人教版九年级上册24.1.1 圆练习

24.1.1　圆

知能演练提升

一、能力提升

1.下列说法错误的是(　　)

A.直径是圆中最长的弦

B.长度相等的两条弧是等弧

C.面积相等的两个圆是等圆

D.半径相等的两个半圆弧是等弧

2.如图,在△ABC中,AB为☉O的直径,∠B=60°,∠BOD=100°,则∠C的度数为(　　)

A.50° B.60°

C.70° D.80°

3.木杆AB斜靠在墙壁上,当木杆的上端A沿墙壁NO竖直下滑时,木杆的底端B也随之沿着射线OM方向滑动.下列图中用虚线画出木杆中点P随之下落的路线,其中正确的是(　　)

4.如图,AB是半圆O的直径,点P从点O出发,沿OA→→BO的路径运动一周.设OP为s,运动时间为t,则下列图象能大致地刻画s与t之间关系的是(　　)

5.(2020·四川成都中考)如图,A,B,C是☉O上的三个点,∠AOB=50°,∠B=55°,则∠A的度数为　　　　　. 

6.著名画家达·芬奇不仅画艺超群,同时还是一个数学家、发明家.他曾经设计过一种圆规(如图),有两个互相垂直的滑槽(滑槽宽度忽略不计),一根没有弹性的木棒的两端A,B能在滑槽内自由滑动,将笔插入位于木棒中点P处的小孔中,随着木棒的滑动就可以画出一个圆来.若AB=20 cm,则画出的圆的半径为　　　　　 cm. 

7.如图,一根2 m长的绳子,一端拴在墙边,另一端拴着一只羊,画出羊的活动区域.

8.如图,△ABC1,△ABC2,△ABC3,……△ABCn是n个以AB为斜边的直角三角形,试判断点C1,C2,C3,…,Cn是否在同一个圆上?并说明理由.

9.如图,M,N,P,Q分别是菱形ABCD各边的中点,点M,N,P,Q在同一个圆上吗?为什么?

★10.如图,点A,D,G,M在半圆O上,四边形ABOC,DEOF,HMNO均为矩形.设BC=a,EF=b,NH=c,则a,b,c之间有什么关系?

11.如图,已知AB是☉O的直径,C为AB延长线上的一点,CE交☉O于点D,且CD=OA,求证:∠C=∠AOE.

二、创新应用

★12.如图①,☉O的半径为r(r>0),若点P'在射线OP上,满足OP'·OP=r2,则称点P'是点P关于☉O的“反演点”.

如图②,☉O的半径为4,点B在☉O上,∠BOA=60°,OA=8.点A',B'分别是点A,B关于☉O的反演点,求A'B'的长.

图①

图②

知能演练·提升

一、能力提升

1.B　2.C

3.D　连接OP,因为OP是Rt△AOB斜边上的中线,所以OP=AB,不管木杆如何滑动,它的长度不变,也就是OP是一个定值,点P就在以O为圆心的圆弧上,那么中点P下落的路线是一段弧线.

4.C　当点P从点O向点A运动时,OP逐渐增大,当点P从点A向点B运动时,OP不变,当点P从点B向点O运动时,OP逐渐减小,故能大致地刻画s与t之间关系的是选项C中的图象.

5.30°

6.10　设两个互相垂直的滑槽的交点为O,则所画的圆为☉O,半径为OP.

∵△AOB是直角三角形,P为斜边AB的中点,

∴OP=AB.

∵AB=20 cm,∴OP=10 cm.

7.分析 根据题意,羊的活动区域应是以O为圆心,以2 m为半径的半圆及其内部.

解 如图,羊的活动区域是图中的阴影部分(包括半圆周).

8.解 点C1,C2,C3,…,Cn在以AB为直径的圆上.

理由如下:取AB的中点D,分别连接C1D,C2D,C3D,…,CnD,则C1D,C2D,C3D,…,CnD分别表示对应的直角三角形斜边上的中线.根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,可知C1D=C2D=C3D=…=CnD=AB.所以点C1,C2,C3,…,Cn在同一个圆上,并且在以AB为直径的圆上.

9.解 点M,N,P,Q在同一个圆上.

理由:如图,连接AC,BD交于点O,连接OM,ON,OP,OQ,

则AC⊥BD.

在Rt△AOD中,

∵点M是AD的中点,

∴OM=AD.

同理,ON=AB,OP=BC,OQ=CD.

∵AB=BC=CD=AD,

∴OM=ON=OP=OQ.

∴点M,N,P,Q在以点O为圆心,OM长为半径的圆上.

10.解 连接OM,OD,OA,根据矩形的对角线相等,得BC=OA,EF=OD,NH=OM.再根据同圆的半径相等,得a=b=c.

11.分析 因为∠AOE是△COE的一个外角,且与∠C不相邻,

所以∠AOE=∠C+∠E.

现在要证明∠C=∠AOE,即∠AOE=3∠C,所以只要证得∠E=2∠C即可.

又由于OE为半径,而连接OD后OD也是半径,故OE=OD,所以∠ODE=∠E,从而可证结论成立.

证明 如图,连接OD.

因为CD=OA=OD,

所以∠C=∠COD.

又OD=OE,

所以∠OED=∠ODE.

所以∠AOE=∠C+∠OED=∠C+∠ODE=∠C+∠COD+∠C=3∠C,即∠C=∠AOE.

二、创新应用

12.解 因为☉O的半径为4,点A',B'分别是点A,B关于☉O的反演点,点B在☉O上,OA=8,所以OA'·OA=16,解得OA'=2.同理可知,OB'=4,所以点B的反演点B'与B重合.设OA交☉O于点M,连接B'M,因为∠BOA=60°,OM=OB',所以△OB'M为等边三角形,又OA'=A'M=2,所以A'B'⊥OM,所以在Rt△OB'A'中,根据勾股定理,得OB'2=OA'2+A'B'2,即16=4+A'B'2,解得A'B'=2.