广东省梅州市丰顺县东海中学2022-2023学年七年级下学期开学数学试卷

2022-2023学年广东省梅州市丰顺县东海中学七年级（下）开学数学试卷

一、单选题：本大题共10小题，每小题3分，共30分

1．已知﹣2的相反数是a，则a是（　　）

A．2 B．﹣ C． D．﹣2

2．新型冠状肺炎疫情正在全球蔓延肆虐，口罩成了人们生活中必不可少的物品，某口罩厂有26名工人，每人每天可以生产800个口罩面或1000个口罩耳绳．一个口罩面需要配两个耳绳，为使每天生产的口罩面和口罩耳绳刚好配套，设安排x名工人生产口罩面，则下面所列方程正确的是（　　）

A．2×1000（26﹣x）＝800x B．1000（13﹣x）＝2×800x 

C．1000（26﹣x）＝2×800x D．1000（26﹣x）＝800x

3．下列等式成立的是（　　）

A．5﹣（﹣6）+（﹣7）＝5﹣6+7 B．5+（﹣6）+（﹣7）＝5﹣6+7 

C．5+（﹣6）﹣（﹣7）＝5﹣6+7 D．5+（﹣6）﹣（﹣7）＝5﹣6﹣7

4．下列图形中，是棱柱表面展开图的是（　　）

A． B． C． D．

5．下列计算正确的是（　　）

A．x2+x2＝x4 B．（﹣a2）3＝a6 

C． D．（a﹣b）2＝a2﹣b2

6．如图，已知直线AB与CD相交于点O，OE平分∠AOD，∠EOF＝90°．对于下列结论：①∠BOC＝2∠AOE；②OF平分∠BOD；③∠AOE是∠BOF的余角；④∠AOE是∠COE的补角．其中正确结论的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

7．前进服装店在某一时刻以每件90元的价格卖出两条裤子，其中一条盈利25%，另外一条亏损25%，该服装店卖出这两条裤子，下列说法正确的是（　　）

A．盈利18元 B．盈利12元 

C．亏损12元 D．不盈利也不亏损

8．如图，在平行四边形ABCD中AB＝2，BC＝3，以点B为圆心，适当长度为半径作弧，分别交BA，BC于点M，N，再分别以M，N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧相交于点P，作射线BP交AD于点E，交CD的延长线于点F，则DF的长度为（　　）

A．1 B． C．2 D．3

9．已知有理数a，b在数轴上表示的点如图所示，则下列式子中正确的是（　　）

A．ab＞0 B．a﹣b＜0 C．a+b＜0 D．a+b＞0

10．如图，∠AOB＝α，OA1、OB1分别是∠AOM和∠MOB的平分线，OA2、OB2分别是∠A1OM和∠MOB1的平分线，OA3、OB3分别是∠A2OM和∠MOB2的平分线，…，OAn，OBn分别是∠An﹣1OM和∠MOBn﹣1的平分线，则∠AnOBn的度数是（　　）

A． B． C． D．

二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。

11．截至2021年10月30日，电影《长津湖》的累计票房达到大约5500000000元，数据5500000000用科学记数法表示为 　   　．

12．比较大小：　   　（填“＞”或“＜”）

13．一个锐角的补角比这个角的余角的3倍还大10°，则这个锐角的度数是 　   　．

14．如图，点D是线段AB的中点，C是线段AD的中点，若AB＝8cm，则线段CD＝　   　cm．

15．如图，△EFG的三个顶点E，G和F分别在平行线AB，CD上，FH平分∠EFG，交线段EG于点H，若∠AEF＝36°，∠BEG＝57°，则∠EHF的大小为　   　．

16．如图，把一张长方形纸片ABCD折叠，使得点D落在边BC上的点D'处，已知∠1＝20°，则∠2＝　   　°．

17．数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画出一条长2022厘米的线段AB，则线段AB盖住的整点共有 　   　个．

三、解答题：第18，19，20小题6分，第21，22，23小题8分，第24，25小题10分。

18．化简求值：3x2+（﹣x+y2）（2x﹣y），其中x＝﹣，y＝．

19．若关于a，b的多项式2（a3﹣3ab+3）+（a3+kab）化简后不含有ab的项，求字母k的值．

20．如果多项式2x3+x2﹣26x+k有一个因式是2x+1，求k的值．

21．把下列各数填入相应的大括号内（将各数用逗号分开）

6，﹣3，2.4，﹣，0，﹣3.14，．

正数：{　   　…}

非负整数：{　   　…}

整数：{　   　…}

负分数：{　   　…}

22．小明解方程+1＝，由于粗心大意，在去分母时，方程左边的1没有乘10，由此求得的解为x＝4，试求a的值，并求出方程的正确解．

23．小明过年得到2000元的压岁钱，存入银行，准备到期后的利息捐给希望工程．已知三年定期存款的年利率为2.25%，那么三年后小明可捐给希望工程多少钱？（国家规定要收取20%的利息税）．

24．已知：如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，且MN∥BC，分别交AB、AC于点M、N．

求证：MN＝BM+CN．

25．已知：如图①、②，解答下面各题：

（1）图①中，∠AOB＝55°，点P在∠AOB内部，过点P作PE⊥OA，PF⊥OB，垂足分别为E、F，求∠EPF的度数．

（2）图②中，点P在∠AOB外部，过点P作PE⊥OA，PF⊥OB，垂足分别为E、F，那么∠P与∠O有什么关系？为什么？

（3）通过上面这两道题，你能说出如果一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，则这两个角是什么关系？

（4）如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，则这两个角是什么关系？（请画图说明结果，不需要过程）

参考答案

一、单选题：本大题共10小题，每小题3分，共30分

1．已知﹣2的相反数是a，则a是（　　）

A．2 B．﹣ C． D．﹣2

【分析】根据相反数的概念解答即可．

解：∵﹣2的相反数是2，

∴a＝2．

故选：A．

【点评】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号；一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．

2．新型冠状肺炎疫情正在全球蔓延肆虐，口罩成了人们生活中必不可少的物品，某口罩厂有26名工人，每人每天可以生产800个口罩面或1000个口罩耳绳．一个口罩面需要配两个耳绳，为使每天生产的口罩面和口罩耳绳刚好配套，设安排x名工人生产口罩面，则下面所列方程正确的是（　　）

A．2×1000（26﹣x）＝800x B．1000（13﹣x）＝2×800x 

C．1000（26﹣x）＝2×800x D．1000（26﹣x）＝800x

【分析】题目已经设出安排x名工人生产口罩面，则（26﹣x）人生产耳绳，由一个口罩面需要配两个耳绳可知耳绳的个数是口罩面个数的2倍从而得出等量关系，就可以列出方程．

解：设安排x名工人生产口罩面，则（26﹣x）人生产耳绳，由题意得

1000（26﹣x）＝2×800x．

故选：C．

【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．

3．下列等式成立的是（　　）

A．5﹣（﹣6）+（﹣7）＝5﹣6+7 B．5+（﹣6）+（﹣7）＝5﹣6+7 

C．5+（﹣6）﹣（﹣7）＝5﹣6+7 D．5+（﹣6）﹣（﹣7）＝5﹣6﹣7

【分析】利用有理数的加减混合运算的法则对每个选项进行逐一判断即可得出结论．

解：∵5﹣（﹣6）+（﹣7）＝5+6﹣7，

∴A选项不成立；

∵5+（﹣6）+（﹣7）＝5﹣6﹣7，

∴B选项不成立；

∵5+（﹣6）﹣（﹣7）＝5﹣6+7，

∴C选项成立；

∵5+（﹣6）﹣（﹣7）＝5﹣6+7，

∴D选项不成立，

故选：C．

【点评】本题主要考查了有理数的加减混合运算，正确利用利用有理数的加减混合运算的法则对每个选项进行逐一判断是解题的关键．

4．下列图形中，是棱柱表面展开图的是（　　）

A． B． C． D．

【分析】依据四棱柱的所有的面的形状以及位置，即可得到棱柱表面展开图．

解：A．四棱柱的展开图中应该有两个正方形，故本选项错误；

B．四棱柱的展开图中，两个小正方形应该在侧面上下两侧，故本选项错误；

C．该图是棱柱表面展开图，故本选项正确；

D．四棱柱的展开图中应该有四个长方形，故本选项错误；

故选：C．

【点评】本题考查了几何体的展开图以及棱柱的结构特征，棱柱表面展开图中，上、下两底面应在侧面展开图长方形的两侧．

5．下列计算正确的是（　　）

A．x2+x2＝x4 B．（﹣a2）3＝a6 

C． D．（a﹣b）2＝a2﹣b2

【分析】利用幂的运算性质和二次根式的性质，完全平方公式对每个选项进行逐一判断即可得出结论．

解：∵x2+x2＝2x2，

∴A选项的结论错误；

∵（﹣a2）3＝﹣a6，

∴B选项的结论错误；

∵＝2，

∴C选项的结论正确；

∵（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，

∴D选项的结论错误．

故选：C．

【点评】本题主要考查了二次根式的化简与性质，合并同类项，幂的乘方，完全平方公式，正确利用上述法则与公式进行判断是解题的关键．

6．如图，已知直线AB与CD相交于点O，OE平分∠AOD，∠EOF＝90°．对于下列结论：①∠BOC＝2∠AOE；②OF平分∠BOD；③∠AOE是∠BOF的余角；④∠AOE是∠COE的补角．其中正确结论的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

【分析】①根据角平分线的定义及对顶角的性质可判断；②根据余角的性质可判断；③根据余角的定义可判断；④根据补角的定义即可判断．

解：∵直线AB与CD相交于点O，

∴∠AOD＝∠BOC，

∵OE平分∠AOD，

∴∠AOD＝2∠AOE＝2∠DOE，

∴∠BOC＝2∠AOE，故①正确；

∵∠EOF＝90°，

∴∠EOD+∠DOF＝90°，∠AOE+∠BOF＝90°，即∠AOE是∠BOF的余角，故③正确；

∴∠FOD＝∠BOF，

∴OF平分∠BOD，故②正确；

∵∠AOE＝∠DOE，∠DOE+∠COE＝180°，

∴∠COE+∠AOE＝180°，即∠AOE是∠COE的补角，故④正确，

故选：D．

【点评】此题考查的是对顶角、邻补角、角平分线的定义及余角和补角，掌握它们的概念是解决此题关键．

7．前进服装店在某一时刻以每件90元的价格卖出两条裤子，其中一条盈利25%，另外一条亏损25%，该服装店卖出这两条裤子，下列说法正确的是（　　）

A．盈利18元 B．盈利12元 

C．亏损12元 D．不盈利也不亏损

【分析】分别求出盈利裤子的成本价和亏损裤子的成本价然后做差判断即可．

解：设盈利裤子的成本价为x元，

由题知x（1+25%）＝90，

解得x＝72，

设亏损裤子的成本价为y元，

由题知y（1﹣25%）＝90，

解得y＝120，

90+90﹣72﹣120＝﹣12（元），

∴亏损12元，

故选：C．

【点评】本题主要考查一元一次方程的应用，根据题意列方程求出两条裤子的成本价是解题的关键．

8．如图，在平行四边形ABCD中AB＝2，BC＝3，以点B为圆心，适当长度为半径作弧，分别交BA，BC于点M，N，再分别以M，N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧相交于点P，作射线BP交AD于点E，交CD的延长线于点F，则DF的长度为（　　）

A．1 B． C．2 D．3

【分析】先利用基本作图得到BE平分∠ABC，则∠ABF＝∠CBF，再根据平行四边形的性质得到AB∥CD，AB＝CD＝2，再证明∠BCF＝∠F得到CF＝CB＝3，然后计算CF﹣CD即可．

解：由作法得BE平分∠ABC，

∴∠ABF＝∠CBF，

∵四边形ABCD为平行四边形，

∴AB∥CD，AB＝CD＝2，

∵AB∥CD，

∴∠ABF＝∠F，

∴∠BCF＝∠F，

∴CF＝CB＝3，

∴DF＝CF﹣CD＝3﹣2＝1．

故选：A．

【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了角平分线的性质和平行四边形的性质．

9．已知有理数a，b在数轴上表示的点如图所示，则下列式子中正确的是（　　）

A．ab＞0 B．a﹣b＜0 C．a+b＜0 D．a+b＞0

【分析】根据有理数的乘法法则判断A选项；根据有理数的减法法则判断B选项；根据有理数的加法法则判断C，D选项．

解：A选项，∵a＞0，b＜0，

∴ab＜0，故A选项不符合题意；

B选项，∵a＞b，

∴a﹣b＞0，故B选项不符合题意；

C选项，∵a＞0，b＜0，|a|＜|b|，

∴a+b＜0，故C选项符合题意，D选项不符合题意；

故选：C．

【点评】本题考查了数轴，有理数的乘法法则，有理数的减法法则，有理数的加法法则，掌握绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值是解题的关键．

10．如图，∠AOB＝α，OA1、OB1分别是∠AOM和∠MOB的平分线，OA2、OB2分别是∠A1OM和∠MOB1的平分线，OA3、OB3分别是∠A2OM和∠MOB2的平分线，…，OAn，OBn分别是∠An﹣1OM和∠MOBn﹣1的平分线，则∠AnOBn的度数是（　　）

A． B． C． D．

【分析】根据角平分线的性质分别表示出∠A1OB1、∠A2OB2、…，即可归纳出此题规律，求得此题结果．

解：∵OA1、OB1分别是∠AOM和∠MOB的平分线，

∴∠A1OM＝∠AOM，∠B1OM＝∠BOM，

∴∠A1OB1＝∠A1OM+∠B1OM＝∠AOM+∠BOM＝（∠AOM+B0M）＝∠AOB＝α，

同理，∠A2OB2＝∠A1OB1＝×α＝α，

∠A3OB3＝∠A2OB2＝×α＝α，

…

∴∠AnOBn＝，

故选：C．

【点评】此题考查了角度的计算与规律归纳的能力，关键是能利用角的平分线性质及和差关系进行计算推理与规律归纳．

二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。

11．截至2021年10月30日，电影《长津湖》的累计票房达到大约5500000000元，数据5500000000用科学记数法表示为 　5.5×109　．

【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可．

解：5500000000＝5.5×109．

故答案为：5.5×109．

【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键．

12．比较大小：　＞　（填“＞”或“＜”）

【分析】先把各数化为小数的形式，再根据负数比较大小的法则进行比较即可．

解：∵﹣＝﹣0.75＜0，﹣＝﹣0.8＜0，

∵|﹣0.75|＝0.75，|﹣0.8|＝0.8，0.75＜0.8，

∴﹣0.75＞﹣0.8，

∴﹣＞﹣．

故答案为：＞．

【点评】本题考查的是有理数的大小比较，熟知负数比较大小的法则是解答此题的关键．

13．一个锐角的补角比这个角的余角的3倍还大10°，则这个锐角的度数是 　40°　．

【分析】设这个角为α，根据余角的和等于90°，补角的和等于180°表示出这个角的补角与余角，然后根据题意列出方程求解即可．

解：设这个角为α，则它的补角为180°﹣α，余角为90°﹣α，

根据题意得，180°﹣α＝3（90°﹣α）﹣10°，

解得α＝40°．

故答案为：40°．

【点评】本题考查了余角与补角的定义，熟记“余角的和等于90°，补角的和等于180°”是解题的关键．

14．如图，点D是线段AB的中点，C是线段AD的中点，若AB＝8cm，则线段CD＝　2　cm．

【分析】先根据点D是线段AB的中点，AB＝8cm求出线段AD的长，再根据C是线段AD的中点即可求出线段CD的长．

解：∵点D是线段AB的中点，AB＝8cm，

∴AD＝AB＝×8＝4cm，

∵C是线段AD的中点

∴CD＝AD＝×4＝2cm．

故答案为：2．

【点评】本题考查的是两点间距离，熟知各线段之间的和、差及倍数关系是解答此题的关键．

15．如图，△EFG的三个顶点E，G和F分别在平行线AB，CD上，FH平分∠EFG，交线段EG于点H，若∠AEF＝36°，∠BEG＝57°，则∠EHF的大小为　75°　．

【分析】首先根据∠AEF＝36°，∠BEG＝57°，求出∠FEH的大小；然后根据AB∥CD，求出∠EFG的大小，再根据FH平分∠EFG，求出∠EFH的大小；最后根据三角形内角和定理，求出∠EHF的大小为多少即可．

解：∵∠AEF＝36°，∠BEG＝57°，

∴∠FEH＝180°﹣36°﹣57°＝87°；

∵AB∥CD，

∴∠EFG＝∠AEF＝36°，

∵FH平分∠EFG，

∴∠EFH＝∠EFG＝×36°＝18°，

∴∠EHF＝180°﹣∠FEH﹣∠EFH＝180°﹣87°﹣18°＝75°．

故答案为：75°．

【点评】此题主要考查了三角形内角和定理的应用，角平分线的性质和应用，以及平行线的性质和应用，要熟练掌握．

16．如图，把一张长方形纸片ABCD折叠，使得点D落在边BC上的点D'处，已知∠1＝20°，则∠2＝　35　°．

【分析】先根据直角三角形两锐角互余求得∠D'MC＝70°，再由折叠的性质求出∠D'MN＝55°，最后由直角三角形两锐角互余求得∠2．

解：如图，

∵四边形ABCD是长方形，

∴∠C＝∠D＝90°，

在Rt△D'MC中，∠1＝20°，

∴∠D'MC＝90°﹣∠1＝90°﹣20°＝70°，

∴∠D'MD＝180°﹣∠D'MC＝180°﹣70°＝110°，

由折叠得，∠MD'N＝∠D＝90°，∠DMN＝∠D'MN，

∴，

∵∠MD'N＝90°，

∴∠2+∠D'MN＝90°，

∴∠2＝90°﹣∠D'MN＝90°﹣55°＝35°，

故答案为：35．

【点评】本题主要考查了折叠的性质以及直角三角形两锐角互余，正确识别图形是解答本题的关键．

17．数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画出一条长2022厘米的线段AB，则线段AB盖住的整点共有 　2022或2023　个．

【分析】分线段的端点与整数点重合、不重合两种情况进行计算即可．

解：当长2022厘米的线段AB的端点A与整数点重合时，两端与中间的整数点共有2023个，

当长2022厘米的线段AB的端点A不与整数点重合时，中间的整数点只有2022个，

故答案为：2022或2023．

【点评】本题考查数轴表示数的意义和方法，理解线段及端点与数轴上点的对应关系是解决问题的前提．

三、解答题：第18，19，20小题6分，第21，22，23小题8分，第24，25小题10分。

18．化简求值：3x2+（﹣x+y2）（2x﹣y），其中x＝﹣，y＝．

【分析】根据多项式的乘法法则进行化简整式，再代入数值进行计算即可．

解：原式＝3x2﹣3x2+xy+xy2﹣y3

＝xy+xy2﹣y3

当x＝﹣，y＝时，原式＝﹣+×（﹣）×﹣×

＝﹣﹣﹣

＝﹣．

【点评】本题考查了整式的混合运算以及化简求值，掌握多项式的乘法法则是解题的关键．

19．若关于a，b的多项式2（a3﹣3ab+3）+（a3+kab）化简后不含有ab的项，求字母k的值．

【分析】根据整式的加减运算法则进行化简，然后令含ab的项的系数为零后即可求出k的值．

解：原式＝2a3﹣6ab+6+a3+kab

＝3a3+（k﹣6）ab+6，

由题意可知：k﹣6＝0，

∴k＝6．

【点评】本题考查整式的加减运算，解题的关键是熟练运用整式的加减运算法则，本题属于基础题型．

20．如果多项式2x3+x2﹣26x+k有一个因式是2x+1，求k的值．

【分析】根据题意可设另一个因式为（ax2+bx+c），再把它与（2x+1）相乘，对应相等即可得出答案．

解：设另一个因式为（ax2+bx+c），

∵用多项式2x3+x2﹣26x+k有一个因式是2x+1，

∴设另一个因式为（ax2+bx+c）（2x+1）＝2x3+x2﹣26x+k，

∴2ax3+（a+2b）x2+（b+2c）x+c＝2x3+x2﹣26x+k，

∴2a＝2，a+2b＝1，b+2c＝﹣26，c＝k，

∴a＝1，b＝0，c＝﹣13，k＝﹣13，

∴k的值为﹣13．

【点评】本题考查了因式分解的意义，因式分解与整式的乘法互为逆运算．是中考中的常见题型．

21．把下列各数填入相应的大括号内（将各数用逗号分开）

6，﹣3，2.4，﹣，0，﹣3.14，．

正数：{　6，2.4，；　…}

非负整数：{　6，0　…}

整数：{　6，﹣3，0　…}

负分数：{　﹣，﹣3.14　…}

【分析】根据分母为1的数是整数，可得整数集合；根据小于零的数是负数，可得负数集合；根据大或等于零的整数是非负整数，可得非负整数集合，根据小于零的分数是负分数，可得负分数集合，根据有理数是有限小数或无限循环小数，可得有理数集合．

解：正数：{6，2.4，…}

非负整数：{6，0…}

整数：{6，﹣3，0…}

负分数：{﹣，﹣3.14…}

故答案为：6，2.4，；6，0；6，﹣3，0；﹣，﹣3.14．

【点评】此题考查了有理数，熟练掌握有理数的分类是解本题的关键．

22．小明解方程+1＝，由于粗心大意，在去分母时，方程左边的1没有乘10，由此求得的解为x＝4，试求a的值，并求出方程的正确解．

【分析】把x＝4代入小明粗心得出的方程，求出a的值，代入方程求出解即可．

解：由题意可知：（在去分母时，方程左边的1没有乘10，由此求得的解为x＝4），

2（2x﹣1）+1＝5（x+a），

把x＝4代入得：a＝﹣1，

将a＝﹣1代入原方程得：，

去分母得：4x﹣2+10＝5x﹣5，

移项合并得：﹣x＝﹣13，

解得x＝13．

【点评】此题考查了解一元一次方程，解方程去分母时注意各项都乘以各分母的最小公倍数．

23．小明过年得到2000元的压岁钱，存入银行，准备到期后的利息捐给希望工程．已知三年定期存款的年利率为2.25%，那么三年后小明可捐给希望工程多少钱？（国家规定要收取20%的利息税）．

【分析】利息＝本金×实得利率×期数，把相关数值代入即可求解．

解：实得利息为：

2000×2.25%×（1﹣20%）×3

＝2000×2.25%×80%×3

＝108（元）．

答：三年后小明可捐给希望工程108元．

【点评】主要考查了有理数的混合运算，利息的等量关系，注意实得利息为算出利息的80%．

24．已知：如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，且MN∥BC，分别交AB、AC于点M、N．

求证：MN＝BM+CN．

【分析】由∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，∠MBO＝∠OBC，∠OCN＝∠OCB，利用两直线平行，内错角相等，利用等量代换可∠MBO＝∠MOB，∠NOC＝∠OCN，然后根据等角对等边得到BM＝MO，ON＝CN，再根据角的和差即可证明．

【解答】证明：∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，

∴∠MBO＝∠OBC，∠OCN＝∠OCB，

∵MN∥BC，

∴∠OBC＝∠MOB，∠NOC＝∠OCB，

∴∠MBO＝∠MOB，∠NOC＝∠OCN，

∴BM＝MO，ON＝CN，

∴MN＝MO+ON＝BM+CN．

【点评】此题考查学生对等腰三角形的判定与性质和平行线性质的理解与掌握．此题关键是证明△BMO和△CNO是等腰三角形．

25．已知：如图①、②，解答下面各题：

（1）图①中，∠AOB＝55°，点P在∠AOB内部，过点P作PE⊥OA，PF⊥OB，垂足分别为E、F，求∠EPF的度数．

（2）图②中，点P在∠AOB外部，过点P作PE⊥OA，PF⊥OB，垂足分别为E、F，那么∠P与∠O有什么关系？为什么？

（3）通过上面这两道题，你能说出如果一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，则这两个角是什么关系？

（4）如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，则这两个角是什么关系？（请画图说明结果，不需要过程）

【分析】（1）利用四边形的内角和定理即可求解；

（2）利用垂直的定义和三角形的内角和定理求解；

（3）根据（1）和（2）的结果即可求解；

（4）本题应分两种情况讨论，如图，∠1，∠2，∠3的两边互相平行，由图形可以看出∠1和∠2是邻补角，它们和∠3的关系容易知道一个相等，一个互补．

解：（1）如图①，∵PE⊥OA，PF⊥OB

∴∠PEO＝∠OFP＝90°，

∴∠EPF＝360°﹣90°﹣90°﹣55°＝125°；

（2）如图②，∵PE⊥OA，PF⊥OB，

∴∠PEO＝∠OFP＝90°，

又∵∠OGF＝∠PGE，

∴∠P＝∠O；

（3）如果一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，则这两个角相等或互补；

（4）如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，则这两个角相等或互补．

如图③，∠1，∠2，∠3的两边互相平行，

∴∠3＝∠4，∠4＝∠1，∠4+∠2＝180°；

∴∠3＝∠1，∠3+∠2＝180°．

∴这两个角相等或互补．

【点评】考查了多边形内角与外角，三角形内角和定理．此题比较简单，只要结合多边形的内角和公式关系，正确理解内角和定理是关键．