．如图1，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，抛物线与x轴交于点A（4，0），点B（﹣1，0），与y轴交于点C，连接AC、BC．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图2，点D从点B出发沿线段BC向点C运动，到达点C停止，连接AD，过点D作DE⊥AB于点E，作DF⊥AC于点F，当时，求点D的坐标；
（3）如图3，设点P是线段AD的中点，连接PE、PF、EF，在点D由起点B运动到终点C的过程中，求△PEF周长的最小值．
2020-2021学年湖北省武汉市洪山区九年级（下）月考数学试卷（4月份）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）
1．（3分）﹣2021的倒数（ ）
A．﹣2021 B．2021 C．﹣ D．
【解答】解：﹣2021的倒数为：﹣．
故选：C．
2．（3分）下列说法中，正确的是（ ）
A．“打开电视，正在播放湖北新闻节目”是必然事件
B．某种彩票中奖概率为10%是指买十张一定有一张中奖
C．“明天降雨的概率是50%表示明天有半天都在降雨”
D．“掷一次骰子，向上一面的数字是2”是随机事件
【解答】解：A、打开电视，正在播放湖北新闻节目”是随机事件，故A不符合题意；
B、某种彩票中奖概率为10%是指买十张有可能中奖，故B不符合题意；
C、明天降雨的概率是50%表示明天有可能降雨”，故C不符合题意；
D、“掷一次骰子，向上一面的数字是2”是随机事件，故D符合题意；
故选：D．
3．（3分）下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．伟 B．大 C．中 D．华
【解答】解：A、“伟”不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B、“大”是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、“中”既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
D、“华”不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：C．
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．＝±3 B．|﹣3|＝﹣3 C．﹣＝﹣3 D．﹣32＝9
【解答】解：A、＝3，故A选项错误；
B、|﹣3|＝3，故B选项错误；
C、﹣＝﹣3，故C选项正确；
D、﹣32＝﹣9，故D选项错误；
故选：C．
5．（3分）如图是由几个相同的小正方体组成立体图形的俯视图，数字表示其位置上的小正方体的个数，则该立体图形的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：该立体图形的主视图是．
故选：B．
6．（3分）在5瓶饮料中，有3瓶已过保质期，从这5瓶饮料中任取2瓶，取到2瓶都不过期的概率为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：把已过保质期的饮料记为A，不过保质期的饮料记为B，
画树状图如图：
共有20个等可能的结果，取到2瓶都不过期的结果有2个，
∴取到2瓶都不过期的概率为＝，
故选：C．
7．（3分）点（x1，y1）、（x2，y2）、（x3，y3）在反比例函数的图象上，且x1＜0＜x2＜x3，则有（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y3＜y1 C．y1＜y3＜y2 D．y3＜y2＜y1
【解答】解：∵k＜0，
∴函数图象在二，四象限，由x1＜0＜x2＜x3可知，横坐标为x1的点在第二象限，横坐标为x2，x3的点在第四象限．
∵第四象限内点的纵坐标总小于第二象限内点的纵坐标，
∴y1最大，在第二象限内，y随x的增大而增大，
∴y2＜y3＜y1．
故选：B．
8．（3分）甲、乙施工队分别从两端修一段长度为380米的公路．在施工过程中，乙队曾因技术改进而停工一天，之后加快了施工进度并与甲队共同按期完成了修路任务．下表是根据每天工程进度绘制而成的．
施工时间/天
1
2
3
4
5
6
7
8
9
累计完成施工量/米
35
70
105
140
160
215
270
325
380
下列说法错误的是（ ）
A．甲队每天修路20米
B．乙队第一天修路15米
C．乙队技术改进后每天修路35米
D．前七天甲，乙两队修路长度相等
【解答】解：由题意可得，
甲队每天修路：160﹣140＝20（米），故选项A正确；
乙队第一天修路：35﹣20＝15（米），故选项B正确；
乙队技术改进后每天修路：215﹣160﹣20＝35（米），故选项C正确；
前7天，甲队修路：20×7＝140米，乙队修路：270﹣140＝130米，故选项D错误；
故选：D．
9．（3分）如图一个扇形纸片的圆心角为90°，半径为6．将这张扇形纸片折叠，使点A与点O恰好重合，折痕为CD，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：连接OD，如图，
∵扇形纸片折叠，使点A与点O恰好重合，折痕为CD，
∴AC＝OC，
∴OD＝2OC＝6，
∴CD＝＝3，
∴∠CDO＝30°，∠COD＝60°，
∴由弧AD、线段AC和CD所围成的图形的面积＝S扇形AOD﹣S△COD＝﹣×3×3＝6π﹣，
∴阴影部分的面积为﹣2×（6π﹣）＝9﹣3π，
故选：A．
10．（3分）如图，过原点的直线与反比例函数y＝（k＞0）的图象交于A、B两点，点A在第一象限，点C在x轴正半轴上，连接AC交反比例函数图象于点D，AE为∠BAC的平分线，过点B作AE的垂线，垂足为E，连接DE，若AC＝3DC，△ADE的面积为8，则k的值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【解答】解：连接OE，CE，过点A作AF⊥x轴，过点D作DH⊥x轴，过点D作DG⊥AF，
∵过原点的直线与反比例函数y＝（k＞0）的图象交于A，B两点，
∴A与B关于原点对称，
∴O是AB的中点，
∵BE⊥AE，
∴OE＝OA，
∴∠OAE＝∠AEO，
∵AE为∠BAC的平分线，
∴∠DAE＝∠AEO＝∠OAE，
∴AD∥OE，
∴S△ACE＝S△AOC，
∵AC＝3DC，△ADE的面积为8，
∴S△ACE＝S△AOC＝12，
设点A（m，），
∵AC＝3DC，DH∥AF，
∴3DH＝AF，
∴D（3m，），
∵CH∥GD，AG∥DH，
∴△DHC∽△AGD，
∴S△HDC＝S△ADG，
∵S△AOC＝S△AOF+S梯形AFHD+S△HDC＝k+（DH+AF）×FH+S△HDC＝k+××2m+×××2m＝k++＝12，
∴2k＝12，
∴k＝6；
方法二：求出D的坐标可以求出FH＝2m，FC＝3m，OC＝4m，×4m×（）＝2k＝12，可得k＝6．
故选：B．
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11．（3分）＝ 2 ．
【解答】解：＝＝2．
故答案为：2．
12．（3分）“植树节”时，九年级一班6个小组的植树棵数分别是：5，7，3，x，6，4．已知这组数据的众数是5，则该组数据的平均数是 5 ．
【解答】解：∵这组数据的众数是5，
∴x＝5，
则平均数为：＝5．
故答案为：5．
13．（3分）关于x的分式方程＝1的解是 x＝1 ．
【解答】解：去分母得：x2﹣x﹣2+x＝x2﹣2x，
解得：x＝1，
经检验x＝1是分式方程的解，
故答案为：x＝1
14．（3分）在一次数学课外实践活动中，小明想测量树AB的高度，若小明在与树底端B在同一水平面上的C点测得树的顶端A的仰角为37°，BC＝40m，则树高AB约 30 m，（参考数据：，，）
【解答】解：如图，在直角△ABC中，∠B＝90°，∠C＝37°，BC＝40m，
故tanC＝，
则AB＝30（m），
答：树高AB约30m．
故答案为：30．
15．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于点A（﹣3，0）、B（1，0）．下列结论：①2a﹣b＝0；②2c＝3b；③当a＜0时，无论m取何值都有a﹣b≥am2+bm；④若a＜0时，抛物线交y轴于点C，且△ABC是等腰三角形，c＝或； ⑤抛物线交y轴于正半轴，抛物线上的两点E（x1，y1）、F（x2，y2）且x1＜x2，x1+x2＞﹣2，则y1＞y2；则其中正确的是 ①③④⑤ ．（填写所有正确结论的序号）
【解答】解：①∵二次函数与x轴交于点A（﹣3，0）、B（1，0）．
∴二次函数的对称轴为x＝＝﹣1，即﹣＝﹣1，
∴2a﹣b＝0．
故①正确；
②∵二次函数y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣3，0）、B（1，0）．
∴9a﹣3b+c＝0，a+b+c＝0，
又∵b＝2a．
∴b+c＝0，
∴2c＝﹣3b．
故②错误；
③∵a＜0，
∴抛物线开口向下．
∴x＝﹣1时，二次函数有最大值．
∴a﹣b+c≥am2+bm+c．
即a﹣b≥am2+bm．
故③正确；
④由图象可得，AC≠BC．
当BC＝AB＝4时，则12+c2＝42，解得c＝，
当AC＝AB＝4时，则32+c2＝42，解得c＝
故△ABC是等腰三角形时，c＝或，
故④正确；
⑤由题意可知，点E（x1，y1）到对称轴的距离小于点F（x2，y2）到对称轴的距离，
∴y1＞y2，
故⑤正确；
故答案为①③④⑤．
16．（3分）把边长为2的正方形纸片ABCD分割成如图的四块，其中点O为正方形的中心，点E，F分别为AB，AD的中点．用这四块纸片拼成与此正方形不全等的四边形MNPQ（要求这四块纸片不重叠无缝隙），则四边形MNPQ的周长是 6+2或10或8+2 ．
【解答】解：如图所示：
图1的周长为1+2+3+2＝6+2；
图2的周长为1+4+1+4＝10；
图3的周长为3+5++＝8+2．
故四边形MNPQ的周长是6+2或10或8+2．
故答案为：6+2或10或8+2．
三、解答题（本大题共8小题，共72.0分）
17．解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．
【解答】解：解不等式3﹣x＞0，得：x＜3，
解不等式5x﹣2≥3（x﹣2），得：x≥﹣2，
则不等式组的解集为﹣2≤x＜3，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
18．已知：如图，∠A＝∠ABC＝90°，∠1+∠BFE＝180°，那么BD∥EF吗？为什么？
【解答】解：∵∠A＝∠ABC＝90°，
∴AD∥BC，
∴∠1＝∠DBF，
∵∠1+∠BFE＝180°，
∴∠DBF+∠BFE＝180°，
∴BD∥EF．
19．某中学为了了解学生每天完成家庭作业所用时间的情况，从每班抽取相同数量的学生进行调查，并将所得数据进行整理，制成条形统计图和扇形统计图如图：
（1）补全条形统计图；
（2）求扇形统计图扇形D的圆心角的度数；
（3）若该中学有2000名学生，请估计其中有多少名学生能在1.5小时内完成家庭作业？
【解答】解：（1）抽取的总人数是：10÷25%＝40（人），
在B类的人数是：40×30%＝12（人）．
；
（2）扇形统计图扇形D的圆心角的度数是：360×＝27°；
（3）能在1.5小时内完成家庭作业的人数是：2000×（25%+30%+35%）＝1800（人）．
20．如图，∠AOB在由边长相等的小正方形组成的网格内，点C、D在射线OB上，请你利用网格：
（1）作∠AOB的平分线OP；
（2）在射线OP上找一点Q，使QC＝QD；
（3）在正方形网格中存在 9 个格点，使得该格点与C、D两点构成等腰三角形．
【解答】解：（1）如图，射线OP即为所求．
（2）如图，点Q即为所求．
（3）如图，满足条件的点有9个，
故答案为9．
21．如图1，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，过点C作∠BCD＝∠ACB交⊙O于点D，连接AD交BC于点E，延长DC至点F，使CF＝AC，连接AF．
（1）求证：AF是⊙O的切线；
（2）如图2，若点G是△ACD的内心，BC•BE＝25，求BG的长．
【解答】解：（1）如图1，连接OA，
∵AB＝AC，
∴＝，
∴OA⊥BC，
∵CA＝CF，
∴∠CAF＝∠CFA，
∴∠ACD＝∠CAF+∠CFA＝2∠CAF，
∵∠ACB＝∠BCD，
∴∠ACD＝2∠ACB，
∴∠CAF＝∠ACB，
∴AF∥BC，
∴OA⊥AF，
∴AF为⊙O的切线；
（2）∵∠ABE＝∠CBA，∠BAD＝∠BCD＝∠ACB，
∴△ABE∽△CBA，
∴，
∴AB2＝BC•BE，
∵BC•BE＝25，
∴AB＝5，
如图2，连接AG，
∴∠BAG＝∠BAD+∠DAG，∠BGA＝∠GAC+∠ACB，
∵点G为内心，
∴∠DAG＝∠GAC，
又∵∠BAD+∠DAG＝∠GAC+∠ACB，
∴∠BAG＝∠BGA，
∴BG＝AB＝5．
22．某企业计划对某种设备进行升级改造，升级改造结束后在一定时间内进行生产营销，设改造设备的台数为x：现有甲、乙两种改造方案甲方案：
甲方案，升级后每台设备的生产营销利润为4000元，但改造支出费用Q甲，由材料费、施工费以及其他费用三部分组成，其中材料费与x的平方成正比例，施工费与x成正比例，其他费用为2500元．（总利润＝生产营销利润﹣改造支出费用），设甲方案的总利润为W甲（元），经过调查分析，得到如下数据：
改造台数x
20
40
总利润W甲（元）
9500
5500
乙方案：升级后每台设备的生产营销利润为3500元，改造费用Q乙与x之间满足函数关系式为Q乙＝（1500+20a）x（a为常数，60≤a≤90），且在使用过程中一共还需支出维护费用4x2；（总利润＝生产营销利润﹣改造支出费﹣维护费），设乙方案的总利润为W乙（元）．
（1）求W甲与x的函数关系式；
（2）若W甲，W乙的最大值相等，求a的值；
（3）如果要将30台设备升级改造，请你通过分析，帮企业决策选择甲方案还是乙方案才能使所获得利润较大．
【解答】解：（1）由题意得：
W甲＝4000x﹣Q甲＝4000x﹣mx2﹣nx﹣2500＝﹣mx2+（4000﹣n）x﹣2500，
当x＝20时，W甲＝9500；当x＝40时，W甲＝5500，代入整理得：
，解得：m＝20，n＝3000
∴W甲与x的函数关系式为W甲＝﹣20x2+1000x﹣2500，
答：W甲与x的函数关系式为W甲＝﹣20x2+1000x﹣2500．
（2）由题意得：
W乙＝3500x﹣Q乙﹣4x2＝﹣4x2+（2000﹣20a）x，
当W甲，W乙的最大值相等时，则有＝，
解得：a＝80或a＝120，
又∵60≤a≤90，
∴a＝80．
答：a的值为80．
（3）W甲＝20x2+1000x﹣2500，W乙＝﹣4x2+（2000﹣20a）x，
当x＝30时，W甲＝9500，W乙＝﹣600a+56400，
①当W甲＞W乙时，即：9500＞﹣600a+56400，解得：a＞，
∴当＜a≤90时，选择甲方案获利最多；
②当W甲＝W乙时，即：9500＝﹣600a+56400，解得：a＝，
∴当a＝时，甲、乙方案获利一样多；
③当W甲＜W乙时，即：9500＜﹣600a+56400，解得：a＜，
∴当60≤a＜时，选择乙方案获利最多；
答：当＜a≤90时，选择甲方案获利最多；当a＝时，甲、乙方案获利一样多；当60≤a＜时，选择乙方案获利最多．
23．如图①，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点E在AC上（且不与点A、C重合），在△ABC的外部作等腰Rt△CED，使∠CED＝90°，连接AD，分别以AB，AD为邻边作平行四边形ABFD，连接AF．
（1）请直接写出线段AF，AE的数量关系；
（2）①将△CED绕点C逆时针旋转，当点E在线段BC上时，如图②，连接AE，请判断线段AF，AE的数量关系，并证明你的结论；
②若AB＝2，CE＝2，在图②的基础上将△CED绕点C继续逆时针旋转一周的过程中，当平行四边形ABFD为菱形时，直接写出线段AE的长度．
【解答】解：（1）如图①中，结论：AF＝AE．
理由：∵四边形ABFD是平行四边形，
∴AB＝DF，
∵AB＝AC，
∴AC＝DF，
∵DE＝EC，
∴AE＝EF，
∵∠DEC＝∠AEF＝90°，
∴△AEF是等腰直角三角形，
∴AF＝AE．
故答案为AF＝AE．
（2）①如图②中，结论：AF＝AE．
理由：连接EF，DF交BC于K．
∵四边形ABFD是平行四边形，
∴AB∥DF，
∴∠DKE＝∠ABC＝45°，
∴∠EKF＝180°﹣∠DKE＝135°，EK＝ED，
∵∠ADE＝180°﹣∠EDC＝180°﹣45°＝135°，
∴∠EKF＝∠ADE，
∵∠DKC＝∠C，
∴DK＝DC，
∵DF＝AB＝AC，
∴KF＝AD，
在△EKF和△EDA中，
，
∴△EKF≌△EDA，
∴EF＝EA，∠KEF＝∠AED，
∴∠FEA＝∠BED＝90°，
∴△AEF是等腰直角三角形，
∴AF＝AE．
②如图③中，当AD＝AC时，四边形ABFD是菱形，设AE交CD于H，易知EH＝DH＝CH＝，AH＝＝3，AE＝AH+EH＝4，
如图④中当AD＝AC时，四边形ABFD是菱形，易知AE＝AH﹣EH＝3﹣＝2，
综上所述，满足条件的AE的长为4或2．
24．如图1，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，抛物线与x轴交于点A（4，0），点B（﹣1，0），与y轴交于点C，连接AC、BC．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图2，点D从点B出发沿线段BC向点C运动，到达点C停止，连接AD，过点D作DE⊥AB于点E，作DF⊥AC于点F，当时，求点D的坐标；
（3）如图3，设点P是线段AD的中点，连接PE、PF、EF，在点D由起点B运动到终点C的过程中，求△PEF周长的最小值．
【解答】解：（1）将A（4，0），B（﹣1，0）代入y＝+bx+c得：
，解得b＝﹣，c＝﹣3，
∴抛物线的函数表达式为：y＝x2﹣x﹣3；
（2）如图：
∵抛物线的函数表达式：y＝x2﹣x﹣3，A（4，0），点B（﹣1，0）
∴AB＝5，令x＝0得y＝﹣3，
∴C（0，﹣3），OC＝3，
∴AC＝5，
∴AC＝AB＝5，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED＝∠CFD＝90°，
∴△DCF∽△DBE，
∴＝＝，
∴＝，
∵DE⊥x轴，
∴DE∥OC，
∴＝＝＝，
又∵OC＝3，OB＝1，
∴DE＝1，BE＝，
∴OE＝1﹣＝，
∴D（﹣，﹣1）；
（3）∵DE⊥AB，DF⊥AC，P是线段AD的中点，
∴PE＝PD＝PA＝PF＝AD（注：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），
∴A、E、D、F四点在以P为圆心，EP为半径的圆上，
∴∠EPF＝2∠EAF，
∵∠EAF是定值，
∴△PEF是顶角不变的等腰三角形，
∴腰长最小，即AD最小时，PE、PF、EF均最小，
AD最小时，AD⊥BC，如图：
∵AD⊥BC，AB＝AC，
∴D为BC中点，
而DE∥OC，
∴BE＝BE＝，AE＝，
∴＝9，
∴＝＝，
∵BC＝＝，
∴EF＝，BD＝BC＝，
∴AD＝＝，
∴PE+PF＝，
∴△PEF周长的最小值为PE+PF+EF＝+＝．
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日期：2022/2/21 14:07:58；用户：校园号；邮箱：gx998@xyh.com；学号：40932698
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