苏科版八年级数学下册专题10.3分式方程【十大题型】同步学案(学生版+解析)

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专题10.3 分式方程【十大题型】【苏科版】TOC \o "1-3" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc654" 【题型1 解分式方程的一般方法】  PAGEREF _Toc654 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc4759" 【题型2 换元法解分式方程】  PAGEREF _Toc4759 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc28244" 【题型3 裂项法解分式方程】  PAGEREF _Toc28244 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc2691" 【题型4 根据分式方程的解求值】  PAGEREF _Toc2691 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc28399" 【题型5 已知分式方程有解或无解求参数】  PAGEREF _Toc28399 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc308" 【题型6 已知分式方程有增根求参数】  PAGEREF _Toc308 \h 5 HYPERLINK \l "_Toc3194" 【题型7 已知分式方程有整数解求参数】  PAGEREF _Toc3194 \h 5 HYPERLINK \l "_Toc25173" 【题型8 根据分式方程解的取值范围求参数的范围】  PAGEREF _Toc25173 \h 6 HYPERLINK \l "_Toc32752" 【题型9 解分式方程的运用（规律问题）】  PAGEREF _Toc32752 \h 6 HYPERLINK \l "_Toc30474" 【题型10 解分式方程的运用（新定义问题）】  PAGEREF _Toc30474 \h 8【知识点1 分式方程】（1）分式方程：分母中含有未知数的方程（2）分式方程的解法思路：去分母（乘分母最小公倍数）将分式方程先转化为整式方程，再按照整式方程的技巧求解方程。（3）分式方程解方程的步骤： = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①利用等式的性质去分母，将分式方程转换为整式方程 = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②解整式方程 = 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③验根--检验整式方程解得的根是否符合分式方程 = 4 \* GB3 \* MERGEFORMAT ④作答【题型1 解分式方程的一般方法】【例1】（2022·广东·平洲一中八年级阶段练习）分式方程：1x-2+3=4x-2的解是_________.【变式1-1】（2022·广西贵港·八年级期中）解下列分式方程：(1)2xx+2−xx−1=1；(2)1x+3−23−x=12x2−9．【变式1-2】（2022·山东省泰安第十五中学八年级阶段练习）当x=________时，分式x-8x-7与分式17-x互为相反数．【变式1-3】（2022·上海·上外附中七年级期末）解方程：x+5x+4+x+2x+1=x+3x+2+x+4x+3【知识点2 换元法解分式方程】换元法：引进新的变量，把一个较复杂的关系转化为简单数量关系例解方程： 另（x－y）=u，则原方程转换为： 方程转换为了一个比较简洁的形式，再按照二元一次方程组的求法进行求解，以简化计算。注：当熟练应用换算法后，可以直接将某个整体式子看成一个未知数，在计算中，不必将这个整体换元为某个字母，而是直接整体求解。【题型2 换元法解分式方程】【例2】（2022·河南·南阳市第十三中学校八年级阶段练习）阅读下面材料，解答后面的问题：解方程：x−1x−4xx−1=0．解：设y=x−1x，则原方程化为：y−4y=0，方程两边同时乘以y得：y2﹣4＝0，解得：y＝±2，经检验：y＝±2都是方程y−4y=0的解，∴当y＝2时，x−1x=2，解得x＝﹣1；当y＝﹣2时，x−1x=−2，解得：x=13．经检验：x＝﹣1或x=13都是原分式方程的解，∴原分式方程的解为x＝﹣1或x=13．上述这种解分式方程的方法称为换元法．问题：(1)若在方程x−1x+xx−1=52中，设　 　＝y，则原方程可化为　 　，原方程的解为　 　；(2)模仿上述换元法解方程：x−1x+2−3x−1−1＝0．【变式2-1】（2022·上海复旦五浦汇实验学校八年级期末）用换元法解分式方程x2+1x−x3x2+1+1=0，如果设x2+1x=y，那么原方程化为关于y的整式方程是（    ）A．3y2+3y−1=0 B．3y2−3y−1=0C．3y2−y+1=0 D．3y2−y−1=0【变式2-2】（2022·上海·八年级课时练习）如果16x2−8x+1=0，那么4x的值是（    ）A．1 B．-1 C．±1 D．4【变式2-3】（2022·上海·九年级专题练习）解方程组：1x+12x−y=3   3x−12x−y=1    ．【知识点3 分式的运算技巧-裂项法】解题技巧：裂项相消法：【题型3 裂项法解分式方程】【例3】（2022·山东烟台·八年级期中）观察下面的变形规律：11×2=11–12；12×3=12–13；13×4=13–14；……解答下面的问题：(1)已知n为正整数，结合你的发现，请将1n(n+1)写成上面式子形式；(2)说明你（1）中式子的正确性；(3)直接写出11×2+12×3+13×4+ … +12021×2022的结果；(4)类比你发现的规律，解关于n（n为正整数）的分式方程：11×3+13×5+15×7+⋅⋅⋅+1(2n−1)(2n+1)=n+1002n+202．【变式3-1】（2022·山东·济南市天桥区泺口实验学校八年级阶段练习）观察下面的变形规律：11×2=1−12,12×3=12−13,13×4=13−14,14×5=14−15，…，回答问题：若1(x+1)×(x+2)+1(x+2)×(x+3)+1(x+3)×(x+4)+…+1(x+99)×(x+100)＝1x+100，则x的值为 _____．【变式3-2】（2022·江苏·镇江市江南学校八年级阶段练习）观察下列算式：16=12×3=12−13,112=13×4=13−14,120=14×5=14−15.......(1)由此可推断：142=___；(2)请用含字母m(m为正整数)的等式表示(1)中的一般规律___；(3)仿照以上方法解方程：3(x−1)(x−4)=1x-1【变式3-3】（2022·湖南·岳阳市第十九中学八年级阶段练习）阅读理解并回答问题．观察下列算式：16=12×3=12−13112=13×4=13−14120=14×5=14−15……(1)填空：142＝　　＝　　；(2)请用含有m（m表示整数）的代数式表示上述式子特点的一般规律：　　．(3)请用（2）中的规律解方程：1x(x+1)+1(x+1)(x+2)+⋯+1(x+9)(x+10)=1(x+10)．【知识点4 根据分式方程解的情况求待定系数值或取值范围】（1）方程无解，即方程的根为增根；（2）方程的解为正值，先求解出含有字母的方程根，令这个根＞0，求解出字母取值范围；（3）方程的解为负值，先求解出含有字母的方程根，令这个根＜0，求解出字母取值范围【题型4 根据分式方程的解求值】【例4】（2022·河北·南皮县桂和中学八年级阶段练习）若关于x的方程2axa−x=83的解为x=1，则a等于（    ）A．−1 B．1 C．4 D．8【变式4-1】（2022·湖南·溆浦县圣达学校八年级期中）已知关于x的方程3x−1=x+axx−1的增根是x=1，则字母a的值为（    ）A．1 B．−1 C．2 D．−2【变式4-2】（2022·北京市第九中学八年级期中）若x=4是关于x的方程2x−mx−3=3的解，则m的值为________．【变式4-3】（2022·全国·八年级专题练习）若关于x的方程axx+1+3x+1+3x=2有增根x=−1，则2a−3的值为（    ）A．2 B．3 C．4 D．6【题型5 已知分式方程有解或无解求参数】【例5】（2022·黑龙江黑龙江·三模）关于x的分式方程1−axx−2+2=12−x有解，则a的取值范围是________．【变式5-1】（2022·湖南·八年级单元测试）若关于x的分式方程1x−2+x+mx2−4=3x+2无解，则m的值为(　　　)A．-5 B．-10 C．0或-5 D．-5或-10【变式5-2】（2022·河北·邢台市第六中学八年级阶段练习）已知关于x的分式方程xx−2+2m2−x=3m无解，则m的值是（    ）A．1或13 B．1或3 C．13 D．1【变式5-3】（2022·重庆·二模）若关于x的不等式组2x−m≥−132(x+23)+12≤9有且只有两个奇数解，且关于y的分式方程my−4y−2=2−3y−22−y有解，则所有满足条件的整数m的和是（    ）A．7 B．10 C．13 D．21【知识点5 增根的讨论】方程有增根，则这个根使得分式的分母为0.利用这个条件，我们可以先求解出增根的情况，在根据题意求解出其他字母的值。【题型6 已知分式方程有增根求参数】【例6】（2022·湖南·永州市冷水滩区京华中学八年级期中）如果方程5x−42x−4=2x+k3x−6有增根，则k是 _______________．【变式6-1】（2022·浙江宁波·七年级期末）用去分母的方法解关于x的分式方程2−xx−3=a3−x−2时会产生增根，则a的值是__________．【变式6-2】（2022·江西省石城二中九年级阶段练习）解关于x的方程xx-1−kx2-1=xx+1不会产生增根，则k的值是（　　）A．2 B．1 C．k≠2且k≠-2 D．无法确定【变式6-3】（2022·全国·八年级）若关于x的方程mx2−9+2x+3=1x−3有增根，则增根是多少？并求方程产生增根时m的值．【题型7 已知分式方程有整数解求参数】【例7】（2022·重庆·四川外国语大学附属外国语学校九年级期中）若关于x的不等式组x3−4＜−2x+332x+a−2≥51−2x，有且仅有四个整数解，且使关于y的分成方程ay+2=2y−1y+2+1有整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是（    ）A．−2 B．3 C．5 D．10【变式7-1】（2022·安徽·九年级专题练习）若整数a使关于x的分式方程8−ax2−x﹣2＝xx−2有整数解，则符合条件的所有a之和为（　　）A．7 B．11 C．12 D．13【变式7-2】（2022·重庆一中八年级阶段练习）关于x的不等式组a+x3≥x+131−3(x−1)＜14+2x有解且至多有4个整数解，关于y的分式方程3y+153−y+2ayy−3=2的解为整数，则所有满足条件的整数a的和为（    ）A．4 B．8 C．11 D．15【变式7-3】（2022·全国·八年级专题练习）若关于x的不等式组{x−3(x−2)>−2a+x203x+15≥x−1有解，且关于y的方程2ay−3=4−y−a3−y的解是正数，则所有满足条件的整数a的值之和是（　　）A．﹣8 B．﹣4 C．﹣3 D．﹣1【变式8-1】（2022·山东·龙口市教学研究室八年级期中）若关于x的分式方程2x+m=3x+3有负数解，则m的取值范围为______．【变式8-2】（2022·江苏宿迁·八年级阶段练习）关于x的方程x−1x−3=2+kx−3的解大于1，则k的取值范围为_____________．【变式8-3】（2022·山东济南·八年级期中）若关于x的分式方程x+ax−2+2a2−x=5的解是非负整数解，且a满足不等式a+2>1，则所有满足条件的整数a的值之和是（    ）A．18 B．16 C．12 D．6【题型9 解分式方程的运用（规律问题）】【例9】（2022·山东聊城·八年级期末）已知：①x+2x＝3可转化为x+1×2x＝1+2，解得x1＝1，x2＝2，②x+6x＝5可转化为x+2×3x＝2+3，解得x1＝2，x2＝3，③x+12x＝7可转化为x+3×4x＝3+4，解得x1＝3，x2＝4，……根据以上规律，关于x的方程x+n2+nx−3＝2n+4的解为_____．【变式9-1】（2022·湖南·岳阳市第十九中学八年级阶段练习）解方程【题型10 解分式方程的运用（新定义问题）】【例10】（2022·辽宁大连·八年级期末）当a≠b时，定义一种新运算：F(a,b)=2a−b,a>b2bb−a,a−2a+x2−2①a+x2−2a+x203x+15≥x−1有解，且关于y的方程2ay−3=4−y−a3−y的解是正数，则所有满足条件的整数a的值之和是（　　）A．﹣8 B．﹣4 C．﹣3 D．﹣1【答案】B【分析】先解不等式组，根据关于x的不等式组x−a2>03x+15≥x−1有解，可得a的取值范围，再解分式方程，关于y的方程2ay−3=4−y−a3−y的解是正数，可得a的取值范围，进一步求和即可．【详解】解： x−a2>0①3x+15≥x−1②，解不等式①得，x＞a，解不等式②得，x≤3， ∵关于x的不等式组x−a2>03x+15≥x−1有解，∴a＜3，解分式方程 2ay−3=4−y−a3−y，去分母得，2a=4(y−3)+y−a，解得：y=3a+125，∵关于y的方程2ay−3=4−y−a3−y的解是正数，∴y＞0且y≠3，∴3a+125>0且3a+125≠3，解得a＞−4，且a≠1，∴−4＜a＜3且a≠1，∴满足条件的整数a的值：−3、−2、−1、0、2；∵−3+(−2)+(−1)+0+2=−4，故选：B．【点睛】本题考查了分式方程的解，和解一元一次不等式组，熟练掌握解不等式组的方法以及解分式方程的步骤是解题的关键．【变式8-1】（2022·山东·龙口市教学研究室八年级期中）若关于x的分式方程2x+m=3x+3有负数解，则m的取值范围为______．【答案】m>2且m≠3【分析】分式方程去分母转化为整式方程，表示出x，根据方程有负数解列出关于m的不等式，求出不等式的解集即可得到m的范围．【详解】解：去分母得：2(x+3)=3(x+m)，去括号得：2x+6=3x+3m，移项合并得：−x=3m−6，解得：x=6−3m，根据题意得：6−3m<0，且6−3m≠−3，6−3m≠−m，解得：m>2且m≠3．故答案为：m>2且m≠3．【点睛】此题考查了分式方程的解，解题的关键是用m的代数式表示x．【变式8-2】（2022·江苏宿迁·八年级阶段练习）关于x的方程x−1x−3=2+kx−3的解大于1，则k的取值范围为_____________．【答案】k<4且k≠2【分析】根据题意解分式方程，用k表示出x的值，然后根据x的取值范围求解即可．【详解】∵x−1x−3=2+kx−3x−1=2x−3+k，解得：x=5−k．∵方程x−1x−3=2+kx−3的解大于1，，∴x>1，且x≠3，∴5−k>1且5−k≠3，解得：k<4且k≠2．故答案为：k<4且k≠2．【点睛】此题考查了分式方程含参数问题的解法，解题的关键是根据题意得出关于参数k的不等式．【变式8-3】（2022·山东济南·八年级期中）若关于x的分式方程x+ax−2+2a2−x=5的解是非负整数解，且a满足不等式a+2>1，则所有满足条件的整数a的值之和是（    ）A．18 B．16 C．12 D．6【答案】B【分析】先求出分式方程的解，再利用分式方程的解为非负整数解，以及a满足不等式a+2>1，求出−1＜a≤10，再利用x=10−a4是非负整数可知10−a是4的倍数分析即可．【详解】解：由题意可知：x+a−2ax−2=5，x−a=5x−2，x=10−a4，∵分式方程的解是非负整数解，且a满足不等式a+2>1，∴10−a4≥0a+2＞1，解得：−1＜a≤10．∵x=10−a4是非负整数，则：当10−a=0时，a=10，此时x=0，经检验，x=0是分式方程的解；当10−a=4时，a=6，此时x=1，经检验，x=1是分式方程的解；当10−a=8时，a=2，此时x=2，经检验，x=2不是分式方程的解；∴满足条件的整数a的值之和是16．故选：B【点睛】本题考查解分式方程，不等式组的应用，解题的关键是求出−1＜a≤10，再利用x=10−a4是非负整数，求出a的值即可．【题型9 解分式方程的运用（规律问题）】【例9】（2022·山东聊城·八年级期末）已知：①x+2x＝3可转化为x+1×2x＝1+2，解得x1＝1，x2＝2，②x+6x＝5可转化为x+2×3x＝2+3，解得x1＝2，x2＝3，③x+12x＝7可转化为x+3×4x＝3+4，解得x1＝3，x2＝4，……根据以上规律，关于x的方程x+n2+nx−3＝2n+4的解为_____．【答案】x1＝n+3，x2＝n+4【分析】仿照已知方程与解的特征，归纳总结得到一般性规律，确定出所求方程的解即可．【详解】根据题意将方程变形得：x﹣3+nn+1x−3＝n+n+1，可得x﹣3＝n或x﹣3＝n+1，则方程的解为x1＝n+3，x2＝n+4，故答案为x1＝n+3，x2＝n+4【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．【变式9-1】（2022·湖南·岳阳市第十九中学八年级阶段练习）解方程①1x+1=2x+1−1的解是x=0；②2x+1=4x+1−1的解是x=1；③3x+1=6x+1−1的解是x= ；④4x+1=8x+1−1的解是x= ；（1）请完成上面的填空；（2）根据你发现的规律直接写出第⑤个方程和它的解；（3）请你用一个含正整数n的式子表述上述规律，并写出它的解．【答案】（1）③2；④3；（2）5x+1=10x+1−1，x=4；（3）nx+1=2nx+1−1，x=n−1【分析】（1）由题意把方程两边都乘以（x+1）把分式方程化为整式方程，然后求解即可；（2）由题意先观察①②③④中的方程的解；根据前四个方程的规律可得第⑤个方程及其解； （3）根据题干中各个方程的规律，可写出含正整数n的方程，求解即可．【详解】解：（1）③方程两边都乘以（x+1）得，3=6-x-1，解得x=2，经检验x=2是原分式方程的解；④方程两边都乘以（x+1）得，4=8-x-1，解得x=3，经检验x=3是原分式方程的解；故答案为：2，3；（2）⑤方程为5x+1=10x+1−1，方程的解为x=4；（3）含正整数n的式子表示为nx+1=2nx+1−1，方程的解为x=n−1．【点睛】本题考查分式方程的解以及规律的探索，熟练掌握分式方程的解的求法并观察出方程的解与分子的关系是解题的关键．【变式9-2】（2022·江苏无锡·八年级期中）阅读下列材料：方程1x+1−1x=1x−2−1x−3的解为x=1，方程1x−1x−1=1x−3−1x−4的解为x=2，方程1x−1−1x−2=1x−4−1x−5的解为x=3，(1)请直接写出方程1x−4−1x−5=1x−7−1x−8的解为________；(2)观察上述方程与解的特征，写出一个解为−5的分式方程：________；(3)观察上述议程与解的特征，写出能反映上述方程一般规律的方程，并直接写出这个方程的解：________；________．【答案】(1)x=6(2)1x+7−1x+6=1x+4−1x+3(3)1x−n+2−1x−n+1=1x−n−1−1x−n−2，x=n【分析】（1）根据材料可知，方程的解是方程的最简公分母为零时x值的平均数，即可得解；（2）根据材料信息，写出一个解为-5的分式方程即可；（3）观察所给的材料，从特殊形式到一般形式总结出规律，可得方程．（1）解：根据材料发现规律：方程的解是方程的最简公分母为零时x值的平均数，∴方程1x−4−1x−5=1x−7−1x−8的解为x=4+5+7+84＝6．（2）由题意可得：解是x=-5的方程可以是：1x+7−1x+6=1x+4−1x+3；（3）由题意可得：1x−n+2−1x−n+1=1x−n−1−1x−n−2，解是x=n．【点睛】本题考查学生阅读分析理解能力，解答本题的关键是通过对所给材料的理解得出方程以及方程解的一般形式．【变式9-3】（2022·四川遂宁·八年级期末）先阅读下面的材料，然后解答问题．通过计算，发现：方程x+1x=2+12的解为x1＝2，x2=12；方程x+1x=3+13的解为x1＝3，x2=13；方程x+1x=4+14的解为x1＝4，x2=14；…(1)观察猜想：关于x的方程x+1x=n+1n的解是 ；(2)利用你猜想的结论，解关于x的方程x+1x−3=a+1a−3；(3)实践运用：对关于x的方程x−1x=m−1m的解，小明观察得“x1=m”是该方程的一个解，则方程的另一个解x2= ，请利用上面的规律，求关于x的方程x2−x−1x−1=m−1m−1的解．【答案】(1)x1=n，x2=1n(2)x1=a，x2=3a−8a−3(3)−1m；x1=m，x2=m−2m−1【分析】（1）根据题意可知规律：方程的解等于右边的整数和分数，方程的形式要和等式右边给出数的形式相同，按照此规律即可得出方程的解；（2）根据（1）的规律，得出x−3=a−3，x−3=1a−3，解出即可得出方程的解；（3）根据（1）中的规律，即可得出另一个解x2；首先对方程x2−x−1x−1=m−1m−1进行整理，得出x−1−1x−1=m−1−1m−1，然后按照（1）中的规律，解出即可得出结果．（1）解：x1=n，x2=1n．故答案为：x1=n，x2=1n（2）解：x−3+1x−3=a−3+1a−3∵x−3=a−3，x−3=1a−3，∴x1=a，x2=3a−8a−3；（3）解：x2=−1m；x2−x−1x−1=m−1m−1整理，得：x−1x−1=m−1m−1，整理，得：x−1−1x−1=m−1−1m−1，∴x−1=m−1，x−1=−1m−1，∴x1=m，x2=m−2m−1．【点睛】本题考查了分式方程的解，解本题的关键在正确理解题意找出方程与解之间的规律．【题型10 解分式方程的运用（新定义问题）】【例10】（2022·辽宁大连·八年级期末）当a≠b时，定义一种新运算：F(a,b)=2a−b,a>b2bb−a,aa，所以F(a+1,a)=2a+1−a=2；（2）m>2时，F(m,2)−F(2,m)=2m−2−2mm−2=1，解得m=43<2，不合题意，舍去．m<2时，F(m,2)−F(2,m)=2×22−m−22−m=1，解得m=0．综上，m=0．【点睛】本题主要考察新定义与分式方程的求解，根据题目给定公式代值计算即可，第（2）问注意对m的值进行分类讨论求解，注意求解出来的m的值要根据分类讨论时的取值范围进行取舍．【变式10-1】（2022·广西·北海市实验学校八年级期中）对于非零的两个有理数a，b，规定a⊕b＝1b−1a，若2⊕2x−1＝0，则x的值为（　　）A．56 B．54 C．32 D．−16【答案】C【分析】已知等式利用题中的新定义化简，计算即可求出x的值．【详解】解：根据题中的新定义化简2⊕2x−1＝0得：12x−1−12=0，方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”．（1）判断一元一次方程3−21−x=4x与分式方程2x+12x−1−1=44x2−1是否是“相似方程”，并说明理由；（2）已知关于x，y的二元一次方程y=mx+6与y=x+4m是“相伴方程”，求正整数m的值.【答案】（1）不是，理由见解析；（2）2或3．【分析】（1）先依次求出两个方程的解，再根据“相似方程”的定义即可得出结论．（2）根据两个方程有相同的整数解，列出关于x与m的式子，根据x为整数，m为正整数，进而确定m的值．【详解】解：（1）一元一次方程3−2(1−x)=4x与分式方程2x+12x−1−1=44x2−1不是“相似方程”．理由如下：解一元一次方程3−2(1−x)=4x，解得x=12，解分式方程2x+12x−1−1=44x2−1，解得x=12，检验：当x=12，(2x+1)(2x−1)＝0，∴原分式方程无解，∴一元一次方程3−2(1−x)＝4x与分式方程2x+12x−1−1=44x2−1不是“相似方程”．（2）由题意，两个方程有相同的整数解，即mx+6=x+4m，x=4m−6m−1=4(m−1)−2m−1=4−2m−1，∵x为整数，∴m−1=1，2，−1，−2，∴m=2，3，0，−1，又∵m取正整数，∴m=2或3．【点睛】本题考查了一元一次方程、二元一次方程和分式方程的应用，解题的关键是掌握相关概念以及各个方程的求解方法．