专题12 分式及分式的基本性质压轴题十种模型全攻略-【常考压轴题】2022-2023学年八年级数学下册压轴题攻略（苏科版）

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专题12 分式及分式的基本性质压轴题十种模型全攻略【考点导航】目录TOC \o "1-3" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc3915" 【典型例题】  PAGEREF _Toc3915 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc20640" 【考点一 判断是否是分式】  PAGEREF _Toc20640 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc8599" 【考点二 分式有无意义】  PAGEREF _Toc8599 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc23100" 【考点三 分式的值为0】  PAGEREF _Toc23100 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc11876" 【考点四 求分式的值】  PAGEREF _Toc11876 \h 5 HYPERLINK \l "_Toc30102" 【考点五 求使分式值为整数时未知数的整数值】  PAGEREF _Toc30102 \h 7 HYPERLINK \l "_Toc23340" 【考点六 最简分式】  PAGEREF _Toc23340 \h 8 HYPERLINK \l "_Toc9813" 【考点七 判断分式变形是否正确】  PAGEREF _Toc9813 \h 10 HYPERLINK \l "_Toc2252" 【考点八 利用分式的基本性质判断分式值的变化】  PAGEREF _Toc2252 \h 11 HYPERLINK \l "_Toc11907" 【考点九 求使分式变形成立的条件】  PAGEREF _Toc11907 \h 12 HYPERLINK \l "_Toc19258" 【考点十 将分式的分子分母各项系数化为整数】  PAGEREF _Toc19258 \h 13 HYPERLINK \l "_Toc11247" 【过关检测】  PAGEREF _Toc11247 \h 15【典型例题】【考点一 判断是否是分式】例题：（2023秋·河北石家庄·八年级统考期末）式子，，，，中是分式的有（    ）个．A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】形如“，且中含有字母”这样的代数式叫分式，根据分式的定义逐一分析判断即可．【详解】解：式子，，，，中是分式的有∴分式有3个，故选：B．【点睛】本题考查的是分式的概念，掌握“分式的概念”是解本题的关键．【变式训练】1．（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨风华中学校考开学考试）下列式子中不是分式的是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据分式的定义，逐个判断得结论．【详解】解：解：选项A、C、D的分母中都含有未知数，故它们都是分式；是整式．所以不是分式的是B．故选：B．【点睛】本题考查了分式的定义．分式需同时满足三个条件：（1）的形式；（2）分子、分母都是整式；（3）分母中含有字母．2．（2023春·内蒙古巴彦淖尔·八年级校考阶段练习）在式子中，分式的个数为（　　）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】根据分式的定义逐项分析判断即可，分式的定义，一般地，如果、（不等于零）表示两个整式，且中含有字母，那么式子就叫做分式，其中称为分子，称为分母．【详解】解：在式子中，是单项式，是分式，共2个，故选：B．【点睛】本题考查了分式的定义，掌握分式的定义是解题的关键．3．（2023秋·黑龙江哈尔滨·八年级统考期末）代数式，，，中，属于分式的有（    ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】根据分式的定义进行判断即可．【详解】解：，，，中，属于分式的有，，共2个，故B正确．故选：B．【点睛】本题主要考查了分式的定义，解题的关键是熟练掌握分式的定义，一般地，如果A、B表示两个整式，且B中含有字母，那么式子就叫做分式，其中A称为分子，B称为分母．【考点二 分式有无意义】例题：（2023秋·广西防城港·八年级统考期末）若分式有意义，x的取值范围是______．【答案】【分析】根据分式有意义的条件是分母不等于0，故分母，解得x的范围．【详解】解：根据题意得：，解得：，故答案为：．【点睛】本题考查了分式有意义的条件．解题的关键是掌握要使得分式有意义，必须满足分母不等于0．【变式训练】1．（2023秋·山东日照·八年级校考期末）代数式有意义，则实数x的取值范围是________．【答案】【分析】由代数式有意义的条件可得：且，求解即可得到答案．【详解】∵代数式有意义，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查的是代数式有意义的条件，掌握分式有意义的条件与零指数幂的底数不能为零是解题的关键．2．（2022·江苏无锡·八年级期末）当x＝____时，分式无意义，当x＝____时，分式的值为0．【答案】     -1     1【分析】根据分式有意义的条件和分式值为0的条件列方程和不等式即可得答案．【详解】解：由题意得使分式无意义时，则x=-1，当分式的值为0时，则，，∴x=1．故答案为：-1；1【点睛】本题考查分式的值为零的条件及分式有意义的条件，要使分式有意义，分母不为0，分式的值为0，则分子为0，分母不为0．【考点三 分式的值为0】例题：（2022·河南郑州·八年级期末）若分式的值为0，则x的取值为_______．【答案】【分析】根据分式的值为零的条件可以求出x的值．【详解】解：由题意得，，，由得或，由得，∴．故答案为：．【点睛】本题考查分式为0的条件，若分式的值为零，需同时具备两个条件：(1)分子为0；(2)分母不为0，这两个条件缺一不可．【变式训练】1．（2022·安徽滁州·七年级阶段练习）当x的值是________时，分式的值为零．【答案】-3【分析】根据分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零列出不等式，解等式或不等式即可．【详解】解：由题意得|x|-3=0，且2x-6≠0，解得，x=±3，x≠3，∴x=-3．则x=-3时，分式 的值为零．故答案为：-3．【点睛】本题主要考查的是分式值为零的条件，特别注意分母不为0的条件，熟练掌握相关知识是解题的关键．2．（2022秋·江西南昌·八年级南昌市第十九中学校考期末）当x的取值满足______时，分式有意义______时，分式无意义______时，式子的值为0．【答案】     ；     ；     ．【分析】根据分母不为零时分式有意义，分母为零时分式无意义，分子且分母时分式的值为0，列方程或不等式可求解即可．【详解】解：由题意得：，解得：；由题意得：，解得：，由题意得：，且，解得：；故答案为：，，．【点睛】此题主要考查了分式有意义和分式值为零的条件，分式有意义的条件是分母不等于零；分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少．3．（2023春·八年级课时练习）当x取什么值时，分式满足下列要求：(1)无意义(2)有意义；(3)值为0．【答案】(1)(2)(3)当时，分式的值为0【分析】（1）根据分式无意义的条件：分母为零，即可列式求解；（2）根据分式有意义的条件：分母不为零，即可列不等式求解；（3）根据分式值为零的条件：分母不为零且分子为零，即可列式求解．【详解】（1）解：当分式无意义，则根据分式无意义的条件得：，即，解得，当时，分式无意义；（2）解：当分式有意义，则根据分式有意义的条件得：，即，解得，当时，分式有意义；（3）解：当分式，则，即，解得，当时，分式值为零．【点睛】本题考查分式的综合运用，掌握分式有意义、无意义及值为零的条件，根据题意得到相应的方程及不等式求解是解决问题的关键．【考点四 求分式的值】例题：（2023·上海长宁·统考一模）已知，那么的值为______．【答案】【分析】由得把代入化简即可得出结果．【详解】解：由得把代入故答案为：【点睛】本题主要考查求分式的值，求出之间的关系，然后代入分式中求解即可．【变式训练】1．（2023秋·北京·八年级校联考期末）若，且，则的值是_________．【答案】【分析】已知等式变形后，代入原式计算即可得到结果．【详解】解∶，且，，原式．故答案为∶．【点睛】此题考查了分式的值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．2．（2023秋·山东烟台·八年级统考期末）已知，则代数式的值为______．【答案】##【分析】将代数式的分子分母同时除以，然后将已知等式代入进行计算即可求解．【详解】解：∵∴故答案为：．【点睛】本题考查了分式的性质，整体代入是解题的关键．【考点五 求使分式值为整数时未知数的整数值】例题：（2023春·八年级课时练习）若表示一个整数，则整数可取值共有（    ）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个【答案】D【分析】由x是整数，也表示一个整数，可知x+1为4的约数，即x+1=±1，±2，±4，从而得出结果．【详解】解：∵x是整数，也表示一个整数，∴x+1为4的约数，即x+1=±1，±2，±4，∴x=-2，0，-3，1，-5，3．则整数x可取值共有6个．故选：D．【点睛】本题考查了此题首先要根据分式值是整数的条件，能够根据已知条件分析出x+1为4的约数，是解决本题的关键．【变式训练】1．（2022秋·山东日照·八年级校考期末）使分式的值为整数的所有整数x的和是（   ）A．3 B．2 C．0 D．-2【答案】B【分析】由整除的性质可知，是的约数，分别求得符合题意的x值，再求和即可．【详解】解：∵，∵是整数，∴或，解得或1或2或，所以所有整数x的和为：，故B正确．故选：B．【点睛】本题主要考查了分式的值，掌握整除的性质是解题的关键．本题是基础知识的考查，比较简单．2．（2022秋·江苏盐城·八年级校考期中）已知的值为正整数，则整数m的值为_________________________.【答案】7或9【分析】根据分式的性质即可求出答案．【详解】解：∵的值为正整数，∴或3，∴整数的值为7或9，故答案为：7或9．【点睛】本题主要考查分式的值为正整数，分母中的整数字母取值的问题，按照数的整除特点来解题是解答此题的关键．【考点六 最简分式】例题：（2022秋·湖南岳阳·八年级校考期中）下列分式是最简分式的是(   )A． B． C． D．【答案】A【分析】最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分．【详解】解：A、该分式符合最简分式的定义，故本选项符合题意；B、该分式的分子、分母中含有公因数3，则它不是最简分式．故本选项不符合题意；C、该分式的分子、分母中含有公因式，则它不是最简分式．故本选项不符合题意；D、该分式的分母为，所以该分式的分子、分母中含有公因式，则它不是最简分式．故本选项不符合题意；故选：A．【点睛】本题主要考查了最简分式的定义，关键是理解最简分式的定义．【变式训练】1．（2022·广西贺州·七年级期末）在下列分式中，是最简分式的是（　　　）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据最简分式的定义，逐项分析判断即可求解．【详解】A、原式，故A不是最简分式，不符合题意；B、是最简分式，符合题意；C、原式，故C不是最简分式，不符合题意；D、原式，故D不是最简分式，不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查最简分式，解题的关键是正确理解最简分式的定义，最简分式定义， 一个分式的分子与分母没有非零次的公因式时 (即分子与分母互素)叫最简分式．2．（2022·河南平顶山·八年级期末）下列各分式中，最简分式是（       ）A． B． C． D．【答案】D【分析】判断分式是否是最简分式，看分式的分子分母能否进行因式分解，是否能约分．【详解】解：A项可化简为，故错误；B项可化简为，故错误；C项可化简为，故错误；D项是最简分式，故正确．故选D．【点睛】此题考查了最简分式，掌握分式在化简时，应先将分子、分母中能够分解因式的部分进行分解因式是解题的关键．【考点七 判断分式变形是否正确】例题：（2023秋·河北沧州·八年级统考期末）根据分式的基本性质，分式可变形为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据分式的基本性质即可求出答案．【详解】，故选：D．【点睛】本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于基础题型．【变式训练】1．（2023秋·广东云浮·八年级统考期末）根据分式的基本性质对分式变形，下列正确的是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据分式的基本性质分别计算后判断即可．【详解】A．分子分母同时加上同一个数，分式不一定成立，故原选项错误；B． ，故原选项错误；C．分式的分子与分母都乘以同一个不等于零的整式，分式的值不变，故原选项正确；D．，故原选项错误；故选C【点睛】本题考查了分式的基本性质，把分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变．2．（2023春·重庆北碚·九年级西南大学附中校考阶段练习）下列代数式变形正确的是（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用分式的基本性质计算后判断正误．【详解】解：，A选项错误；，B选项正确；，C选项错误；，D选项错误；故选：B．【点睛】本题考查了分式的基本性质，解题的关键是掌握分式的基本性质．【考点八 利用分式的基本性质判断分式值的变化】例题：（2023秋·河北邢台·八年级统考期末）对于分式，若将x，y的值都扩大到原来的3倍，则分式的值（    ）．A．扩大到原来的3倍 B．扩大到原来的9倍C．不变 D．无法确定【答案】A【分析】x，y都扩大成原来的3倍就是分别变成原来的3倍，变成和，用和代替式子中的x和y，看得到的式子与原来的式子的关系．【详解】解：，∴将x，y的值都扩大到原来的3倍，分式的值扩大到原来的3倍．故选：A【点睛】此题考查的知识点是分式的基本性质，解题的关键是抓住分子、分母变化的倍数．解此类题首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论．【变式训练】1．（2023秋·河南安阳·八年级校考期末）把分式中的x，y均扩大为原来的5倍，则分式的值（　　）A．为原分式值的 B．为原分式值的C．为原分式值的5倍 D．不变【答案】A【分析】根据分式的性质，变形计算即可．【详解】分式中的x，y均扩大为原来的5倍，得，故选A．【点睛】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握性质是解题的关键．2．（2023秋·江西南昌·八年级校联考期末）如果把分式中的，的值都扩大为原来的3倍，那么分式的值（    ）A．扩大为原来的3倍 B．缩小为原来的C．扩大为原来的9倍 D．保持不变【答案】D【分析】根据分式的基本性质，可得答案．【详解】解：把分式中的，的值都扩大为原来的3倍，∴，∴分式的值保持不变，故选：D．【点睛】本题考查了分式的基本性质，能够正确利用分式的基本性质变形是解题的关键．【考点九 求使分式变形成立的条件】例题：（2023春·八年级课时练习）分式变形中的整式_____．【答案】##【分析】依据，即可得到分式变形中的整式．【详解】解：，分式变形中的整式．故答案为：．【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．【变式训练】1．（2022秋·全国·八年级专题练习）若成立，则x的取值范围是_____．【答案】【分析】根据分式的性质及成立的条件可直接进行求解．【详解】解：若成立，则有，∴，故答案为．【点睛】本题主要考查分式成立的条件及性质，熟练掌握分式的成立的条件及性质是解题的关键．2．（2023春·八年级课时练习）根据分式的基本性质填空：．______【答案】【分析】根据分式的基本性质，分式的分子、分母同时乘以，即可求得．【详解】解：，．故答案为：．【点睛】本题考查了分式的基本性质，完全平方公式，单项式乘以多项式法则，熟练掌握和运用分式的基本性质是解决本题的关键．【考点十 将分式的分子分母各项系数化为整数】例题：（2022秋·广东江门·八年级江门市第一中学校考期中）把方程的分母化为整数的方程是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据分式的基本性质，将方程的分母化为整数即可．【详解】解：，整理，得：；故选C【点睛】本题考查分式的基本性质．熟练掌握分式的分子和分母同乘同一个不为0的数，分式的值不变，是解题的关键．【变式训练】1．（2022秋·全国·八年级专题练习）把分式的分子与分母各项系数化为整数，得到的正确结果是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据分式的基本性质求解即可．【详解】解：给分式的分子和分母同乘以12，得：==，故选：B．【点睛】本题考查分式的基本性质，解答的关键是熟知分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变．2．（2022秋·全国·八年级专题练习）不改变分式的值，把分式的分子、分母各项系数都化为整数，得_______．【答案】【分析】根据题意可知，为了把各项系数化成整数，分子分母分别乘以10，可得到答案．【详解】解：要想将分式分母各项系数都化为整数，可将分子分母同乘以10，即故答案为：．【点睛】本题主要考查了分式的概念与性质，分子分母共同乘以相同的数，分式值不变．【过关检测】一、选择题1．（2023·黑龙江绥化·校考模拟预测）要使分式有意义，则应满足的条件是（     ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据分式有意义的条件：分母不为，判断即可．【详解】解：∵要使分式有意义，∴，即，故选：A．【点睛】本题考查了使分式有意义的条件，熟知分式分母不为是解答本题的关键．2．（2022秋·云南昆明·八年级昆明市第三中学校考阶段练习）在，，，，中，分式的个数为（    ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．【详解】解：，，中的分母中均不含有字母，因此它们是整式，而不是分式．，的分母中含有字母，因此是分式，即分式的个数为2个，故B正确．故选：B．【点睛】本题主要考查分式的定义，注意π不是字母，是常数，所以不是分式，是整式．3．（2023秋·湖北襄阳·八年级统考期末）如果分式的值为0，那么x的值为（  ）A．－1 B．1 C．－1或1 D．1或0【答案】B【分析】根据分子等于0且分母不等于0列式求解即可．【详解】解：由题意得且，解得．故选B．【点睛】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：①分子的值为0，②分母的值不为0，这两个条件缺一不可．4．（2023秋·福建福州·八年级统考期末）代数式有意义，字母x的取值范围是（　　）A．或 B． C．且 D．且【答案】D【分析】根据零指数幂，分式有意义的条件，列出不等式，求解即可．【详解】解：根据题意可得：，，解得：且，故选：D．【点睛】本题考查零指数幂，分式有意义的条件，掌握零指数幂，分式有意义的条件是解题的关键．5．（2022秋·云南昆明·八年级昆明市第三中学校考阶段练习）对于分式的值，下列说法错误的是（    ）A．当时，该分式的值是正数B．当且时，该分式的值是负数C．当时，该分式的值为0D．无论x取何值，该分式的值都不可能为整数【答案】D【分析】A、B、C转化为分别求当分式大于0、小于0、等于0，再利用特殊值法判断D选项即可求得解．【详解】解：A、当时，，则该分式的值是正数，故正确，不合题意；B、当且时，，则该分式的值是负数，故正确，不合题意；C、当时，，则该分式的值为0，故正确，不合题意；D、当时，，为整数，故错误，符合题意；故选：D．【点睛】本题主要考查了分式的值，掌握分式的值为0，为正，为负的条件是解题的关键．二、填空题6．（2023秋·湖南常德·九年级统考期末）若，则_______．【答案】【分析】直接利用已知进而变形得出a，b的关系．【详解】解：∵则∴；故答案为：．【点睛】此题主要考查了分式的性质，正确将已知变形是解题关键．7．（2023秋·湖北咸宁·八年级统考期末）当满足条件___________时，分式没有意义．【答案】【分析】根据分式无意义的条件可直接进行求解．【详解】解：由分式没有意义，可得，解得：，故答案为：．【点睛】本题主要考查分式无意义的条件，熟练掌握分式不成立的条件是解题的关键．8．（2022秋·山东聊城·八年级校联考阶段练习）若分式的值为0，则x的值为___________．【答案】【分析】根据分式的值为0，可得分式的分子等于0，分母不等于0，由此可解．【详解】解：∵，∴，∴，∴，又∵，∴，，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查了分式的值为零的条件，解题的关键是掌握分式的值为0时，分子等于0，分母不等于0．9．（2023春·八年级课时练习）若的值为整数，则正整数a的值为______．【答案】1、2或5【分析】根据题意，分式的值是整数，可知分式的分母可以为2、3或6，据此解得的值，最后验根即可．【详解】解：分式的值是整数，，∴为整数，∵a是正整数，∴可以为2、3或6，∴a的值为1、2或5，经检验，当，或，分母，∴a的值为1、2或5，故答案为：1、2或5．【点睛】本题考查分式的值，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．10．（2023春·八年级单元测试）已知，是常数，且当时分式无意义．当时，分式值为0，________．【答案】0【分析】根据分式的值为零，列式，再根据分式无意义的条件得，由此解答即可．【详解】解：由题意得，故答案为：0．【点睛】本题考查分式有意义的条件、分式的值为零等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．三、解答题11．（2023春·江苏·八年级专题练习）根据分式的基本性质填空：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）分子乘以可得．（2）先用完全平方公式将分子变形为，将分母变形为，由此可得答案．（3）将分母提取公因式得，由此可知答案．【详解】（1）分子乘以可得：，故答案为：．（2）将分子分母进行因式分解得：，故答案为：．（3）将分母提取公因式得，∴故答案为：．【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，正确运用完全平方公式和平方差公式是解题关键．12．（2022秋·八年级课时练习）已知－＝4，求的值．【答案】．【分析】去分母，得出b－a＝4ab，整体代入即可求值．【详解】解：∵－＝4，两边同时乘以ab，得∴b－a＝4ab，∴a－b＝-4ab，∴＝＝．【点睛】本题考查了分式的基本性质，解题关键是熟练运用分式的运算法则对等式进行变形，整体代入求值．13．（2023春·全国·八年级专题练习）当为何值时，分式的值为零？【答案】2【分析】分式值为零，按照分子为零且分母不为零求解即可【详解】解：∵的值为零∴且解得：，当x=2时，当x=-2时，，故舍去综上：x=2【点睛】本题考查了分式为零时的条件，要注意分母不为零，否则容易产生增根．14．（2022秋·全国·八年级专题练习）已知y＝ ，x取哪些值时，y的值是零?分式无意义?y的值是正数?【答案】x=0时，y的值是零；x＝时，分式无意义；x＜且x≠0时，y的值是正数【分析】根据分式的值为零的条件：分子为零、分母不为零；分母为零分式无意义；同号相除得正的法则，逐个解答即可．【详解】解：x=0时，y的值是零；x＝时，分式无意义；x＜且x≠0时，y的值是正数．【点睛】本题主要考查了分式有意义的条件、分式值为零的条件，准确分析计算是解题的关键．15．（2023·全国·九年级专题练习）已知，求的值．【答案】【分析】设，得到，代入分式求值即可．【详解】解：设，则．∴．【点睛】本题考查分式求值．熟练掌握设参法，是解题的关键．