2022-2023学年广东省梅州市蕉岭县徐溪中学七年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年广东省梅州市蕉岭县徐溪中学七年级（下）期中数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列运算正确的是( )
A. a2+a3=a5B. a2⋅a3=a6C. (a2)4=a6D. a4÷a2=a2
2.碳纳米管是一种一维量子材料，与传统金属、高分子材料相比，碳纳米管的电、热力学性能优异，凭借突出性能，碳纳米管逐渐成为场发射电子源中最常用的纳米材料，我国已具备研制直径为0.0000000049米的碳纳米管.数据0.0000000049用科学记数法表示为( )
A. 0.49×10−9B. 4.9×10−9C. 0.49×10−8D. 4.9×10−10
3.一个角的补角比这个角的4倍大15°，则这个角等于( )
A. 33°B. 23°C. 15°D. 25°
4.下列各式，能用平方差公式计算的是( )
A. (x+2y)(2x−y)B. (x+y)(x−2y)C. (x+2y)(2y−x)D. (x−2y)(2y−x)
5.若三角形三个内角度数比为2：3：5，则这个三角形一定是( )
A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不能确定
6.小强将一个球竖直向上抛起，球升到最高点，垂直下落，直到地面．在此过程中，球的高度与时间的关系可以用图中的哪一幅来近似地刻画( )
A. B. C. D.
7.如图，AB/​/CD，且被直线l所截，若∠1=54°，则∠2的度数是( )
A. 154°
B. 126°
C. 116°
D. 54°
8.如表为一个图案中红色和白色瓷砖数量的关系．设r和w分别为红色和白色瓷砖的数量，下列函数表达式可以表示w与r之间的关系的是( )
A. w=r+3B. w=2rC. w=r2D. w=r+7
9.已知x+y=5，xy=6，则x2+y2的值是( )
A. 1B. 13C. 17D. 25
10.任意给定一个非零数，按下列程序计算，最后输出的结果是( )
A. mB. m2C. m+1D. m−1
二、填空题：本题共7小题，每小题4分，共28分。
11.一个角的余角比这个角少10°，则这个角为______度．
12.如图，想在河堤两岸搭建一座桥，图中搭建方式中，最短的是PB，理由______．
13.已知多项式x2−mx+25是完全平方式，则m的值为______．
14.李师傅到单位附近的加油站加油，如图是所冂的加油机上的数据显示牌，则其中的常量是______．
15.如图，一块含有30°角的直角三角板，两个顶点分别在直尺的一对平行边上，∠α=110°，∠β=______°.
16.如图，△ABC中，∠B=80°，∠C=70°，将△ABC沿EF折叠，A点落在形内的A′，则∠1+∠2的度数为______．
17.为了求1+2+22+23+…+2100的值，可令m=1+2+22+23+…+2100，则2m=2+22+23+…+2101，因此，2m−m=2101−1，所以m=2101−1.仿照以上推理计算：1+3+32+33+…+3100的值 ．
三、计算题：本大题共1小题，共8分。
18.小明骑车野外郊游，从家出发0.5小时后到达甲地，游玩一段时间后按原速前往乙地，小明离家1小时20分钟后，妈妈驾车沿相同路线前往乙地如图是他们离家的路程y(千米)与小明离家时间x(小时)的函数图象已知妈妈驾车的速度是小明骑车速度的3倍．
(1)求小明骑车的速度；
(2)小明在甲地游玩多少时间；
(3)若妈妈比小明早10分钟到达乙地，求从家到乙地的路程．
四、解答题：本题共7小题，共54分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题6分)
计算：(−1)2021+(π−3.14)0−(13)−1−|1− 3|．
20.(本小题8分)
先化简，再求值：(a+2b)2−(a+b)(3a−b)−5b2，其中a=−12，b=2．
21.(本小题8分)
尺规作图题：已知∠β，求作∠AOB=2∠β(不写作法，保留作图痕迹，不在原图上作图)
22.(本小题8分)
如图，∠1=∠BCE，∠2+∠3=180°．
(1)判断AC与EF的位置关系，并说明理由；
(2)若CA平分∠BCE，EF⊥AB于F，∠1=72°，求∠BAD的度数．
23.(本小题8分)
在计算(x+a)(x+b)时，甲错把b看成了6，得到结果是：x2+8x+12；乙错把a看成了−a，得到结果：x2+x−6．
(1)求出a，b的值；
(2)在(1)的条件下，计算(x+a)(x+b)的结果．
24.(本小题8分)
从边长为a的正方形中减掉一个边长为b的正方形(如图1)，然后将剩余部分拼成一个长方形(如图2)．
(1)上述操作能验证的等式是______；
(2)运用你从(1)写出的等式，完成下列各题：
①已知：a−b=3，a2−b2=21，求a+b的值；
②计算：(1−122)×(1−132)×(1−142)×⋯×(1−120202)×(1−120212)．
25.(本小题8分)
如图，AB/​/CD，点P为平面内一点．
(1)如图①，当点P在AB与CD之间时，若∠A=20°，∠C=45°，则∠P= ______°；
(2)如图②，当点P在点B右上方时，∠ABP、∠CDP、∠BPD之间存在怎样的数量关系？请给出证明；(不需要写出推理依据)
(3)如图③，EB平分∠PEG，FP平分∠GFD，若∠PFD=40°，则∠G+∠P= ______°.
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A、a2，a3不是同类项，不能合并，故本选项错误；
B、a2⋅a3=a5，故本选项错误；
C、(a2)4=a8，故本选项错误；
D、a4÷a2=a2，故本选项正确．
故选D．
根据合并同类项，系数相加字母和字母的指数不变；同底数幂的乘法，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘；同底数幂的除法，底数不变指数相减；对各选项计算后利用排除法求解．
本题考查合并同类项，同底数幂的除法，同底数幂的乘法，幂的乘方很容易混淆，一定要记准法则才能做题．
2.【答案】B
【解析】解：0.0000000049=1.9×10−9，
故选：B．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
此题考查科学记数法的表示方法，关键是确定a的值以及n的值．
3.【答案】A
【解析】解：设这个角的度数为x，它的补角为180°−x，
180°−x=4x+15°，
解得：x=33°，
故选：A．
根据题意设这个角度数为x，它的补角为180°−x，再根据这个角的补角比这个角的4倍大15°列出方程即可求解．
本题主要考查了补角，理解题意掌握补角的定义是解题的关键，运用了方程思想．
4.【答案】C
【解析】解：A、(x+2y)(2x−y)不符合平方差公式的形式，故本选项错误；
B、(x+y)(x−2y)不符合平方差公式的形式，故本选项错误；
C、(x+2y)(2y−x)=−(x+2y)(x−2y)=−x2+4y2，正确；
D、(x−2y)(2y−x)=−(x−2y)2，故本选项错误．
故选：C．
可以用平方差公式计算的式子的特点是：两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数．相乘的结果应该是：右边是乘式中两项的平方差(相同项的平方减去相反项的平方)．
本题考查了平方差公式，比较简单，关键是要熟记平方差公式(a+b)(a−b)=a2−b2．
5.【答案】B
【解析】解：设三角分别为2x，3x，5x，
依题意得2x+3x+5x=180°，
解得x=18°．
故三角36°，54°，90°．
所以这个三角形一定是直角三角形，
故选：B．
若三角形三个内角的度数之比为2：3：5，利用三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°，可求出三个内角分别是36°，54°，90°.则这个三角形一定是直角三角形．
本题主要考查三角形内角和定理，由条件计算出角的大小是解题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：因为是小强将一个球竖直向上抛，小强有一定的身高，故D一定不符合；小强抛出小球后，小球开始是向上运动的，故高度在增加，故A一定错误；小球升到一定高度后，会自由落下，高度就会降低，故B错误，C正确，
故选：C．
根据小球的运动过程进行分析即可．
此题主要考查了函数图象，关键是正确理解小球在抛出后事如何运动的．
7.【答案】B
【解析】解：∵AB/​/CD，
∴∠2+∠3=180°．
∵∠3=∠1=54°，
∴∠2=180°−∠3
=180°−54°
=126°．
故选：B．
由平行线的性质得到∠2与∠3的关系，再根据对顶角的性质得到∠1与∠3的关系，最后求出∠2．
本题考查了平行线的性质，掌握“对顶角相等”和“两直线平行，同旁内角互补“是解决本题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：根据表格可知，w与r之间的关系是w=2r，
故选：B．
根据图表，观察发现w与r之间是正比例函数关系，根据w的值是r的值的2倍可得w与r之间的表达式．
本题主要考查了函数的表示方法，列表法能具体地反映自变量与函数的数值对应关系，在实际生活中应用非常广泛．
9.【答案】B
【解析】解：将x+y=5两边平方得：(x+y)2=x2+2xy+y2=25，
将xy=6代入得：x2+12+y2=25，
则x2+y2=13．
故选B．
将x+y=5两边平方，利用完全平方公式化简，把xy的值代入计算，即可求出所求式子的值．
此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
10.【答案】C
【解析】解：根据题意可列出代数式：(m2−m)÷m+2=m−1+2=m+1．
故选：C．
根据题意可列出代数式：(m2−m)÷m+2=m−1+2=m+1.列代数式时，要注意是前面整个式子除以m，应把前面的式子看成一个整体．
解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的等量关系．
11.【答案】50
【解析】解：设这个角的度数为x度，由题意得：
x−(90−x)=10，
解得：x=50，
即这个角的度数为50°，
故答案为：50．
设这个角的度数为x度，根据“一个角的余角比这个角少10°”列方程求解即可．
本题考查了余角和补角的知识，掌握互余的两角之和为90°，互补的两角之和为180°是解题关键．
12.【答案】垂线段最短
【解析】解：根据垂线段定理，连接直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短，
∵PB⊥AD，
∴PB最短．
故答案为：垂线段最短．
过直线外一点作直线的垂线，这一点与垂足之间的线段就是垂线段，且垂线段最短．据此作答．
此题主要考查了从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短在生活中的应用．
13.【答案】土10
【解析】解：∵多项式x2−mx+25是完全平方式，x2−mx+25=x2−mx+52，
∴−mx=±2x⋅5，
∴m=±10．
故答案为：±10．
先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定m的值．
本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要．
14.【答案】6.48
【解析】解：常量是固定不变的量，变量是变化的量，
单价6.48是不变的量，而金额是随着数量的变化而变化，
故常量是：6.48．
故答案为：6.48．
根据常量与变量的定义即可判断．
本题考查常量与变量，解题的关键是正确理解常量与变量，本题属于基础题型．
15.【答案】50
【解析】解：∵直尺的两边平行，∠α=110°，
∴∠1=180°−∠α=70°，
∴∠β=180°−70°−60°=50°．
故答案为：50．
根据平行线的性质得到∠1=70°，再根据平角的定义即可得出∠β=50°．
本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补．
16.【答案】60°
【解析】解：∵△ABC中，∠B=80°，∠C=70°，
∴∠A=180°−∠B−∠C=180°−80°−70°=30°，
∴∠A′=30°，
∴∠A′EF+∠A′FE=180°−∠A′=180°−30°=150°，
∵△AFE由△A′FE翻折而成，
∴∠AEF+∠AFE=∠A′EF+∠A′FE=180°−∠A′=150°，
∴∠1+∠2=360°−∠B−∠C−(∠AEF+∠AFE)=360°−80°−70°−150°=60°．
故答案为：60°．
先根据三角形内角和定理求出∠A的度数，进而可得出∠A′EF+∠A′FE的度数，根据图形翻折变换的性质得出∠AEF+∠AFE的度数，再由四边形的内角和为360°即可得出结论．
本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．
17.【答案】3101−12
【解析】【分析】
此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
仿照题中的方法求出原式的值即可．
【解答】
解：令m=1+3+32+33+…+3100，
则有3m=3+32+33+…+3101，
因此2m=3101−1，所以m=3101−12，
则1+3+32+33+…+3100=3101−12，
故答案为：3101−12
18.【答案】解：(1)根据函数图象得，小明骑车用0.5小时骑了10km，所以小明骑车的速度=100.5=20(km/时)，
(2)小明在甲地游玩的时间=1−0.5=0.5(小时)；
(3)设小明到乙地所用的时间为x小时，
根据题意得20(x−12)=60(x−43−16)，解得x=2，
所以从家到乙地的路程为20×(2−12)=30(km)．
【解析】(1)根据函数图象得小明骑车用0.5小时骑了10km，根据速度公式得到小明骑车的速度为20km/时，
(2)根据函数图象得到y不变的时间段为0.5～1，则小明在甲地游玩的时间为0.5小时；
(3)设小明到乙地所用的时间为x小时，根据总路程相同得到20(x−12)=60(x−43−16)，解方程得x=2，然后计算从家到乙地的路程30km．
本题考查了一次函数的运用：从一次函数图象上获取实际问题中的量；对于分段函数在不同区间有不同对应方式的函数，特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际．
19.【答案】解：原式=−1+1−3−( 3−1)
=−1+1−3− 3+1
=−2− 3．
【解析】原式利用乘方的意义，零指数幂、负整数指数幂法则，以及绝对值的代数意义计算即可得到结果．
此题考查了实数的运算，零指数幂、负整数指数幂，以及绝对值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20.【答案】解：原式=a2+4ab+4b2−3a2+ab−3ab+b2−5b2
=−2a2+2ab，
当a=−12，b=2时，原式=−12−2=−52．
【解析】本题考查了整式的混合运算和求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键．
先算乘法，再合并同类项，最后代入求出即可．
21.【答案】解：如图，∠AOB为所作．

【解析】先作∠AOC=∠β，再作∠BOC=∠β，则∠AOB满足条件．
本题考查了作图−复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
22.【答案】解：(1)AC/​/EF.理由：
∵∠1=∠BCE，
∴AD//CE，(同位角相等，两直线平行)
∴∠2=∠4，(两直线平行，内错角相等)
∵∠2+∠3=180°，
∴∠4+∠3=180°，
∴EF//AC.(同旁内角互补，两直线平行)
(2)∵AD/​/EC，CA平分∠BCE，
∴∠ACD=∠4=∠2，
∵∠1=72°，∠ACD+∠2=∠1
∴∠2=36°，
∵EF/​/AC，EF⊥AB于F，
∴∠BAC=∠F=90°，
∴∠BAD=∠BAC−∠2=54°．
【解析】本题考查了平行线的性质和判定、角平分线的定义及垂直的性质等知识点，综合性较强，掌握平行线的性质和判定是解决本题的关键．
(1)由∠1=∠BCE，可得到直线AD与EC平行，可得到∠2与∠4间关系，再由∠2+∠3=180°判断AC与EF的位置关系；
(2)由(1)的结论及垂直可得到∠BAC的度数，再由平行线及角平分线的定义得到∠2的度数，利用角的和差关系可得结论．
23.【答案】解：(1)根据题意得：(x+a)(x+6)=x2+(6+a)x+6a=x2+8x+12，
(x−a)(x+b)=x2+(−a+b)x−ab=x2+x−6，
所以6+a=8，−a+b=1，
解得：a=2，b=3；
(2)当a=2，b=3时，(x+a)(x+b)=(x+2)(x+3)=x2+5x+6．
【解析】本题考查了多项式乘以多项式，能正确运用多项式乘以多项式法则进行计算是解此题的关键．
(1)根据题意得出(x+a)(x+6)=x2+(6+a)x+6a=x2+8x+12，(x−a)(x+b)=x2+(−a+b)x−ab=x2+x−6，得出6+a=8，−a+b=1，求出a、b即可；
(2)把a、b的值代入，再根据多项式乘以多项式法则计算即可．
24.【答案】a2−b2=(a+b)(a−b)
【解析】解：(1)图1剩余部分的面积为a2−b2，图2的面积为(a+b)(a−b)，二者相等，从而能验证的等式为：a2−b2=(a+b)(a−b)，
故答案为：a2−b2=(a+b)(a−b)；
(2)①∵a−b=3，a2−b2=21，a2−b2=(a+b)(a−b)，
∴21=(a+b)×3，
∴a+b=7；
②(1−122)×(1−132)×(1−142)×…×(1−120202)×(1−120212)
=(1−12)(1+12)(1−13)(1+13)(1−14)(1+14)×…×(1−12020)(1+12020)(1−12021)(1+12021)
=12×32×23×43×34×54×…×20192020×20212020×20202021×20222021
=12×20222021
=10112021．
(1)分别表示出图1剩余部分的面积和图2的面积，由二者相等可得等式；
(2)①将已知条件代入(1)中所得的等式，计算即可；②利用平方差公式将原式的各个因式进行拆分，计算即可．
本题考查了平方差公式的几何背景及其在计算中的应用，熟练掌握平方差公式是解题的关键．
25.【答案】65 120
【解析】解：(1)过点P作MN//AB，
∵AB/​/CD，
∴AB//CD//MN，
又∵∠A=20°，∠C=45°，
∴∠APM=∠A=20°，
∠MPC=∠C=45°，
∴∠P=∠APM+∠MPC=20°+45°=65°；
故答案为：65；
(2)延长AB交PD于点H，
∴∠ABP是△PBH的一个外角，
∵AH/​/CD，
∴∠CDP=∠BHP，
∴在△PBH，∠BPD+∠BHP=∠ABP，
∴∠ABP、∠CDP、∠BPD之间存在的数量关系为：∠ABP=∠CDP+∠BPD；
(3)延长AB交PF于点H，过点G，作MN//AB，
∵AB/​/CD，
∴MN/​/AB/​/CD，
∴∠HEG=EGM，∠EHF=∠PFD，∠MGF=∠GFD，
∵EB平分∠PEG，FP平分∠GFD，若∠PFD=40°，
∴∠PEH=∠HEG，∠PFD=∠PFG=40°，∠GFD=80°，
∴∠G=∠EGM+∠MGF=∠HEG+∠GFD=∠PEH+80°，∠P+∠PEH=∠EHF=∠PFD=40°，
∴∠P=40°−∠PEH，
∴∠G+∠P=∠PEH+80°+40°−∠PEH=120°．
故答案为：120．
(1)过点P作MN//AB，利用平行线的性质计算；
(2)延长AB交PD于点H，利用平行线的性质和三角形内角与外角的关系计算；
(3)延长AB交PF于点H，过点G，作MN//AB，利用平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角与外角的关系计算．
本题考查了平行线的性质，解题的关键是添加辅助线，掌握平分线的性质．红色瓷砖数量(r)
3
4
5
6
7
白色瓷砖数量(w)
6
8
10
12
14