2022-2023学年广东省梅州市丰顺县三友联合中学七年级（下）开学数学试卷(含解析)

这是一份2022-2023学年广东省梅州市丰顺县三友联合中学七年级（下）开学数学试卷(含解析)，共24页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题，田凹应弃之”判断也可．等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年广东省梅州市丰顺县三友联合中学七年级（下）开学数学试卷
一、单选题：本大题共10小题，每小题3分，共30分。
1．如果3ab3m﹣1与9abm+1是同类项，那么m等于（　　）
A．2 B．1 C．﹣1 D．0
2．下列计算错误的是（　　）
A．3a+2a＝5a B．﹣b﹣b＝﹣2b
C．2a2b2﹣2ab＝ab D．5a3b﹣3ba3＝2a3b
3．有一项城市绿化整治任务交甲、乙两个工程队完成，已知甲单独做10天完成，乙单独做8天完成，若甲先做1天，然后甲、乙合作x天后，共同完成任务，则可列方程为（　　）
A． B． C． D．
4．下面的图形中是正方体的展开图的是（　　）
A． B．
C． D．
5．若2x﹣3和1﹣4x互为相反数，则x的值是（　　）
A．0 B．1 C．﹣1 D．
6．已知单项式和是同类项，则代数式xy的值是（　　）
A．9 B．﹣9 C．6 D．﹣6
7．若（m﹣2）x|m|﹣1＝3是关于x的一元一次方程，则m的值是（　　）
A．﹣2 B．1 C．2 D．±2
8．如图，a∥b，c，d是截线，∠1＝70°，∠2﹣∠3＝30°，则∠4的大小是（　　）

A．100° B．105° C．110° D．120°
9．将两块直角三角尺的直角顶点重合为如图的位置，若∠AOC＝10°，则∠BOD的度数是（　　）

A．10° B．20° C．70° D．80°
10．七年级学生在参加校外实践活动中，有m位师生乘坐n辆客车．若每辆客车乘42人，则还有8人不能上车，若每辆客车乘45人，则最后一辆车空了16个座位．在下列四个方程：①42n﹣8＝45n+16；②＝；③＝；④42n+8＝45n﹣16中，其中正确的有（　　）
A．①③ B．②④ C．①④ D．③④
二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。
11．操场上站成一排的100名学生进行报数游戏，规则是：每人依次报自己的顺序数的倒数加1，如：第一人报（+1），第二人报（+1），第三人报（+1），…，第100人报（+1），这样得到的100个数的积为　 　．
12．小明妈妈想检测小明学习“列方程解应用题”的效果，给了小明37个苹果，要小明把它们分成4堆．要求分后，如果再把第一堆增加一倍，第二堆增加2个，第三堆减少三个，第四堆减少一半后，这4堆苹果的个数相同，那么这四堆苹果中个数最多的一堆为　 　个．
13．10位裁判给一位运动员打分，每个人给的分数都是整数，去掉一个最高分，再去掉一个最低分，其余得分的平均数为该运动员的得分．若用四舍五入取近似值的方法精确到十分位，该运动员得9.4分，如果精确到百分位，该运动员得分应当是　 　分．
14．如图，AB＝20cm，AO＝PO＝2cm，∠POQ＝60°，现点P绕着点O以30°/s的速度顺时针旋转一周后停止，同时点Q沿直线BA自B点向A点运动，假若点P、Q两点也能相遇，则点Q运动的速度为 　 　cm/s．

15．∠AOB＝40°，BC∥OA，过点C作直线OA的垂线，点D为垂足，若∠OCD＝2∠OCB，则∠COB为　 　度．
16．已知x、y、z为有理数，且|x+y+z+1|＝x+y﹣z﹣2，则＝　 　．
17．已知a，b，c，d分别是一个四位数的千位，百位，十位，个位上的数字，且低位上的数字不小于高位上的数字，当|a﹣b|+|b﹣c|+|c﹣d|+|d﹣a|取得最大值时，这个四位数的最小值是 　 　．
三、解答题：第18，19.20小题6分，第21，22，23小题9分，第24，25小题10分。
18．（1）|6﹣10|﹣4×（﹣3）；
（2）﹣14×2+（﹣3）2÷9．
19．如图，将一副直角三角板叠放在一起，使直角顶点重合于点O．
（1）若OC平分∠AOB，求∠DOB的度数．
（2）求∠AOD+∠BOC的值．

20．如图（1）在4×4的方格中，每个小正方形的边长均为1．
（1）求图（1）中正方形ABCD的面积为 　 　；边长为 　 　．
（2）如图（2），若点A在数轴上表示的数是﹣1，以A为圆心，AD长为半径画圆弧与数轴的正半轴交于点E，求点E表示的数为 　 　．

21．如图，在△ABC中，AE是△ABC的高．

（1）如图1，AD是∠BAC的平分线，若∠B＝38°，∠C＝62°，求∠DAE的度数．
（2）如图2，延长AC到点F，∠CAE和∠BCF的平分线交于点G，求∠G的度数．

22．如图1，将三角形ABD平移，使D沿BD的延长线移至C得到三角形A'B'D'，A'B'交AC于点E，AD平分∠BAC．
（1）猜想∠B'EC与∠A'之间的关系，并写出理由；
（2）将三角形ABD平移至如图2所示位置，得到三角形A'B'D'，请问：A'D'平分∠B'A'C吗？为什么？

23．如图1，将一副直角三角板的两顶点重合叠放于点O，其中一个三角板的顶点C落在另一个三角板的边OA上．已知∠ABO＝∠DCO＝90°，∠AOB＝45°，∠COD＝60°，作∠AOD的平分线交边CD于点E．
（1）求∠BOE的度数；
（2）如图2，若点C不落在边OA上，其它条件不变，当∠COE＝15°时，求∠BOD的度数．

24．将一副三角板的两个锐角顶点重合，∠AOB＝45°，∠COD＝30°，OM、ON分别是∠AOC、∠BOD的平分线．
（1）如图1，当OB与OC重合时，则∠MON的大小为 　 　；
（2）当∠COD绕着点O旋转至如图2所示，且∠BOC＝10°时，求∠MON的度数；
（3）当∠COD绕着点O旋转至如图3所示，且∠BOC＝n°时，求∠MON的度数．


25．如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠AOC＝60°．将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．
（1）将图1中的三角板绕点O处逆时针旋转至图2，使一边OM在∠BOC的内部．且恰好平分∠BOC，求∠CON与∠AOM的度数．
（2）将图1中的三角板绕点O顺时针旋转至图3，使ON在∠AOC的内部．请探究：∠CON与∠AOM之间的数量关系，并说明理由．
（3）将图1中的三角板绕点O按每秒10°的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时．直线ON恰好平分锐角∠AOC，则t的值为 　 　秒（直接写出结果）．




参考答案
一、单选题：本大题共10小题，每小题3分，共30分。
1．如果3ab3m﹣1与9abm+1是同类项，那么m等于（　　）
A．2 B．1 C．﹣1 D．0
【分析】所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项，由此即可计算．
解：∵3ab3m﹣1与9abm+1是同类项，
∴3m﹣1＝m+1，
∴m＝1．
故选：B．
【点评】本题考查同类项的概念，关键是掌握同类项的定义．
2．下列计算错误的是（　　）
A．3a+2a＝5a B．﹣b﹣b＝﹣2b
C．2a2b2﹣2ab＝ab D．5a3b﹣3ba3＝2a3b
【分析】根据合并同类项的法则进行计算即可解答．
解：A.3a+2a＝5a，故A不符合题意；
B．﹣b﹣b＝﹣2b，故B不符合题意；
C.2a2b2与2ab不能合并，故C符合题意；
D.5a3b﹣3ba3＝2a3b，故D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了合并同类项，熟练掌握合并同类项的运算法则是解题的关键．
3．有一项城市绿化整治任务交甲、乙两个工程队完成，已知甲单独做10天完成，乙单独做8天完成，若甲先做1天，然后甲、乙合作x天后，共同完成任务，则可列方程为（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据甲完成的工程量+乙完成的工程量＝总工程量，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
解：依题意得：+＝1．
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
4．下面的图形中是正方体的展开图的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据正方体展开图的11种形式对各小题分析判断即可得解．
解：A、D中有4个正方形是“田字形”，不是正方体展开图；C、少了一个面，不是正方体展开图；不符合正方体展开图；
B、属于正方体展开图的1﹣4﹣1型，符合正方体展开图；
故选：B．
【点评】本题考查了正方体的展开图，熟记展开图的11种形式是解题的关键，利用不是正方体展开图的“一线不过四、田凹应弃之”（即不能出现同一行有多于4个正方形的情况，不能出现田字形、凹字形的情况，）判断也可．
5．若2x﹣3和1﹣4x互为相反数，则x的值是（　　）
A．0 B．1 C．﹣1 D．
【分析】根据相反数的定义即可求出答案．
解：由题意可知：2x﹣3+1﹣4x＝0
∴﹣2x﹣2＝0，
∴x＝﹣1
故选：C．
【点评】本题考查一元一次方程的解法，解题的关键是熟练运用一元一次方程的解法，本题属于基础题型．
6．已知单项式和是同类项，则代数式xy的值是（　　）
A．9 B．﹣9 C．6 D．﹣6
【分析】根据同类项的概念列式求出x、y，计算即可．
解：由题意可得，2x+7＝1，3y＝6，
解得x＝﹣3，y＝2，
∴xy＝（﹣3）2＝9，
故选：A．
【点评】本题考查的是同类项的概念，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项．
7．若（m﹣2）x|m|﹣1＝3是关于x的一元一次方程，则m的值是（　　）
A．﹣2 B．1 C．2 D．±2
【分析】根据一元一次方程的定义即可求出答案．只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的整式方程叫一元一次方程．
解：∵（m﹣2）x|m|﹣1＝5是关于x的一元一次方程，
∴，
解得m＝﹣2．
故选：A．
【点评】本题考查一元一次方程，解题的关键是正确运用一元一次方程的定义．
8．如图，a∥b，c，d是截线，∠1＝70°，∠2﹣∠3＝30°，则∠4的大小是（　　）

A．100° B．105° C．110° D．120°
【分析】首先根据邻补角的定义求得∠2的度数，则∠3即可求得，然后根据平行线的性质求得∠5，进而求得∠4．
解：∠2＝180°﹣∠1＝180°﹣70°＝110°，
∵∠2﹣∠3＝30°，
∴∠3＝∠2﹣30°＝110°﹣30°＝80°，
∵a∥b，
∴∠5＝∠3＝80°，
∴∠4＝180°﹣∠5＝180°﹣80°＝100°．
故选：A．

【点评】本题考查了邻补角的定义和平行线的性质，两直线平行，同位角相等，理解角之间的位置关系是关键．
9．将两块直角三角尺的直角顶点重合为如图的位置，若∠AOC＝10°，则∠BOD的度数是（　　）

A．10° B．20° C．70° D．80°
【分析】根据同角的余角相等即可求解．
解：由图可得，∠AOC、∠BOD都是∠BOC的余角，则∠BOD＝∠AOC＝10°．
故选：A．
【点评】此题主要考查余角的性质：同角的余角相等．
10．七年级学生在参加校外实践活动中，有m位师生乘坐n辆客车．若每辆客车乘42人，则还有8人不能上车，若每辆客车乘45人，则最后一辆车空了16个座位．在下列四个方程：①42n﹣8＝45n+16；②＝；③＝；④42n+8＝45n﹣16中，其中正确的有（　　）
A．①③ B．②④ C．①④ D．③④
【分析】首先要理解清楚题意，知道总的客车数量及总的人数不变，然后采用排除法进行分析从而得到正确答案．
解：根据总人数列方程，应是：42n+8＝45n﹣16，
根据客车数列方程，应该为：＝；
故选：D．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，关键是正确理解题意，能够根据不同的等量关系列方程．
二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。
11．操场上站成一排的100名学生进行报数游戏，规则是：每人依次报自己的顺序数的倒数加1，如：第一人报（+1），第二人报（+1），第三人报（+1），…，第100人报（+1），这样得到的100个数的积为　101　．
【分析】经过计算得到第一位同学报的数为，第二位同学报的数为，第三位同学报的数为，即每位同学报的数为分母是该学生的序号数、分子比分母大1的分数，所以第100位同学报的数为，然后把这些数相乘，约分后即可得到答案．
解：∵第一位同学报的数为+1＝，第二位同学报的数为+1＝，第三位同学报的数为+1＝，
∴第100位同学报的数为+1＝，
∴这样得到的100个数的积＝×××…×＝101．
故答案为：101．
【点评】本题考查了规律型：数字的变化类：通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．
12．小明妈妈想检测小明学习“列方程解应用题”的效果，给了小明37个苹果，要小明把它们分成4堆．要求分后，如果再把第一堆增加一倍，第二堆增加2个，第三堆减少三个，第四堆减少一半后，这4堆苹果的个数相同，那么这四堆苹果中个数最多的一堆为　16　个．
【分析】设要求分后这4堆苹果相同的个数为x，则要求分前第一堆为x个，第二堆x﹣2个，第三堆x+3个，第四堆2x个，利用四堆苹果的总数量为37个，建立方程求解，即可得出结论．
解：设要求分后这4堆苹果相同的个数为x，则要求分后，第一堆为x个，第二堆x﹣2个，第三堆x+3个，第四堆2x个，
根据题意得，x+x﹣2+x+3+2x＝37，
∴x＝8，
∴要求分后第一堆为x＝4个，第二堆x﹣2＝6个，第三堆x+3＝11个，第四堆2x＝16个，
∴最多的是第四堆，有16个，
故答案为16．
【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，审清题意，设出要求分后这4堆苹果相同的个数为x是解本题的关键．
13．10位裁判给一位运动员打分，每个人给的分数都是整数，去掉一个最高分，再去掉一个最低分，其余得分的平均数为该运动员的得分．若用四舍五入取近似值的方法精确到十分位，该运动员得9.4分，如果精确到百分位，该运动员得分应当是　9.38　分．
【分析】应根据得9.4分得到8位裁判的准确打分和，除以8，再保留2位小数即可．
解：用四舍五入取近似值的方法精确到一位小数能得到9.4的数值范围是：（大于等于9.35和小于9.45之间）
∴10个裁判去掉最高和最低得分后，实际取值就是8个人的分数．
∴该运动员的有效总得分在大于或等于9.35×8＝74.8分和小于9.45×8＝75.6之间．
∵每个裁判给的分数都是整数，
∴得分总和也是整数，
在74.8和75.6之间只有75是整数，
∴该运动员的有效总得分是75分．
∴得分为：75÷8≈9.375，
精确到两位小数就是9.38．
故答案是：9.38．
【点评】考查了算术平均数，近似数和有效数字．得到得分为两位小数的准确分值的范围，及得到8位裁判的准确打分和是难点．
14．如图，AB＝20cm，AO＝PO＝2cm，∠POQ＝60°，现点P绕着点O以30°/s的速度顺时针旋转一周后停止，同时点Q沿直线BA自B点向A点运动，假若点P、Q两点也能相遇，则点Q运动的速度为 　8或2.5　cm/s．

【分析】由于点P，Q只能在直线AB上相遇，而点P旋转到直线AB上的时间分两种情况，所以根据题意列出方程分别求解．
解：点P，Q只能在直线AB上相遇，
则点P旋转到直线AB上的时间为＝2s，或＝8s，
设点Q的速度为ycm/s，
则有2y＝20﹣4，
解得y＝8；
或8y＝20，
解得y＝2.5；
∴点Q的速度为8cm/s或2.5cm/s．
故答案为：8或2.5．
【点评】此题考查的知识点是一元一次方程的应用，关键是熟练掌握速度、路程、时间的关系．
15．∠AOB＝40°，BC∥OA，过点C作直线OA的垂线，点D为垂足，若∠OCD＝2∠OCB，则∠COB为　10或110　度．
【分析】分两种情况讨论：点D在AO上时，点D在AO的延长线上时，分别依据平行线的性质，即可得到∠COB的度数．
解：如图所示，当点D在AO上时，
∵BC∥OA，CD⊥AO，
∴∠BCD＝90°，
又∵∠OCD＝2∠OCB，
∴∠BCO＝30°＝∠AOC，
又∵∠AOB＝40°，
∴∠COB＝40°﹣30°＝10°；
如图所示，当点D在AO的延长线上时，
∵BC∥OA，CD⊥AO，
∴∠BCD＝90°，
又∵∠OCD＝2∠OCB，
∴∠BCO＝30°＝∠DOC，
又∵∠AOB＝40°，
∴∠COB＝180°﹣40°﹣30°＝110°；
故答案为：10或110．


【点评】本题主要考查了平行线的性质以及垂线的定义，解题时注意：两直线平行，内错角相等．
16．已知x、y、z为有理数，且|x+y+z+1|＝x+y﹣z﹣2，则＝　0　．
【分析】根据绝对值的意义得到|x+y+z+1|＝x+y+z+1或|x+y+z+1|＝﹣（x+y+z+1），则x+y+z+1＝x+y﹣z﹣2或﹣（x+y+z+1）＝x+y﹣z﹣2，解得z＝﹣或x+y＝，然后把z＝﹣或x+y＝分别代入中计算即可．
解：∵|x+y+z+1|＝x+y+z+1或|x+y+z+1|＝﹣（x+y+z+1），
∴x+y+z+1＝x+y﹣z﹣2或﹣（x+y+z+1）＝x+y﹣z﹣2，
∴z＝﹣或x+y＝，
当z＝﹣时，＝（x+y﹣）[2×（﹣）+3]＝0；
当x+y＝时，＝（﹣）（2z+3）＝0，
综上所述，的值为0．
故答案为0．
【点评】本题考查了绝对值：当a是正数时，a的绝对值是它本身a； 当a是负数时，a的绝对值是它的相反数﹣a； 当a是零时，a的绝对值是零．
17．已知a，b，c，d分别是一个四位数的千位，百位，十位，个位上的数字，且低位上的数字不小于高位上的数字，当|a﹣b|+|b﹣c|+|c﹣d|+|d﹣a|取得最大值时，这个四位数的最小值是 　1119　．
【分析】依题意a≤b≤c≤d 原式＝（b﹣a）+（c﹣b）+（d﹣c）+（d﹣a）＝2（d﹣a）最大，所以d＝9，a＝1，即可求解．
解：依题意a≤b≤c≤d，
则原式＝（b﹣a）+（c﹣b）+（d﹣c）+（d﹣a）＝2（d﹣a）最大，
则d＝9，a＝1 四位数要取最小值且可以重复，
故答案为1119．
【点评】此题考查了绝对值的性质，同时要根据低位上的数字不小于高位上的数字进行逻辑推理．
三、解答题：第18，19.20小题6分，第21，22，23小题9分，第24，25小题10分。
18．（1）|6﹣10|﹣4×（﹣3）；
（2）﹣14×2+（﹣3）2÷9．
【分析】（1）原式先算绝对值及乘法运算，再算加法运算即可求出值；
（2）原式先算乘方运算，再算乘除运算，最后算加减运算即可求出值．
解：（1）原式＝|﹣4|﹣4×（﹣3）
＝4﹣（﹣12）
＝4+12
＝16；
（2）原式＝﹣1×2+9÷9
＝﹣2+1
＝﹣1．
【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
19．如图，将一副直角三角板叠放在一起，使直角顶点重合于点O．
（1）若OC平分∠AOB，求∠DOB的度数．
（2）求∠AOD+∠BOC的值．

【分析】（1）根据角平分线的定义求出∠COB，再根据∠DOB＝∠COD﹣∠COB代入数据进行计算即可得解；
（2）表示出∠AOD，再根据图形可知∠DOB+∠BOC＝∠DOC＝90°，然后计算即可得解．
解：（1）∵OC平分∠AOB，∠AOB＝90°，
∴∠COB＝∠AOB＝45°，
∵∠COB+∠BOD＝∠COD＝90°，
∴∠DOB＝∠COD﹣∠COB＝45°；

（2）∵∠AOD＝∠AOB+∠DOB＝90°+∠DOB，
∴∠AOD+∠BOC＝90°+∠DOB+∠BOC，
＝90°+∠DOC，
＝90°+90°，
＝180°．
【点评】本题考查了角的计算，角平分线的定义，准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键．
20．如图（1）在4×4的方格中，每个小正方形的边长均为1．
（1）求图（1）中正方形ABCD的面积为 　10　；边长为 　　．
（2）如图（2），若点A在数轴上表示的数是﹣1，以A为圆心，AD长为半径画圆弧与数轴的正半轴交于点E，求点E表示的数为 　　．

【分析】（1）取小正方形的顶点F，构造Rt△ABF，根据勾股定理求得AB2＝10，则AB＝，S正方形ABCD＝10，于是得到问题的答案；
（2）由OA＝1，AE＝AB＝，得OE＝﹣1，因为点E在数轴的正半轴上，所以点E表示的数是﹣1，于是得到问题的答案．
解：（1）如图（1），取小正方形的顶点F，
∵∠F＝90°，AF＝1，BF＝3，
∴AB2＝AF2+BF2＝12+32＝10，
∴S正方形ABCD＝AB2＝10，AB＝，
故答案为：10，．
（2）∵点A表示的数是﹣1，
∴OA＝1，
∵AE＝AB＝，
∴OE＝﹣1，
∵点E在数轴的正半轴上，
∴点E表示的数是﹣1，
故答案为：﹣1．

【点评】此题重点考查勾股定理的应用、正方形的性质、实数与数轴上的点一一对应等知识，根据勾股定理求出AB2的值是解题的关键．
21．如图，在△ABC中，AE是△ABC的高．

（1）如图1，AD是∠BAC的平分线，若∠B＝38°，∠C＝62°，求∠DAE的度数．
（2）如图2，延长AC到点F，∠CAE和∠BCF的平分线交于点G，求∠G的度数．

【分析】（1）根据三角形的内角和定理可求得∠BAC＝80°，由角平分线的定义可得∠CAD的度数，利用三角形的高线可求∠CAE得度数，进而求解即可得出结论；
（2）由三角形外角的性质结合角平分线的定义可求解∠AEC＝2∠G，根据三角形的高线可求解∠G的度数．
解：（1）∵∠B＝38°，∠C＝62°，∠BAC+∠B+∠C＝180°，
∴∠BAC＝80°，
∵AD是∠BAC的角平分线，
∴∠CAD＝∠BAD＝∠BAC＝40°，
∵AE是△ABC的高，
∴∠AEC＝90°，
∵∠C＝62°，
∴∠CAE＝90°﹣62°＝28°，
∴∠DAE＝∠CAD﹣∠CAE＝12°；
（2）∵∠CAE和∠BCF的角平分线交于点G，
∴∠CAE＝2∠CAG，∠FCB＝2∠FCG，
∵∠CAE＝∠FCB﹣∠AEC，∠CAG＝∠FCG﹣∠G，
∴2∠FCG﹣∠AEC＝2（∠FCG﹣∠G）＝2∠FCG﹣2∠G，
即∠AEC＝2∠G，
∵AE是△ABC的高，
∴∠AEC＝90°，
∴∠G＝45°．
【点评】本题主要考查角平分线的定义，三角形外角的性质，三角形的内角和定理，三角形的高线，角平分线等知识的综合运用．
22．如图1，将三角形ABD平移，使D沿BD的延长线移至C得到三角形A'B'D'，A'B'交AC于点E，AD平分∠BAC．
（1）猜想∠B'EC与∠A'之间的关系，并写出理由；
（2）将三角形ABD平移至如图2所示位置，得到三角形A'B'D'，请问：A'D'平分∠B'A'C吗？为什么？

【分析】（1）如图1，先根据角平分线的定义得到∠BAD＝∠BAC，再根据平移的性质得到∠A′＝∠BAD，A′B′∥AB，利用平行线的性质得到∠B′EC＝∠BAC，从而得到∠B'EC＝2∠A'；
（2）如图2，先根据角平分线的定义得到∠BAD＝∠BAC，再根据平移的性质得到∠B′A′D′＝∠BAD，A′B′∥AB，利用平行线的性质得到∠B′A′C＝∠BAC，所以∠B′A′D′＝B′A′C．
解：（1）∠B'EC＝2∠A'．
利用如下：如图1，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠BAC，
∵△ABD平移得到三角形A'B'D'，
∴∠A′＝∠BAD，A′B′∥AB，
∵AB∥A′B′，
∴∠B′EC＝∠BAC，
∴∠B'EC＝2∠A'；
（2）A'D'平分∠B'A'C．
理由如下：如图2，∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠BAC，
∵△ABD平移得到三角形A'B'D'，
∴∠B′A′D′＝∠BAD，A′B′∥AB，
∵AB∥A′B′，
∴∠B′A′C＝∠BAC，
∴∠B′A′D′＝B′A′C，
即A'D'平分∠B'A'C．

【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线把角分成两相等的两部分．也考查了平移的性质．
23．如图1，将一副直角三角板的两顶点重合叠放于点O，其中一个三角板的顶点C落在另一个三角板的边OA上．已知∠ABO＝∠DCO＝90°，∠AOB＝45°，∠COD＝60°，作∠AOD的平分线交边CD于点E．
（1）求∠BOE的度数；
（2）如图2，若点C不落在边OA上，其它条件不变，当∠COE＝15°时，求∠BOD的度数．

【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠AOE＝30°，再根据角的和差关系计算即可；
（2）根据角的和差关系可得∠DOE＝∠COD﹣∠COE＝45°，根据角平分线的定义可得∠AOD＝2∠DOE＝90°，再根据角的和差关系计算即可．
解：（1）∵∠AOD＝60°，OE平分∠AOD，
∴，
∵∠AOB＝45°，
∴∠BOE＝∠AOE+∠AOB＝75°；

（2）∵∠COD＝60°，∠COE＝15°，
∴∠DOE＝∠COD﹣∠COE＝45°，
∵OE平分∠AOD，
∴∠AOD＝2∠DOE＝90°，
∵∠AOB＝45°，
∴∠BOD＝∠AOD+∠AOB＝135°．
【点评】本题考查了角的计算，特殊角，角平分线的定义，正确的理解题意是解题的关键．
24．将一副三角板的两个锐角顶点重合，∠AOB＝45°，∠COD＝30°，OM、ON分别是∠AOC、∠BOD的平分线．
（1）如图1，当OB与OC重合时，则∠MON的大小为 　37.5°　；
（2）当∠COD绕着点O旋转至如图2所示，且∠BOC＝10°时，求∠MON的度数；
（3）当∠COD绕着点O旋转至如图3所示，且∠BOC＝n°时，求∠MON的度数．


【分析】（1）根据角平分线定义当OB与OC重合时，即可求得∠MON的大小；
（2）根据角平分线定义当∠COD绕着点O旋转至如图②所示，当∠BOC＝10°时，即可求得∠MON的大小；
（3）根据角平分线定义当∠COD绕着点O旋转至如图③所示，当∠BOC＝n°时，即可求得∠MON的大小．
解：（1）∵∠AOB＝45°，∠COD＝30°，OM，ON分别是∠AOC，∠BOD的平分线，
∴∠BON＝∠BOD＝15°，∠MOB＝∠AOC＝22.5°，
∴∠MON＝∠BON+∠BOM＝37.5°．
故答案为：37.5°；
（2）当∠BOC＝10°时，
∠AOC＝35°，∠BOD＝20°，
∴∠BON＝∠BOD＝10°，
∴∠MOC＝∠AOC＝17.5°，
∴∠MON＝∠MOC+∠BON+∠BOC＝17.5°+10°+10°＝37.5°．
答：∠MON的大小为37.5°；
（3）当∠BOC＝n°时，∠AOC＝45°+n°，∠BOD＝30°+n°，
∵∠BON＝∠BOD
＝（30°+n°）＝15°+n°，
∴∠MOB＝∠AOC﹣∠BOC
＝（45°+n°）﹣n°
＝22.5°﹣n°
∴∠MON＝∠MOB+∠BON
＝15°+n°+22.5°﹣n°
＝37.5°．
答：∠MON的大小为37.5°．
【点评】本题考查了角的计算、角平分线定义，加减本题的关键是掌握角平分线定义．
25．如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠AOC＝60°．将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．
（1）将图1中的三角板绕点O处逆时针旋转至图2，使一边OM在∠BOC的内部．且恰好平分∠BOC，求∠CON与∠AOM的度数．
（2）将图1中的三角板绕点O顺时针旋转至图3，使ON在∠AOC的内部．请探究：∠CON与∠AOM之间的数量关系，并说明理由．
（3）将图1中的三角板绕点O按每秒10°的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时．直线ON恰好平分锐角∠AOC，则t的值为 　12或30　秒（直接写出结果）．


【分析】（1）由角的平分线的定义和等角的余角相等求解；
（2）因为∠MON＝90°，∠AOC＝60°，所以∠AOM＝90°﹣∠AON、∠NOC＝60°﹣∠AON，然后作差即可；
（3）由∠BOC＝120°可得∠AOC＝60°，则∠AON＝30°或∠NOR＝30°，即顺时针旋转300°或120°时ON平分∠AOC，据此求解．
解：（1）已知∠AOC＝60°，
∴∠BOC＝120°，
又OM平分∠BOC，
∠COM＝∠BOC＝60°，
∴∠CON＝∠COM+90°＝150°，
∠AOM＝∠AOC+∠COM＝60°+60°＝120°；
∴∠CON的度数为150°，∠AOM的度数为120°．
（2）∠AOM﹣∠NOC＝30°，理由如下：
∵∠MON＝90°，∠AOC＝60°，
∴∠AOM＝90°﹣∠AON、∠NOC＝60°﹣∠AON，
∴∠AOM﹣∠NOC＝（90°﹣∠AON）﹣（60°﹣∠AON）＝30°，
∴∠AOM与∠NOC之间的数量关系为：∠AOM﹣∠NOC＝30°．
（3）延长NO到点D，如图2，

∵∠BOC＝120°
∴∠AOC＝60°，
当射线OD恰好平分锐角∠AOC，如图2，
∴∠AOD＝∠COD＝30°，
即顺时针旋转300°时NO延长线平分锐角∠AOC，
由题意得10t＝300，
∴t＝30，
当NO平分∠AOC，如图3，
∴∠NOR＝30°，
即顺时针旋转120°时NO平分∠AOC，
∴10t＝120，
∴t＝12，
∴t＝12或30．
故答案为：12或30．
【点评】此题考查了角的计算，关键是应该认真审题并仔细观察图形，找到各个量之间的关系，是解题的关键．