第八章 二元一次方程组【单元培优卷】-2022-2023学年七年级数学下册单元复习过过过（人教版）

  第八章 二元一次方程组（单元培优卷）

一、选择题（每小题3分，共30分）

1．已知方程组中的x、y相等，则n的值等于(　　)

A．1

B．3

C．－3

D．－4

【答案】D

【解析】先根据方程组中的x、y相等，用y表示出x，把原方程组化为关于y、n的二元一次方程组，再用n表示出y的值，代入方程组中另一方程求出n的值即可．

【详解】∵方程组中的x、y相等，

∴原方程组可化为： ,

由①得，y=，

代入②得，=n+1，解得．

故选：D．

【点睛】本题考查的是解二元一次方程组，熟知代入消元法是解答此题的关键．

2．甲、乙两人分别从相距40千米的两地同时出发，若同向而行，则5小时后，快者追上慢者；若相向而行，则2小时后，两人相遇，那么快者速度和慢者速度(单位：千米/小时)分别是(　　)．

A．14和6 B．24和16 C．28和12 D．30和10

【答案】A

【解析】设快者的速度为x千米/小时，慢这的速度为y千米/小时，根据题意得：

，

解得： ．

故选A．

【点睛】（1）同时，异地出发的追击问题中，到追上时的等量关系是：追赶者走的路程-被追者走的路程=原来两者间的距离；（2）同时，异地出发的相遇问题中，到相遇时的等量关系是：两者走的路程之和=两者间原来的距离．

3．由方程组的解满足x＋y＝5，则m值为(　　)

A．12 B．－12 C．2 D．－2

【答案】C

【解析】由方程组得到x与y含m的值，再代入x+y=5，得到关于m的方程，然后求解方程即可．

【详解】解：，

由①，得x＝4－2m，

由②，得y＝m＋3，

代入x＋y＝5，得4－2m＋m＋3＝5，

解得m＝2，

故选C．

【点睛】本题主要考查解二元一次方程组与一元一次方程，解此题的关键在于熟练掌握其知识点．

4．使方程组有自然数解的整数m（   ）

A．只有5个 B．只能是偶数 C．是小于16的自然数 D．是小于32的自然数

【答案】A

【解析】将m看作已知数表示出y，根据x与y为自然数，确定出整数m的值即可．

【详解】，

由②得：x=2y，

代入①得：4y+my=16，即y=，

当y=1时，m=12；当y=2时，m=4；当y=4时，m=0；当y=8时，m=−2；当y=16时，m=−3，

则m的值有5个，

故答案选A.

【点睛】本题考查的知识点是解二元一次方程组，解题的关键是熟练的掌握解二元一次方程组.

5．已知实数x，y，z满足，则代数式4x﹣4z+1的值是（　　）

A．﹣3 B．3 C．﹣7 D．7

【答案】A

【解析】方程组两方程相减求出x-z的值，原式变形后代入计算即可求出值．

【详解】解：，

②-①得：3x-3z=-3，即x-z=-1，

则原式=4（x-z）+1=-4+1=-3．

故选A．

【点睛】此题考查了解三元一次方程组，熟练掌握运算法则和代数式的变形是解本题的关键．

6．把一根长7 m的钢管截成2 m和1 m两种规格的钢管(两种都有)．如果没有剩余，那么截法有(　　)

A．6种 B．5种 C．4种 D．3种

【答案】D

【解析】截下来的符合条件的钢管长度之和刚好等于总长7米时，不造成浪费，设截成2米长的钢管x根，1米长的y根，由题意得到关于x与y的方程，求出方程的正整数解即可得到结果．

【详解】解；截下来的符合条件的钢管长度之和刚好等于总长7米时，不造成浪费，设截成2米长的钢管x根，1米长的y根，

由题意得，2x+y=7，

 因为x，y都是正整数，所以符合条件的解为：

，

则有三种不同的截法．

故选D．

【点睛】本题考查二元一次方程的应用，读懂题意，找出题目中的等量关系，得出x，y的值是解本题的关键，注意x，y只能取正整数．

7．小明解方程组x+y=■的解为x=5，由于不小心滴下了两滴墨水，刚好把两个数■和★遮住了，则这个数■和★的值为（　　）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】把x＝5代入已知方程组求出■的值，进而求出★的值即可．

【详解】解：把x＝5代入方程组得：

解得：，

把代入得：■＝3＋5＝8，

故选A．

【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．

8．若关于x，y的二元一次方程组无解，则a的值为　　

A． B．1 C． D．3

【答案】A

【解析】把第二个方程整理得到x=3+3y，然后利用代入消元法消掉未知数x，得到关于y的一元一次方程，再根据方程组无解，未知数的系数等于0，列式计算即可得解．

【详解】，

由②得：x=3+3y，③

把③代入①得：a(3+3y)−y=4，

整理得：(3a−1)y=4−3a，

∵方程组无解，

∴3a−1=0，

∴a=.

故选A.

【点睛】本题考查解二元一次方程组.

9．小红在超市买了一些纸杯，她把纸杯整齐地放在一起，如图，根据图中的信息，3个纸杯的高度为9 cm，8个纸杯的高度为14 cm.若她把70个纸杯放在一起时，纸杯的高度为(　　)

A．70 cm B．76 cm C．80 cm D．84 cm

【答案】B

【解析】先设每两个纸杯叠放在一起比单独的一个纸杯增高xcm，单独一个纸杯的高度为ycm，根据单独一个纸杯的高度+3个纸杯叠放在一起比单独的一个纸杯增高的高度=9，单独一个纸杯的高度+8个纸杯叠放在一起比单独的一个纸杯增高的高度=14．根据这两个等量关系可列出方程组，求出x，y的值，再代入即可求出答案．

【详解】解：设每两个纸杯叠放在一起比单独的一个纸杯增高xcm，单独一个纸杯的高度为ycm，根据题意得：

解得：

则70个纸杯放在一起时，它的高度约为：69×1+7=76（cm）．

故选B．

【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，以实物图形为题目主干，图形形象直观，直接反映了物体的数量关系，本题易错点是误把9cm当作3个纸杯的高度，把14cm当作8个纸杯的高度．

10．甲、乙、丙、丁四人到文具店购买同一种笔记本和计算器，购买的数量及总价分别如下表所示．若其中一人的总价算错了，则此人是(　　)

A．甲 B．乙 C．丙 D．丁

【答案】D

【解析】设红豆和桂圆的单价分别为x、y，假设甲是对的，那么有18x+30y=396即3x+5y=66，

将此式代入乙，丙，丁中，我们发现乙，丙都和甲相同，因此，甲是正确的，丁是错误的．故选D.

设红豆雪糕的单价为x，桂圆雪糕的单价为y，则：

甲：18x+30y=6(3x+5y)=396，

3x+5y=396÷6=66；

乙：15x+25y=5(3x+5y)=330，

3x+5y=330÷5=66；

丙：24x+40y=8(3x+5y)=528

3x+5y=528÷8=66；

丁：27x+45y=9(3x+5y)=585，

3x+5y=585÷9=65；

甲乙丙的都为66，丁为65，所以丁算错了.

二、填空题（每题3分，共15分）

11．某玩具车间每天能生产甲种零件200个或乙种零件100个．甲种零件1个与乙种零件2个能组成一个完整的玩具，问怎样安排生产才能在30天内组装出最多的玩具？若设生产甲种零件x天，乙种零件y天，则根据题意列二元一次方程组是__．

【答案】

【解析】解：根据题意，两种零件总共需要30天，甲乙两种零件的配比为1:2，

可列方程为x+y=30，200x×2=100y构成方程组为：，

故答案为 .

12．一列火车通过某铁路桥时，从上桥到过完桥共用30 s，而整列火车在桥上的时间为20 s，若火车速度为20 m/s，则铁路桥长为______ m，火车长为______ m.

【答案】     500     100

【解析】设铁路桥长为x（m），火车长为y（m），根据火车从上桥到过完桥走过路程为桥长＋火车长，整列火车在桥上的路程为桥长－火车长，列出方程组解答即可．

【详解】解：设铁路桥长为x（m），火车长为y（m），

由题意，得，

解得，

即设铁路桥长为500 m，火车长为100 m.

故答案为：500；100．

【点睛】本题主要考查二元一次方程的应用，解此题的关键在于根据题意设出未知数，找到题中相等关系的量列出方程组．

13．如图，8块相同的长方形地砖拼成一个长方形，每块长方形地砖的长和宽分别是x厘米和y厘米，列方程组得______________________．

【答案】

【解析】由图形可知4×小长方形的宽＝60；一个小长方形的长＋一个小长方形的宽＝60，即可设每块长方形地砖的长和宽分别是x厘米和y厘米，再列出二元一次方程组即可.

【详解】解：设每块小长方形地砖的长和宽分别是x厘米和y厘米，就从右边长方形的宽60 cm入手，找到相对应的两个等量关系：4×小长方形的宽＝60；一个小长方形的长＋一个小长方形的宽＝60.可得方程组；

故答案为

【点睛】此题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是根据图形找到等量关系.

14．若方程组(m为常数)的解满足5x+3＝﹣y，则m＝______．

【答案】5

【解析】方程组两方程相加表示出5x+y，结合已知方程得出关于m的方程，计算即可求出m的值．

【详解】将方程组两个方程相加可得10x+2y＝﹣1﹣m，

两边都除以2，得：5x+y＝，

∵5x+3＝﹣y，

∴5x+y＝﹣3，

∴＝﹣3，

解得：m＝5，

故答案为5．

【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，利用等式的性质得出2（5x+y）＝2×是解题关键．

15．定义运算“*”，规定x*y＝ax2+by，其中a、b为常数，且1*2＝5，2*1＝6，则3*8＝______．

【答案】25．

【解析】根据题意得出方程组，求出a、b的值，再代入求出即可．

【详解】解：根据题意得：，

解得：，

即x*y＝ax2+by＝x2+2y，

∴3*8＝32+2×8＝25.

故答案为25．

【点睛】本题考查了解二元一次方程组和有理数的混合运算，能求出a、b的值是解此题的关键．

三、解答题（共75分）

16．（9分）已知方程组和方程组的解相同,求的值.

【答案】1.

【解析】因为两个方程组有相同的解，故只需把两个方程组中不含字母系数的方程和含有字母系数的方程分别组成方程组，求出未知数的值，再代入另一组方程组即可．最后求出的值．

【详解】解：根据题意,解方程组所以解得

所以==1

【点睛】解题关键是根据两个方程组的解相同，可列出新的方程组求解．再把x和y的值代入求出a和b的值．

17．（9分）已知方程组，甲正确地解得，而乙粗心地把C看错了，得，试求出a，b，c的值．

【答案】a＝3，b＝﹣1，c＝3．

【解析】把代入方程ax+by=3即可得到一个关于a，b的方程组，即可求得a，b的值，把代入方程5x-cy=1即可求得c的值．

【详解】根据题意得：，

解得：，

把代入方程5x﹣cy＝1，得到：10﹣3c＝1，

解得：c＝3．

故a＝3，b＝﹣1，c＝3．

【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，方程的解的定义，正确理解定义是解题的关键．

18．（9分）已知二元一次方程组的解的和是2，求x、y、k的值．

【答案】x=5,y=-3,k=3

【解析】把二元一次方程组的解用含有k的字母表示出来，然后根据题意解的和为2，求出k，然后代入分别求出x、y

【详解】解：方程组 得：  

∵方程组的解的和为2

∴ ，

解得：k=3，代入求得x=5,y=-3

【点睛】解二元一次方程组是本题的考点，把二元一次方程组的解用k表示出来，根据题意求出k是解题的关键.

19．（9分）已知用辆型车和辆型车装满货物一次可运货吨；用辆型车和辆型车装满货物一次可运货吨．某物流公司现有吨货物，计划同时租用型车辆，型车辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物．

根据以上信息，解答下列问题：

(1)1辆型车和1辆型车都装满货物一次可分别运货多少吨？

(2)请你帮该物流公司设计租车方案（即、两种型号的车各租几辆，有几种租车方案）．

【答案】(1)1辆A型车一次可运货3吨，1辆B型车一次可运货4吨

(2)三种方案：方案一：租用A型车1辆，B型车7辆；方案二：租用A型车5辆，B型车4辆；方案三：租用A型车9辆，B型车1辆

【解析】（1）设1辆A型车一次可运货x吨，1辆B型车一次可运货y吨，由“用2辆A型车和1辆B型车装满货物一次可运货10吨；用1辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运货11吨”列出方程组可求解；

（2）由“现有31吨货物，计划同时租用A型车和B型车，一次运完，且恰好每辆车都装满货物”列出方程，求出正整数解，即可求解．

【详解】（1）解：（1）设1辆A型车一次可运货x吨，1辆B型车一次可运货y吨，

由题意可得：，

解得：，

答：1辆A型车一次可运货3吨，1辆B型车一次可运货4吨．

（2）解：由题意可得：3a+4b=31，

∵a,b为正整数，

∴a=1，b=7或a=5，b=4或a=9，b=1，

∴有三种方案，方案一：租用A型车1辆，B型车7辆；

方案二：租用A型车5辆，B型车4辆；

方案三：租用A型车9辆，B型车1辆

答：方案一：租用A型车1辆，B型车7辆；方案二：租用A型车5辆，B型车4辆；方案三：租用A型车9辆，B型车1辆．

【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用和二元一次方程的应用，找出正确的等量关系是解题的关键．

20．（9分）阅读以下内容：

已知实数x，y满足x＋y＝2，且，k的值．

三名同学分别提出了以下三种不同的解题思路：

甲同学：先解关于x，y的方程组，求k的值．

乙同学：先将方程组中的两个方程相加，再求k的值．

丙同学：先解方程组，再求k的值．

你最欣赏以上哪名同学的解题思路？先根据你所选的思路解答此题，再对你选择的思路进行简要评价．

(评价参考建议：基于观察到题目的什么特征设计的相应思路，如何操作才能实现这些思路、运算的简洁性，以及你依此可以总结出什么解题策略等)

【答案】我最欣赏（1）中的乙同学的解题思路，k=，评价见解析

【解析】选择乙同学的解题思路，①+②得出5x+5y=7k+4，求出x+y==2，即可求出答案．

【详解】解：我最欣赏（1）中的乙同学的解题思路，

，

①+②得：5x+5y=7k+4，

x+y=，

∵x+y=2，

∴=2，

解得：k=，

评价：甲同学是直接根据方程组的解的概念先解方程组，得到用含k的式子表示x，y的表达式，再代入x+y=2得到关于k的方程，没有经过更多的观察和思考，解法比较繁琐，计算量大；

乙同学观察到了方程组中未知数x，y的系数，以及与x+y=2中的系数的特殊关系，利用整体代入简化计算，而且不用求出x，y的值就能解决问题，思路比较灵活，计算量小；

丙同学将三个方程做为一个整体，看成关于x，y，k的三元一次方程组，并且选择先解其中只含有两个未知数x，y的二元一次方程组，相对计算量较小，但不如乙同学的简洁、灵活．

【点睛】本题考查了解二元一次方程组的应用，解题的关键是能选择适当的方法解方程组．

21．（9分）如图为地铁调价后的计价表．调价后小明、小伟从家到学校乘地铁分别需要4元和3元．由于刷卡坐地铁有优惠，因此，他们平均每次实付3.6元和2.9元．已知小明从家到学校乘地铁的里程比小伟从家到学校的里程多5 km，且小明每千米享受的优惠金额是小伟的2倍，求小明和小伟从家到学校乘地铁的里程分别是多少千米．

【答案】小明和小伟从家到学校乘地铁的里程分别是10千米、5千米．

【解析】设小明和小伟从家到学校乘地铁的里程分别是x千米、y千米，题中有两个等量关系：小明从家到学校乘地铁的里程-小伟从家到学校的里程=5，小明每千米享受的优惠金额=小伟每千米享受的优惠金额×2，依此列出方程组，解方程组即可．

【详解】设小明和小伟从家到学校乘地铁的里程分别是x千米、y千米．

根据题意得

，

解得．

答：小明和小伟从家到学校乘地铁的里程分别是10千米、5千米．

【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．利用二元一次方程组求解的应用题一般情况下题中要给出2个等量关系，准确的找到等量关系并用方程组表示出来是解题的关键．

22．（10分）某旅行社拟在暑假期间面向学生推出“林州红旗渠一日游”活动，

收费标准如下：

甲、乙两所学校计划组织本校学生自愿参加此项活动.已知甲校报名参加的学生人数多于100人，乙校报名参加的学生人数少于100人．经核算，若两校分别组团共需花费20 800元，若两校联合组团只需花赞18 000元．

(1)两所学校报名参加旅游的学生人数之和超过200人吗．为什么；

(2)两所学校报名参加旅游的学生各有多少人．

【答案】（1）超过，理由见解析；（2）甲学校160人，乙学校80人．

【解析】（1）由已知分两种情况讨论，即a＞200和100＜a≤200，得出结论；

（2）根据两种情况的费用，即x＞200和100＜x≤200分别设未知数列方程求解，讨论得出答案．

【详解】解：（1）设两校人数之和为a．

若a＞200，则a=18 000÷75=240．

若100＜a≤200，则，不合题意．

所以这两所学校报名参加旅游的学生人数之和等于240人，超过200人．

（2）设甲学校报名参加旅游的学生有x人，乙学校报名参加旅游的学生有y人，则

①当100＜x≤200时，得

解得

②当x＞200时，得

，解得此解不合题意，舍去．

答：甲学校报名参加旅游的学生有160人，乙学校报名参加旅游的学生有80人．

【点睛】本题考查二元一次方程组，本题难度中等，主要考查学生运用二元一次方程组知识点解决实际问题的综合运算能力，为中考常考题型，要求学生牢固掌握解题技巧．注意这类题型中未知数的特殊性去整数值等性质．

23．（11分）某商场计划从一厂家购进若干部新型手机以满足市场需求．已知该厂家生产三种不同型号的手机，出厂价分别是甲种型号手机1800元/部，乙种型号手机600元/部，丙种型号手机1200元/部．商场在经销中，甲种型号手机可赚200元/部，乙种型号手机可赚100元/部，丙种型号手机可赚120元/部．

(1)若商场用6万元同时购进两种不同型号的手机共40部，并恰好将钱用完，请你通过计算分析进货方案；

(2)在(1)的条件下，求盈利最多的进货方案．

【答案】(1)有两种进货方案：方案一，甲种型号手机购进30部，乙种型号手机购进10部，方案二，甲种型号手机购进20部，丙种型号手机购进20部；(2)购进甲种型号手机30部，乙种型号手机10部盈利最多．

【解析】（1）商场用6万元同时购进两种不同型号的手机有三类不同的方案：①购进甲乙两种，②乙丙两种，③购进甲丙两种．然后根据购进的两种手机的部数和=40，购机两种手机用的总费用=6万元，这两个等量关系来列出方程组，解方程组即可．

（2）根据（1）得出的方案，计算出各方案的盈利额，然后比较哪种盈利较多；

【详解】(1)设购进甲种型号手机x部，乙种型号手机y部，丙种型号手机z部．

根据题意，得

① 解得

② 解得

③

解得 (不合题意，舍去)

故有两种进货方案：方案一，甲种型号手机购进30部，乙种型号手机购进10部；方案二，甲种型号手机购进20部，丙种型号手机购进20部．

(2)方案一盈利：200×30＋100×10＝7000(元)；

方案二盈利：200×20＋120×20＝6400(元)．

因为7000元>6400元，

所以购进甲种型号手机30部，乙种型号手机10部盈利最多．

【点睛】此题比较复杂，根据已知条件首先要分类讨论，然后在可能的情况下分别列出方程组，解方程组根据解的情况就可以确定购买方案．