广东省梅州市丰顺县三友联合中学2022-2023学年九年级下学期开学考试数学试题

2022-2023学年度第二学期梅州市丰顺县三友联合中学九年级数学2月测试题

一、单选题：本大题共10小题，每小题3分，共30分。

1．掷一枚质地均匀的硬币10次，下列说法正确的是（　　）

A．每2次必有一次正面朝上 B．必有5次正面朝上

C．可能有7次正面朝上 D．不可能有10次正面朝上

2．关于 的一元二次方程 的一根为 ，则 的值为（　　）  

A．1 B．-1 C．2 D．-2

3．下列事件中，不可能事件是（　　） 

A．任意选择某个电视频道，正在播放动画片

B．明天会下雨

C．三角形内角和是180°

D．实数的绝对值小于0

4．若两圆的半径分别为2cm和6cm，圆心距为4cm，则这两圆的位置关系是（　　） 

A．内含 B．内切 C．外切 D．外离

5．已知扇形的圆心角为120°，半径为3cm，则弧长为（　　）

A． B．2πcm C．4cm D．

6．下列方程中，关于x的一元二次方程是（　　） 

A． B．（x-1）2＋1＝0

C． D．

7．二次函数 的最小值是0，那么c的值等于（　　）

A．4 B．2 C．-4 D．8

8．如图，已知BD是⊙O的直径，BD⊥AC于点E，∠AOC＝100°，则∠OCD的度数是（　　）

A．20° B．25° C．30° D．40°

9．如图，⊙O的直径为10，弦AB的长为6，M是弦AB上的一动点，则线段OM的长的取值范围是（　　）

A． B． C． D．

10．如图所示，已知二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，．对称轴为直线，则下列结论：①；②；③；④是关于的一元二次方程的一个根，其中正确的有（　　）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。

11．若（x-1）2＝4则x＝　         　．

12．若抛物线 的开口向下，写出一个 的可能值　               　.  

13．如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△COD，若∠AOB=15°，则∠AOD=　     　度

14．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，将△ABC绕AC的中点D逆时针旋转90°得到△A'B′C'，其中点B的运动路径为 ，则图中阴影部分的面积为　        　. 

15．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论：

①b2-4ac>0；②abc>0；③8a+c>0；④9a+3b+c<0．其中，正确结论有　         　

16．已知 的两直角边分别是6和8，则其内切圆半径为　     　．

17．如图，正方形ABCD的边长为2a，E为BC边的中点，   的圆心分别在边AB、CD上，这两段圆弧在正方形内交于点F，则E、F间的距离为　     　． 

三、解答题：第18，19.20小题6分，第21，22，23小题9分，第24，25小题10分。

18．已知⊙O的半径长为50cm，弦AB长50cm.求：点O到AB的距离

19．已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象过点A（0，1）和点B（﹣1，2），求这个二次函数的解析式．

20．不透明的口袋里装有2个红球和2个黄球（除颜色不同外，其它都相同）．现进行两次摸球活动，第一次随机摸出一个小球后不放回，第二次再随机摸出一个小球，请用树状图或列表法，求两次摸出的都是红球的概率．

21．已知一抛物线经过点A（﹣1，0），B（0，﹣5），且抛物线对称轴为直线x=2，求该抛物线的解析式． 

22．如图所示，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，∠ACB的平分线交⊙O于点D.若AB＝10，AC＝6，求BC、BD的长.

23．如图①是某校存放学生自行车的车棚的示意图(尺寸如图所示，单位：m)，车棚顶部是圆柱侧面的一部分，其展开图是矩形；如图②是车棚顶部截面的示意图， 所在圆的圆心为点O，车棚顶部是用一种帆布覆盖的，求覆盖棚顶的帆布的面积.(不考虑接缝等因素，计算结果保留π)

24．如图，直线y=x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、B两点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点P为抛物线在第二象限内一点，过点P作x轴的垂线，垂足为点M，与直线AB交于点C，过点P作x轴的平行线交抛物线于点Q，过点Q作x轴的垂线，垂足为点N，若点P在点Q左边，设点P的横坐标为m．

①当矩形PQNM的周长最大时，求△ACM的面积；

②在①的条件下，当矩形PMNQ的周长最大时，过直线AC上一点G作y轴的平行线交抛物线一点F，是否存在点F，使得以点P、C、G、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

25．如图，抛物线y=ax2+bx+c过原点O、点A （2，﹣4）、点B （3，﹣3），与x轴交于点C，直线AB交x轴于点D，交y轴于点E．

（1）求抛物线的函数表达式和顶点坐标；

（2）直线AF⊥x轴，垂足为点F，AF上取一点G，使△GBA∽△AOD，求此时点G的坐标；

（3）过直线AF左侧的抛物线上点M作直线AB的垂线，垂足为点N，若∠BMN=∠OAF，求直线BM的函数表达式．

答案解析部分

1．【答案】C

2．【答案】A

3．【答案】D

4．【答案】B

5．【答案】B

6．【答案】B

7．【答案】B

8．【答案】B

9．【答案】B

10．【答案】A

11．【答案】x＝3或-1

12．【答案】-3（负数均可）

13．【答案】30

14．【答案】

15．【答案】①②③④

16．【答案】2

17．【答案】

18．【答案】解：过O点向弦AB作垂线，垂足为M，根据垂径定理可以得到AM=25cm，连接OA，那么在直角三角形AOM中，根据勾股定理可以得到OM=cm，所以点O到AB的距离为cm

19．【答案】解： 二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象过点A（0，1）和点B（﹣1，2）， 

解得

这个二次函数的解析式为 ．

20．【答案】解：根据题意，画树状图如下：

共有12种结果，并且每种结果出现的可能性相同，正确的结果有2种，

所以P（两次摸出的都是红球）.

21．【答案】解：∵抛物线对称轴是直线x=2且经过点（﹣1，0）， 

由抛物线的对称性可知：抛物线还经过点（5，0），

设抛物线的解析式为y=a（x﹣x1）（x﹣x2）（a≠0），

即：y=a（x+1）（x﹣5），

把B（0，﹣5）代入得：﹣5=﹣5a，

∴a=1．

∴抛物线的解析式为：y=x2﹣4x﹣5

22．【答案】解：连接BD，如图，

∵AB是直径，

∴∠ACB＝∠ADB＝90°，

在Rt△ABC中，AB＝10，AC＝6，

∴BC＝ ＝ ＝8，即BC＝8；

∵∠ACB的平分线交⊙O于点D，

∴∠DCA＝∠BCD，

∴ ，

∴AD＝BD，

∴在Rt△ABD中，AD＝BD＝ AB＝ ×10＝5 ，即BD＝5 .

23．【答案】解：如图，连结OB，过点O作OE⊥AB，垂足为E，交 于F，由垂径定理知，E是AB的中点，F是 的中点，从而EF是弓形的高.∵AB=4，∴AE= AB=2 m，EF=2 m.设半径为Rm，则OE=(R-2)m.在Rt△AOE中，∴R2=(R-2)2+(2 )2.∴R=4.在Rt△AEO中，∵AO=2OE，∴∠OAE=30°，∠AOE=60°，∴∠AOB=120°.∴ 的长为=(m).∴覆盖棚顶的帆布的面积为×60=160π(m2).

24．【答案】解：（1）∵直线y=x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，∴A（﹣3，0），B（0，3）．∵抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、B两点，∴，解得，∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3；（2）①∵点P的横坐标为m，∴P（m，﹣m2﹣2m+3），PM=﹣m2﹣2m+3．∵抛物线y=﹣x2﹣2x+3的对称轴为x=﹣=﹣=﹣1，∴PQ=2（﹣1﹣m）=﹣2m﹣2．∴矩形PQMN的周长=2（PM+PQ）=2（﹣m2﹣2m+3﹣2m﹣2）=﹣2m2﹣8m+2=﹣2（m+2）2+10，当m=﹣2时，矩形PQMN的周长最大，此时点C的坐标为（﹣2，1），CM=AM=1，∴S△ACM=×1×1=；②∵C（﹣2，1），∴P（﹣2，3），∴PC=3﹣1=2．∵点P、C、G、F为顶点的四边形是平行四边形，GF∥y轴，∴GF∥PC，且GF=PC．设G（x，x+3），则F（x，﹣x2﹣2x+3），当点F在点G的上方时，﹣x2﹣2x+3﹣（x+3）=2，解得x=﹣1或x=﹣2（舍去），当x=﹣1时，﹣x2﹣2x+3=4，即F1（﹣1，4）；当点F在点G的下方时，x+3﹣（﹣x2﹣2x+3）=2，解得x=或x=，当x=时，﹣x2﹣2x+3=；当x=时，﹣x2﹣2x+3=，故F2（，），F3（，）．综上所示，点F的坐标为F1（﹣1，4），F2（，），F3（，）．

25．【答案】解：（1）∵将原点O、点B、点C的坐标代入得：，解得：a=1，b=﹣4，c=0，

∴抛物线的解析式为y=x2﹣4x．

（2）设直线AB的解析式为y=kx+b．

∵将点A（2，﹣4）、B（3，﹣3）代入得，解得：k=1，b=﹣6，

∴直线AB的解析式为y=x﹣6．

∵令y=0得x﹣6=0，解得：x=6，

∴D（6，0）．

∴OD=6．

∵AF⊥x轴，（2，﹣4），

∴F（2，0）．

∴AF=4，DF=4．

∴AF=DF．

∴∠GAB=∠ODA．

∴当时，△GBA∽△AOD．

∵由两点间的距离公式可知AB==，AD==4，

∴，解得；AG=．

∴G（2，﹣）．

（3）如图1所示：BM与AF的交点记为G．

∵∠BMN=∠OAF，∠A=∠ODA，

∴△GBA∽△AOD．

∴，即，解得；AG=．

∴G（2，﹣）．

设直线BM的解析式为y=kx+b．

∵将点B、G的坐标代入得：，解得：k=﹣，b=﹣2．

∴直线BM的解析式为y=﹣X﹣2．

如图2所示：MB与x交点记为G．

BD=AD﹣AB=4﹣=3．

∵∠BMN=∠OAF，∠GDB=∠ODA，

∴△FBD∽△AOD．

∴，即，解得DG=4．

∴点G的坐标为（2，0）．

设直线BM的解析式为y=kx+b．

∵将点B和点G的坐标代入得：，解得k=﹣3，b=6．

∴直线BM的解析式为y=﹣3x+6．

综上所述，直线MB的解析式为y=-x﹣2或y=﹣3x+6．