苏科版八年级下册10.1 分式优秀随堂练习题

专题10.1   分 式（基础篇）专项练习

一、单选题

1．无论x取什么数时，总是有意义的分式是（　　）

A． B． C． D．

2．解分式方程时，去分母后变形为

A． B．

C． D．

3．关于x的方程的解为正数，则k的取值范围是（    ）

A． B． C．且 D．且

4．已知关于x的分式方程的解是非正数，则a的取值范围是

A．a≤﹣1 B．a≤﹣1且a≠﹣2 C．a≤1且a≠﹣2 D．a≤1

5．下列分式中，不是最简分式的是（　　）

A． B．

C． D．

6．分式方程有增根，则的值为　　

A．0和3 B．1 C．1和 D．3

7．对于非零实数，规定，若，则的值为

A． B． C． D．

8．如果把分式中的x和y都扩大2倍，则分式的值（  ）

A．扩大4倍 B．扩大2倍 C．不变 D．缩小2倍

9．若关于x的一元一次不等式组的解集为x≥5，且关于y的分式方程有非负整数解，则符合条件的所有整数a的和为（　　　　 ）

A．-1 B．-2 C．-3 D．0

10．按照如图所示的流程，若输出的，则输入的m为（    ）

A．3 B．1 C．0 D．-1

11．甲、乙两人加工某种机器零件，已知每小时甲比乙少加工6个这种零件，甲加工240个这种零件所用的时间与乙加工300个这种零件所用的时间相等，设甲每小时加工x个零件，所列方程正确的是（    ）

A． B． C． D．

二、填空题

12．若分式的值为0，则x的值为_______.

13．若分式方程有增根，则_____．

14．分式与的最简公分母是__________．

15．函数中，自变量x的取值范围是__________．

16．与通分的结果是_______．

17．下列各式①；②；③；④；⑤中分子与分母没有公因式的分式是__．（填序号）

18．关于x的方程有增根，则k的值是__________．

19．观察下列各式：， 根据其中的规律可得________（用含n的式子表示）．

20．已知=+，则实数A=_____．

21．已知，则 _________．

22．若关于的分式方程无解，则________．

三、解答题

23．计算：                   

（1）                     （2）

24．解方程：

（1）                   （2）

25．（1）若解关于 x的分式方程会产生增根，求 m的值．

（2）若方程的解是正数，求 a的取值范围．

26．先化简，后求值：

 (1)，其中.

（2） +1 ，其中a=,b=-3

27．为做好复工复产，某工厂用A、B两种型号机器人搬运原料，已知A型机器人比B型机器人每小时多搬运20kg，且A型机器人搬运1200kg所用时间与B型机器人搬运1000kg所用时间相等．

（1）求这两种机器人每小时分别搬运多少原料？

（2）该工厂计划让A、B两种型号机器人一共工作20个小时，并且B型号机器人的工作时间不得低于A型号机器人，求最多搬运多少千克原料？

参考答案

1．A

【解析】

试题分析：分式总是有意义，即分母恒不为0．A、∵≠0，∴分式恒有意义．B、当2x+1=0，即x=﹣0.5时，分式无意义．C、当=0，即x=﹣1时，分式无意义．D、当=0，即x=0时，分式无意义．

故选A．

考点：分式有意义的条件．

2．D

【详解】

试题分析：方程，两边都乘以x-1去分母后得：2-（x+2）=3（x-1），故选D.

考点：解分式方程的步骤.

3．C

【分析】

先对分式方程去分母，再根据题意进行计算，即可得到答案.

【详解】

解：分式方程去分母得：，

解得：，

根据题意得：，且，

解得：，且．

故选C．

【点拨】

本题考查分式方程，解题的关键是掌握分式方程的求解方法.

4．B

【解析】

试题分析：分式方程去分母得：a+2=x+1，解得：x=a+1，

∵分式方程的解为非正数，∴a+1≤0，解得：a≤﹣1。

又当x=﹣1时，分式方程无意义，∴把x=﹣1代入x=a+1得。

∴要使分式方程有意义，必须a≠﹣2。

∴a的取值范围是a≤﹣1且a≠﹣2。　

故选B。

5．B

【分析】

最简分式的标准是分子,分母中不含有公因式,不能再约分.判断的方法是把分子,分母分解因式,观察互为相反数的因式,这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而约分.

【详解】

最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分．

解：A、是最简分式，不符合题意;

B、不是最简分式，符合题意;

C、是最简分式，不符合题意;

D、是最简分式，不符合题意;

故选：B.

【点拨】

本题主要考查了分式化简中最简分式的判断.

6．D

【分析】

等式两边同乘以最简公分母后，化简为一元一次方程，因为有增根可能为x1=1或x2=﹣2分别打入一元一次方程后求出m，再验证m取该值时是否有根即可.

【详解】

∵分式方程-1=有增根，

∴x﹣1=0，x+2=0，

∴x1=1，x2=﹣2．

两边同时乘以（x﹣1）（x+2），原方程可化为x（x+2）﹣（x﹣1）（x+2）=m，

整理得，m=x+2，

当x=1时，m=1+2=3；

当x=﹣2时，m=﹣2+2=0，

当m=0，方程无解，

∴m=3．

故选D．

7．A

【解析】

试题分析：∵，∴．

又∵，∴．

解这个分式方程并检验，得．故选A．

8．B

【分析】

把分式中的x和y都扩大2倍，分别用2x和2y去代换原分式中的x和y，利用分式的基本性质化简即可.

【详解】

把分式中的x和y都扩大2倍得：==2，

∴分式的值扩大2倍，

故选B.

【点拨】

本题主要考查分式的基本性质，根据分式的基本性质，无论是把分式的分子和分母扩大还是缩小相同的倍数，都不要漏乘（除）分子、分母中的任何一项．

9．B

【分析】

首先由不等式组的解集为x≥5，得a＜3，然后由分式方程有非负整数解，得a≥-2且a≠2的偶数，即可得解.

【详解】

由题意，得

，即

，即

∴，即

，解得

有非负整数解，即

∴a≥-2且a≠2

∴且

∴符合条件的所有整数a的数有：-2，-1,0,1

又∵为非负整数解，

∴符合条件的所有整数a的数有：-2,0

∴其和为

故选：B.

【点拨】

此题主要考查根据不等式组的解集和分式方程的解求参数的值，熟练掌握，即可解题.

10．C

【分析】

根据题目中的程序，利用分类讨论的方法可以分别求得m的值，从而可以解答本题．

【详解】

解：当m2-2m≥0时，

，解得m=0，

经检验，m=0是原方程的解，并且满足m2-2m≥0，
当m2-2m＜0时，
m-3=-6，解得m=-3，不满足m2-2m＜0，舍去．
故输入的m为0．
故选：C．

【点拨】

本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．

11．B

【分析】

根据“甲加工240个这种零件所用的时间与乙加工300个这种零件所用的时间相等”，列出方程即可．

【详解】

解：根据题意得：，

故选B．

【点拨】

本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．

12．-3

【分析】

根据分式的值为零的条件可以求出x的值．

【详解】

解：根据题意得：，

解得：x=-3．
故答案为：-3.

【点拨】

若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．

13．1

【分析】

根据增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母（x﹣1）（2﹣x）＝0，得到x＝1或2，然后代入化为整式方程的方程算出k的值．

【详解】

方程两边都乘以（x﹣1）（2﹣x），得：

　2（x﹣1）（2﹣x）+（1﹣kx）（2﹣x）＝x﹣1．

由分式方程有增根，得x＝1或x＝2是分式方程的增根．

①当x＝1时，1﹣k＝0，解得：k＝1；

②当x＝2时，k不存在．

故答案为1．

【点拨】

本题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．

14．2a2b2

【解析】

与的分母分别是2a2b、ab2，故最简公分母是2a2b2，

故答案为 2a2b2.

【点拨】本题考查了最简公分母的确定，确定最简公分母的关键是：各分母所含的所有因式的最高次幂的积即为最简公分母.

15．x≥-1且x≠3

【分析】

根据二次根式有意义的条件以及分母不等于零，列出不等式组，进而即可求解．

【详解】

由题意得：x+1≥0且3-x≠0，

解得：x≥-1且x≠3，

故答案是：x≥-1且x≠3．

【点拨】

本题主要考查函数自变量的取值范围，熟练掌握二次根式有意义的条件以及分母不等于零，是解题的关键．

16．

【分析】

找到最简公分母，根据分式的结伴行知进行通分即可；

【详解】

，，

最简公分母为，

通分后分别为．

故答案为：．

【点拨】

本题主要考查了分式的通分，准确计算是解题的关键．

17．③⑤

【详解】

①∵=, ∴分子与分母有公因式3；

②∵∴分子与分母有公因式x+y；

③的分子与分母没有公因式；

④∵∴分子与分母有公因式m；

⑤的分子与分母没有公因式.

∴③和⑤的分子与分母没有公因式，

故答案为③和⑤.

18．2

【分析】

增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母x-3=0，得到x=3，然后代入化为整式方程的方程算出k的值．

【详解】

解：方程两边都乘x-3，
得：x-1=2(x-3)+k，
∵原方程有增根，
∴最简公分母x-3=0，
解得x=3，
当x=3时，k=2．
故k的值为2．

【点拨】

考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：
①让最简公分母为0确定增根；
②化分式方程为整式方程；
③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．

19．

【分析】

观察发现，每一项都是一个分数，分母依次为3、5、7，…，那么第n项的分母是2n+1；分子依次为2，3，10，15，26，…，变化规律为：奇数项的分子是n2+1，偶数项的分子是n2-1，即第n项的分子是n2+（-1）n+1；依此即可求解．

【详解】

解：由分析得，

故答案为：

【点拨】

本题考查学生通过观察、归纳、抽象出数列的规律的能力，要求学生首先分析题意，找到规律，并进行推导得出答案．

20．1

【分析】

将右边的分式合并之后，运用待定系数法建立关于A，B的方程组求解即可．

【详解】

，

∵=+，

∴，解得：．

故答案为：1．

【点拨】

本题考查分式的加减，准确通过通分变形是解题关键．

21．

【分析】

首先把去分母可得y＋x＝2xy，然后把变形后代入y＋x＝2xy，约分化简即可．

【详解】

解：∵，

∴，

∴y＋x＝2xy，

∴

，

故答案为：．

【点拨】

此题主要考查了分式的计算，关键是正确利用等式的性质把式子变形．

22．或

【分析】

先求解分式方程，让将x代入最简公分母后，令其为0，即可求出m的值．

【详解】

解：去分母可得：，
，
当时，
∴   ，此时方程无解，满足题意，
当时，
，
由于该分式方程无解，故，
，
∴   或，
当时，解得：，
当时，此时无解，满足题意．
故答案为：或．

【点拨】

本题考查分式方程的解，涉及分类讨论的思想．

23．（1）或 （2）

【解析】

分析：（1）根据分式的乘法，先进行因式分解，然后约分即可；

（2）根据分式的加减，先通分，然后按照同分母的分式的加减计算，再约分化简即可.

详解：（1）解：                        

=

=

（2）

=

=

=

= .

点拨：本考查了分式的混合运算：分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．

24．（1）；（2）.

【分析】

（1）两边同乘以x-1将分母去掉，然后进行移项，接着合并同类项，再将系数化为1，求出结果后进行检验，即可得出答案；

（2）两边同乘以6x-2将分母去掉，然后进行移项，接着合并同类项，再将系数化为1，求出结果后进行检验，即可得出答案.

【详解】

解（1）去分母得：x-1-1=-2x

移项得：x+2x=2

合并同类项得：3x=2

系数化为1得：

将代入最简公分母进行检验：x-1≠0

∴是分式方程的解

（2）去分母得：3(3x-1)-2=5

去括号得：9x-3-2=5

移项得：9x=5+3+2

合并同类项得：9x=10

系数化为1得：

将代入最简公分母进行检验：6x-2≠0

∴是分式方程的解.

【点拨】

本题考查的是解分式方程，注意解分式方程一定要进行检验.

25．（1）m=-4或6；（2）a＜2且a≠-4

【分析】

（1）根据增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根，把增根代入化为整式方程的方程即可求出m的值．
（2）先解关于x的分式方程，求得x的值，然后再依据“解是正数”建立不等式求a的取值范围．

【详解】

解：（1）方程两边都乘（x+2）（x-2），得
2（x+2）+mx=3（x-2）
∵最简公分母为（x+2）（x-2），
∴原方程增根为x=±2，
∴把x=2代入整式方程，得m=-4．
把x=-2代入整式方程，得m=6．
综上，可知m=-4或6．
（2）解：去分母，得2x+a=2-x
解得：x=，

∵解为正数，

∴＞0，

∴2-a＞0，
∴a＜2，且x≠2，
∴a≠-4
∴a＜2且a≠-4．

【点拨】

本题考查了分式方程的增根、分式方程的解、一元一次不等式，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．

26．(1) (2)

【解析】

试题分析：先用分式混合运算法则化简分式，然后代入求值即可．

试题解析：解：（1）原式．

当时，原式．

（2）＝

＝＝

＝＝

当时，原式＝＝＝．

27．（1）型为：120千克小时，型为：100千克每小时；（2）最多搬运2200千克．

【分析】

（1）根据“A型机器人搬运1200kg所用时间与B型机器人搬运1000kg所用时间相等”建立方程即可得解；

（2）根据题意设工作（）小时，共搬运了千克，由已知建立一元一次不等式确定参数范围，再建立关于的函数关系式，根据参数的范围，函数的性质确定最大值即可．

【详解】

解：（1）谁设型机器人的搬运速度为千克每小时，则型为：千克每小时，

由题：，

解得：，

经检验是方程的根，

故型为：120千克小时，型为：100千克每小时；

（2）设工作（）小时，共搬运了千克，则型工作小时，

由题，且，

解得：，

，

当时，

当时，根据一次函数的性质，

时，有最大值，，

最多搬运2200千克．

【点拨】本题考查了分式方程、一元一次函数、一元一次不等式的实际应用；能找准等量关系建立方程，能结合参数范围确定函数的最大值时解决本题的关键．