数学九年级下册28.2 解直角三角形及其应用综合训练题

28.2.2　应用举例(1)

知能演练提升

能力提升

1.某地夏季中午,当太阳移到屋顶上方偏南时,光线与地面成80°角,房屋朝南的窗户高为1.8 m.要在窗户外面上方安装一个水平挡光板,使午间光线不能直接射入室内,那么挡光板的宽度应为(　　)

A.1.8tan 80° m B.1.8cos 80° m

C. m D. m

2.如图,两建筑物AB,CD间的水平距离为a m,从点A测得点D的俯角为α,测得点C的俯角为β,则较低建筑物CD的高度为(　　)

A.a m

B.atan α m

C.a(sin α-cos α)m

D.a(tan β-tan α)m

3.如图,为了测量某建筑物AB的高度,在平地C处测得建筑物顶端A的仰角为30°,沿CB方向前进12 m,到达D处,在D处测得建筑物顶端 A的仰角为45°,则建筑物AB的高度等于(　　)

A.6(+1)m B.6(-1)m

C.12(+1)m D.12(-1)m

4.观光塔是某市的标志性建筑,为测量其高度,如图,一人先在附近一楼房的底端A处观测观光塔顶端C处的仰角是60°,再爬到该楼房顶端B处观测观光塔底部D处的俯角是30°.已知楼房高AB约是45 m,根据以上观测数据可求观光塔的高CD是　　　　　m. 

5.如图,海面上一艘船由西向东航行,在A处测得正东方向上一座灯塔的最高点C的仰角为31°,再向东继续航行30 m到达B处,测得该灯塔的最高点C的仰角为45°,根据测得的数据,计算这座灯塔的高度CD.(结果取整数)

参考数据:sin 31°≈0.52,cos 31°≈0.86,tan 31°≈0.60.

6.如图,塔AB和楼CD间的水平距离BD为80 m,从楼顶C处及楼底D处测得塔顶A的仰角分别是45°和60°.求塔高与楼高.(精确到0.01 m,参考数据≈1.414,≈1.732)

7.如图,在比水面高2 m的A地,观测河对岸一棵树BC的顶部B的仰角为30°,它在水中的倒影B'C的顶部B'的俯角是45°,求树高BC.(结果保留根号)

8.如图,学校的实验楼对面是一幢教学楼,小敏在实验楼的窗口C测得教学楼顶部D的仰角为18°,教学楼底部B的俯角为20°,量得实验楼与教学楼之间的距离AB为30 m.

(1)求∠BCD的度数;

(2)求教学楼的高BD.(结果精确到0.1 m,参考数据:tan 20°≈0.36,tan 18°≈0.32)

★9.我们知道当人的视线与物体表面互相垂直时的视觉效果最佳.小明站在距离墙壁1.60 m处观察装饰画时的示意图如图所示,此时小明的眼睛与装饰画底部A处于同一水平线上,视线恰好落在装饰画的中心位置E处,且与AD垂直.已知装饰画的高度AD为0.66 m.求:

(1)装饰画与墙壁的夹角∠CAD的度数;(精确到1°)

(2)装饰画顶部到墙壁的距离DC.(精确到0.01 m)

创新应用

★10.在一个阳光明媚、清风徐来的周末,小明和小强一起到郊外放风筝.他们把风筝放飞后,将两个风筝的引线一端都固定在地面上的C处(如图).现已知风筝A的引线(线段AC)长为20 m,风筝B的引线(线段BC)长为24 m,在C处测得风筝A的仰角为60°,风筝B的仰角为45°.

(1)试通过计算,比较风筝A与风筝B谁更高?

(2)求风筝A与风筝B间的水平距离.

(精确到0.01 m,参考数据:sin 45°≈0.707,cos 45°≈0.707,tan 45°=1,sin 60°≈0.866,cos 60°=0.5,tan 60°≈1.732)

能力提升

1.D

2.D　过点D作AB的垂线交AB于点E.

在Rt△ADE中,∠ADE=α,DE=a m,

∴AE=a·tan α m.

在Rt△ABC中,∠ACB=β,BC=a m,

∴AB=a·tan β m.

∴CD=AB-AE=a·tan β-a·tan α=a(tan β-tan α)m.

3.A

4.135　在Rt△ABD中,∠BDA=30°,

则tan 30°=.

因为AB=45 m,所以AD=45 m.

在Rt△ACD中,∠CAD=60°,则tan 60°=,所以CD=45=135(m).

5.解 在Rt△CAD中,tan∠CAD=,

则AD=CD.

在Rt△CBD中,∵∠CBD=45°,

∴BD=CD.

∵AD=AB+BD,∴CD=CD+30,

解得CD=45(m).

因此,这座灯塔的高度CD约为45 m.

6.解 在Rt△ABD中,BD=80 m,∠BDA=60°,

∴AB=BD·tan 60°=80≈138.56(m).

在Rt△AEC中,EC=BD=80 m,∠ACE=45°,

∴AE=CE=80 m.

故CD=BE=AB-AE≈58.56 m.

答:塔高与楼高分别约为138.56 m,58.56 m.

7.解 设BC=x m,过点A作AE⊥BC于点E.

在Rt△ABE中,BE=(x-2)m,∠BAE=30°,tan∠BAE=,

∴AE=(x-2)m.

∵∠B'AE=45°,AE⊥BC,

∴B'E=AE=(x-2)m.

又B'E=B'C+EC=BC+AD=(x+2)m,

∴(x-2)=x+2,

∴x=4+2.

∴树高BC为(4+2)m.

8.解 (1)如图,过点C作CE⊥BD于点E,

则∠DCE=18°,∠BCE=20°,

∴∠BCD=∠DCE+∠BCE=18°+20°=38°.

(2)由已知得CE=AB=30 m,

在Rt△CBE中,BE=CE×tan 20°≈30×0.36=10.8(m),

在Rt△CDE中,DE=CE×tan 18°≈30×0.32=9.6(m),

∴教学楼的高BD=BE+DE=10.8+9.6=20.4(m).

答:教学楼的高BD约为20.4 m.

9.分析 (1)在Rt△ABE中,

因为AB=1.6 m,AD=0.66 m,

所以sin∠ABE=,

所以∠ABE≈12°.

由题意知∠CAD与∠EAB互余,∠EAB与∠EBA互余,

所以根据同角的余角相等,得∠CAD=∠EBA≈12°,即装饰画与墙壁的夹角∠CAD的度数约为12°.

(2)在Rt△ACD中,CD=ADsin∠CAD=0.66×sin 12°≈0.14(m),即装饰画顶部到墙壁的距离CD约是0.14 m.也可应用相似三角形的性质解得.

解 (1)∵AD=0.66 m,

∴AE=AD=0.33 m.

在Rt△ABE中,

∵sin∠ABE=,

∴∠ABE≈12°.

∵∠CAD+∠DAB=90°,

∠ABE+∠DAB=90°,

∴∠CAD=∠ABE≈12°.

∴装饰画与墙壁的夹角∠CAD的度数约为12°.

(2)(方法1)在Rt△CAD中,

∵sin∠CAD=,

∴CD=AD·sin∠CAD=0.66×sin 12°≈0.14(m).

(方法2)∵∠CAD=∠ABE,∠ACD=∠AEB=90°,

∴△ACD∽△BEA,

∴.

∴,∴CD≈0.14 m.

∴装饰画顶部到墙壁的距离DC约是0.14 m.

创新应用

10.解 (1)分别过点A,B作地面的垂线,垂足分别为D,E.

在Rt△ADC中,∵AC=20 m,∠ACD=60°,

∴AD=20×sin 60°≈17.32(m).

在Rt△BEC中,∵BC=24 m,∠BCE=45°,

∴BE=24×sin 45°≈16.97(m).

∵17.32>16.97,

∴风筝A比风筝B更高.

(2)在Rt△ADC中,

∵AC=20 m,∠ACD=60°,

∴DC=20×cos 60°=10(m).

在Rt△BEC中,

∵BC=24 m,∠BCE=45°,

∴EC=BE≈16.97 m.

∴EC-DC≈16.97-10=6.97(m),即风筝A与风筝B间的水平距离约为6.97 m.