专题14 分式方程及分式方程的应用压轴题六种模型全攻略-【常考压轴题】2022-2023学年八年级数学下册压轴题攻略（苏科版）

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专题14 分式方程及分式方程的应用压轴题六种模型全攻略【考点导航】目录TOC \o "1-3" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc12515" 【典型例题】  PAGEREF _Toc12515 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc4164" 【考点一 分式方程的定义】  PAGEREF _Toc4164 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc29640" 【考点二 解分式方程】  PAGEREF _Toc29640 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc13620" 【考点三 根据分式方程解的情况求参数的值】  PAGEREF _Toc13620 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc6709" 【考点四 分式方程无解问题求参数的值】  PAGEREF _Toc6709 \h 6 HYPERLINK \l "_Toc26583" 【考点五 列分式方程】  PAGEREF _Toc26583 \h 8 HYPERLINK \l "_Toc24495" 【考点六 分式方程的实际应用】  PAGEREF _Toc24495 \h 10 HYPERLINK \l "_Toc4574" 【过关检测】  PAGEREF _Toc4574 \h 13【典型例题】【考点一 分式方程的定义】例题：（2023秋·河南开封·八年级统考期末）下列方程中是分式方程的是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据分式方程的定义判断即可．【详解】解：A，B，D选项中的方程，分母中不含未知数，所以不是分式方程，故不符合题意；C选项方程中的分母中含未知数，是分式方程，故符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了分式方程的定义，掌握分母中含有未知数的方程叫做分式方程是解题的关键．【变式训练】1．（2023春·江苏·八年级专题练习）下列方程中，是分式方程的是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据分式方程的定义：分母里含有未知数的方程叫做分式方程判断．【详解】A、方程分母中不含未知数，故不是分式方程；B、方程分母中含未知数x，故是分式方程；C、方程分母中不含未知数，故不是分式方程；D、方程分母中不含未知数，故不是分式方程．故选：B．【点睛】判断一个方程是否为分式方程，主要是依据分式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数．2．（2023春·八年级课时练习）下列方程：①；②（为常数，且）；③；④；⑤．其中，分式方程有（    ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】根据分式方程的定义对各小题进行逐一分析即可．【详解】①分母中含未知数，是分式方程；②（为常数，且）分母中不含未知数，故不是分式方程；③分母中不含未知数，故不是分式方程；④分母中含未知数，是分式方程；⑤分母中不含未知数，故不是分式方程；综上，①④是分式方程，共有2个，故选：B．【点睛】本题考查了分式方程的定义，判断一个方程是否为分式方程，主要是依据分式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数，注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母．【考点二 解分式方程】例题：（2023秋·陕西商洛·八年级统考期末）解下列分式方程：(1) (2)【答案】(1)(2)【分析】(1)根据解分式方程的基本步骤求解即可．(2)根据解分式方程的基本步骤求解即可．【详解】（1）解：方程两边同时乘，得化简，得解得：经检验，是原分式方程的解故是原方程的解．（2）方程两边同乘以，得：，解得：．检验：当时，，故是分式方程的解．【点睛】本题考查了分式方程的解法，熟练掌握解分式方程的基本步骤是解题的关键．【变式训练】1．（2023春·八年级课时练习）解方程：(1) (2)【答案】(1)(2)此方程无解【分析】（1）两边同乘，去括号，移项合并同类项，进行计算即可得；（2）方程两边同乘以得，进行计算即可得．【详解】（1）解：两边同乘得，，移项合并同类项得，，解得，，检验：当时，，∴方程的解为：；（2）解：方程两边同乘以得，，整理得，，系数化为1得，，检验：当时，，则是原方程的增根，∴方程无解．【点睛】本题考查了解分式方程，解题的关键是掌握解分式方程的方法，解分式方程注意检验．2．（2023春·海南海口·八年级海口市第十四中学校考阶段练习）解方程：(1) (2)【答案】(1)原方程无解(2)【分析】根据解分式方程的一般步骤进行求解，方程两边同时乘以最简公分母去分母，将分式方程化为整式方程．不要忘了检验．【详解】（1）解：方程两边同乘以得．解这个整式方程，得．检验：把代入，∴是原方程的增根，原方程无解；（2）解：方程两边同乘以得．解这个整式方程，得．检验：把代入，∴是原方程的解【点睛】本题主要考查了解分式方程，解题的关键在于把分式方程首先转化为整式方程，要注意最后要验根．【考点三 根据分式方程解的情况求参数的值】例题：（2023春·江苏·八年级专题练习）关于x的分式方程的解为正数，则a的取值范围是（　　）A． B．且 C．且 D．【答案】B【分析】先化分式方程为整式方程得到，求得方程的解，根据解的属性，方程的增根两个角度去求解即可．【详解】∵，去分母，得，解得．∵分式方程的解为正数，且方程的增根为，∴，解得且，故选B．【点睛】本题考查了分式方程的解，增根，探求字母的取值范围，熟练根据解的属性，增根的意义建立不等式是解题的关键．【变式训练】1．（2023春·山东济南·八年级统考期末）已知关于的分式方程的解为负数，则的取值范围是______________．【答案】且【分析】直接解分式方程，然后根据分式方程的解为负数，结合求出答案．【详解】解：，去分母得：，解得：，∵分式方程的解是负数，∴且，即且，解得：且，故答案为：且．【点睛】本题考查了分式方程的解，正确解分式方程是解题的关键．2．（2023春·重庆沙坪坝·九年级重庆八中校考阶段练习）已知关于的分式方程的解不超过6，且关于的不等式组有且仅有四个整数解，则符合条件的整数的和________．【答案】【分析】先解分式方程，求得分式方程解，再由分式方程的解不超过6，得且，解得：且、，然后解不等式组得，根据不等式组有四个整数解，得，解得：，所以且，又因为m为整数，则，，即可求解．【详解】解：解方程，得，∵的解不超过6，∴且，解得：且、，解不等式组，得，∵不等式组有四个整数解，∴，解得：，∴且，∵m为整数，∴，，∴符合条件的整数的和为：，故答案为：．【点睛】本题考查根据分式方程解的情况和不等式组的整数解求字母系数值，熟练掌握解分式方程和不等式组是解题的关键．【考点四 分式方程无解问题求参数的值】例题：（2023春·八年级课时练习）若关于的方程无解，则__________．【答案】或【分析】首先方程两边都乘，整理可得方程：，然后分析的情况，再利用关于的方程无解，得，继而求得答案．【详解】解：两边都乘以，得，整理，得，当=0时，即时，方程无解；当≠0时，，∵关于的方程无解，∴(+1)(-1)=0，解得：=1或=-1，当=-1时，，解得：；当=1时，，此时无解；∴或．故答案为：或．【点睛】本题考查分式方程的解，分式方程无解有两种情况： ①相应的整式方程无解; ②求出的整式方程的解是原分式方程的增根，也就是使原分式方程的分母为0的根．【变式训练】1．（2023春·八年级课时练习）若关于的方程，无解，则的值为_______________【答案】或或．【分析】分式方程去分母转化为整式方程求得，由分式方程无解求出m的值即可．【详解】关于的方程无解或或或解得：或或故答案为：或或．【点睛】本题考查了分式方程无解的情况，将分式方程转化为整式方程是解题的关键．2．（2023春·八年级课时练习）已知关于x的分式方程（1）若此方程无解，则m的值为___；（2）若此方程的解为正数，则m的取值范围为___．【答案】     -6     m＜－2且m≠－6【分析】（1）先将分式方程化为整式方程，再求．（2）先表示分式方程的解，再求范围．【详解】（1）原方程两边同乘得：．．方程无解，，．．．故答案为：．（2）由（1）知：．．方程的解为正数．．．，．．且．故答案为：且．【点睛】本题考查分式方程的解，将分式方程转化为整式方程是求解本题的关键．【考点五 列分式方程】例题：（2023·山西晋城·统考一模）山西省宁武县被命名为“中国高原莜麦之乡”．莜麦是世界公认的营养价值很高的粮种之一，对预防和治疗高血压、糖尿病等多种疾病，促进新陈代谢有明显功效．某莜麦标准化种植基地在改良前种植总产量可以达到，经过改良后，平均每亩产量是原来的1．5倍．若改良后种植总产量不变，但种植亩数减少25亩，求改良前平均每亩的产量．若设改良前平均每亩的产量为，则可列方程为__________．【答案】【分析】根据改良后种植总产量不变，但种植亩数减少25亩，列出方程即可．【详解】解：设改良前平均每亩的产量为，则，改良后平均每亩的产量为，由题意，得：；故答案为：．【点睛】本题考查分式方程的应用．找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键．【变式训练】1．（2023·广东东莞·东莞市厚街海月学校校考模拟预测）劳动教育是全面发展教育体系的重要组成部分，是大中小学必须开展的教育活动．某校积极响应，开设校园农场．七年级学生共收获农产品，八年级学生共收获农产品，已知八年级学生比七年级学生人均多收获农产品，七年级学生人数是八年级学生人数的1.5倍．求七、八年级各有多少名学生．若设八年级有x名学生，则可列分式方程为_______．【答案】【分析】根据题设，得出七年级有1.5x名学生，再表示出每个年级人均收获农产品的数量，根据八年级比七年级人均多建立方程．【详解】解：若设八年级有x名学生，则七年级有1.5x名学生，八年级人均收获农产品为，七年级人均收获农产品为，已知八年级学生比七年级学生人均多收获农产品，则有．故答案为：．【点睛】此题考查了列分式方程，解题的关键是理清题目中的数量关系．2．（2023春·江苏·八年级专题练习）有一项工程，甲单独做正好按期完成，乙单独做则要超期3天才能完成．现甲、乙合做2天，余下由乙单独做正好按期完成，问甲单独做需要几天完成？若设甲单独做需要天完成，则根据题意可列方程____________．【答案】【分析】设甲单独做需x天，则乙单独做需天，再根据甲、乙合做2天，余下由乙单独做正好按期完成列出方程即可．【详解】解：设甲单独做需x天，则乙单独做需天，由题意得：，故答案为：【点睛】此题考查了由实际问题抽象出分式方程找到合适的等量关系是解决问题的关键．本题用到的关系为：工作时间工作总量工作效率，当题中没有一些必须的量时，为了简便，应设其为1．【考点六 分式方程的实际应用】例题：（2023·黑龙江哈尔滨·统考一模）某社区计划对面积为2000平方米的区域进行绿化招标，甲、乙两个工程队中标，全部绿化工作由甲、乙两个工程队来完成，已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化面积的2倍，并且在独立完成面积为400平方米区域的绿化时，甲队比乙队少用4天．(1)求甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积是多少平方米；(2)若甲队每天绿化费用是0.6万元，乙队每天绿化费用为0.2万元，如果施工总费用不超过11万元，那么乙工程队至少需施工多少天？【答案】(1)乙工程队每天能完成绿化的面积为，甲工程队每天能完成绿化的面积为(2)乙工程队至少需施工10天【分析】（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积为，则甲工程队每天能完成绿化的面积为，根据工作时间=工作总量÷工作效率结合在独立完成面积为区域的绿化时甲队比乙队少用4天，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）设乙工程队需施工y天，则甲工程队需施工天，根据总费用=甲队每天所需费用×甲队工作时间+乙队每天所需费用×乙队工作时间结合施工总费用不超过11万元，即可得出关于y的一元一次不等式，解之取其最小值即可得出结论．【详解】（1）（1）解：设乙工程队每天能完成绿化的面积为，则甲工程队每天能完成绿化的面积为，根据题意得：，解得：经检验，是原分式方程的解，∴答：乙工程队每天能完成绿化的面积为，甲工程队每天能完成绿化的面积为．（2）解：设乙工程队需施工天，则甲工程队需施工天，根据题意得：，解得：．答：乙工程队至少需施工10天．【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量间的关系，正确列出一元一次不等式．【变式训练】1．（2023春·江苏无锡·九年级校考阶段练习）无锡地铁号线一期工程全长公里，设个站点，起自渔父岛站，串联蠡湖未来城、无锡主城区、南长街、坊前、梅村等地．某站点由两个工程队一起建设了个月，剩下的部分由队单独建设，还需个月．(1)若队单独建设需要个月，队单独建设需要多少时间？(2)若队单独建设的时间为个月（），试分析说明两队谁的施工速度更快．【答案】(1)(2)队的施工速度更快【分析】（1）根据题意找出等量关系列方程即可得到方程；（2）根据题意找出数量关系列方程解方程，再利用作差法即可得到正确结果．【详解】（1）解：队单独建设需要个月，队单独建设需要个月，根据题意可得方程：，解得：，经检验是分式方程的解，∴原分式方程的解为，答：若队单独建设需要个月，队单独建设需要个月．（2）解：设队单独建设需要个月，根据题意得：，解得：，∴ ，∵，∴，即，∴队的施工速度更快．【点睛】本题考查了分式方程应用， 分式方程的运算法则，作差法比较大小等相关知识点，审清题意，找出等量关系是解题的关键．2．（2023春·全国·七年级专题练习）某公司需将一批材料运往工厂，计划租用甲、乙两种型号的货车，在每辆货车都满载的情况下，甲型货车每辆装载量是乙型货车的倍，若甲、乙两种型号货车各装载1500箱材料，甲型货车比乙型货车少用40辆．(1)甲、乙两种型号的货车每辆分别可装载多少箱材料？(2)经初步估算，公司要运往工厂的这批材料不超过1110箱．计划租用甲、乙两种型号的货车共60辆，且乙型货车的数量不大于甲型货车数量的2倍，该公司一次性将这批材料运往工厂共有哪几种租车方案？【答案】(1)甲型号货车每辆可装载25箱材料，乙型号货车每辆可装载15箱材料(2)该公司共有2种租车方案，方案1：租用20辆甲型号货车，40辆乙型号货车；方案2：租用21辆甲型号货车，39辆乙型号货车【分析】（1）设乙型货车每辆可装载x箱材料，甲型货车每辆可装载箱材料，得方程，即可得答案；（2）设租用m辆甲型货车，则租用辆乙型货车，得不等式组，即可得答案．【详解】（1）解：设乙型货车每辆可装载x箱材料，甲型货车每辆可装载箱材料，依题意得：，解得：，检验：把代入，∴是原方程的解，∴甲型号货车每辆可装载25箱材料，答：甲型号货车每辆可装载25箱材料，乙型号货车每辆可装载15箱材料．（2）设租用m辆甲型货车，则租用辆乙型货车．依题意得：，解得：．又∵m为正整数，∴m可以取20，21，∴该公司共有2种租车方案，方案1：租用20辆甲型号货车，40辆乙型号货车；方案2：租用21辆甲型号货车，39辆乙型号货车．【点睛】本题考查了分式方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．【过关检测】一、选择题1．（2023春·江苏·八年级专题练习）下列方程中不是分式方程的是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据分式方程的概念逐项判断即可找出正确答案．【详解】解：分式方程需同时满足3个条件，即是方程，有分母，分母中含有未知量，观察可知，选项A B D均满足上述三个条件，故都是分式方程，选项C分母中没有未知量，不属于分式方程，故答案为：C．【点睛】本题考查分式方程的概念，熟练掌握分式方程的判定方法是解题的关键．2．（2023春·八年级课时练习）解分式方程分以下四步，其中错误的一步是（    ）A．方程两边分式的最简公分母是B．方程两边都乘以，得整式方程C．解这个整式方程，得D．原方程的解为【答案】D【分析】分式方程两边乘以最简公分母，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解，经检验即可得到分式方程的解．【详解】解：分式方程的最简公分母为，方程两边乘以，得整式方程，解得：，经检验是增根，分式方程无解．故选：D．【点睛】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．3．（2023秋·广东湛江·八年级统考期末）已知关于的分式方程的解为整数，则符合条件的整数可以是（    ）A．1 B．2 C．3 D．5【答案】B【分析】解该分式方程得，结合该分式方程的解为整数和分式有意义的条件，即得出为2的倍数且，即选B．【详解】解：，方程两边同时乘，得：，解得：，∵该分式方程的解为整数，∴为2的倍数，∴为2的倍数．∵，∴，∴，∴，综上可知为2的倍数且．∴只有B选项符合题意．故选B．【点睛】本题考查解分式方程，分式方程有意义的条件．掌握解分式方程的步骤和注意分式的分母不能为0是解题关键．4．（2023春·江苏·八年级专题练习）关于的方程的解是正数，则的取值范围是（    ）A． B．且C．且 D．【答案】B【分析】根据分式方程的解法即可求出答案．【详解】解：去分母得：，，且，．故选：B．【点睛】本题考查已知分式方程的解的情况求参数，解题的关键是熟练运用分式方程的解法，本题属于基础题型．5．（2023秋·云南红河·八年级统考期末）中华优秀传统文化是中华民族的“根”和“魂”，是我们必须世代传承的文化根脉、文化基因．为传承优秀传统文化，提升文化自信和民族自豪感，某校为各班购进《红楼梦》和《西游记》连环画若干套，其中每套《红楼梦》的价格比每套《西游记》的价格贵20元，用6400元购买《西游记》的套数是用4000元购买《红楼梦》套数的2倍，设每套《西游记》的价格为x元，根据题意可列方程为（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】设每套《西游记》的价格为x元，则每套《红楼梦》的价格为元，根据用6400元购买《西游记》的套数是用4000元购买《红楼梦》套数的2倍，列出方程即可．【详解】解：设每套《西游记》的价格为x元，则每套《红楼梦》的价格为元，根据题意得：，故A正确．故选：A．【点睛】本题主要考查了列分式方程，解题的关键是根据题目中的等量关系式列出方程．二、填空题6．（2023·山东济南·统考一模）代数式与代数式的值相等，则______．【答案】【分析】根据代数式与代数式的值相等得到，解方程并检验即可得到答案．【详解】解：由题意得，，去分母得，，解得，，经检验是分式方程的根，故答案为：【点睛】此题考查了分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键．7．（2023春·江苏苏州·九年级校考阶段练习）有增根，则k的值为_____．【答案】【分析】先求出分式方程的解为，再根据分式方程有增根，即进行求解即可．【详解】解：去分母得：，移项得：，系数化为1得，，∵分式方程有增根，∴，即，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查了分式方程有增根的问题，正确解分式方程，并求出分式方程的增根是解题的关键．8．（2023秋·吉林·八年级校考期末）斑马线前“车让人”，不仅体现着一座城市对生命的尊重，也直接反映着城市的文明程度．如图，某路口的斑马线路段A-B-C横穿双向行驶车道，其中AB=BC=12米，在绿灯亮时，小敏共用22秒通过AC，其中通过BC的速度是通过AB速度的1.2倍，求小敏通过AB时的速度．设小敏通过AB时的速度是x米/秒，根据题意列方程为_____．【答案】【分析】设小敏通过AB时的速度是x米/秒，则通过BC的速度是1.2x米/秒，根据题意列出分式方程解答即可．【详解】解：设小敏通过AB时的速度是x米/秒，依题意可得：，故答案为：．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．9．（2023春·八年级课时练习）如果关于x的方程的解是非负数，则m的取值范围为 ___________．【答案】且【分析】解分式方程求得方程的解，利用已知条件列出不等式，解不等式即可得出结论．【详解】解：，去分母得：，去括号得：，移项，合并同类项得：，解得：．关于的方程的解的解为非负数，．解得：．分式方程有可能产生增根6，，，．综上，的取值范围是且．故答案为：且．【点睛】本题主要考查了分式方程的解，解分式方程，正确求出分式方程的解是解题的关键．10．（2023春·重庆沙坪坝·八年级重庆市凤鸣山中学校考阶段练习）若关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程的解是负数，则所有满足条件的整数的值之和是______．【答案】【分析】分别通过解一元一次不等式组和分式方程确定的取值范围，再确定所有满足条件的整数，最后求解此题结果．【详解】∵不等式组，解不等式组得，∵关于的一元一次不等式组的解集为，∴，∴，∵，解分式方程得：，∵是负数且，∴是负数且，∴且，∵且为整数，∴且，∴的值为、、、，∴所有满足条件的整数的值之和为：，故答案为：【点睛】本题考查了分式方程的解，解一元一次不等式组，正确求解分式方程和一元一次不等式组是解决问题的关键．三、解答题11．（2023春·河南周口·八年级统考阶段练习）解下列分式方程：(1) (2)【答案】(1)(2)【分析】（1）分式方程两边同时乘以去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；（2）分式方程两边同时乘以去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】（1）解：，去分母，得，去括号，得，移项、合并同类项，得，经检验是原方程的解；（2）解：，去分母，得，去括号，得，合并同类项，得，即，经检验是原方程的解．【点睛】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．12．（2023春·江苏·八年级专题练习）解方程(1) (2)【答案】(1)无解(2)【分析】（1）先去分母，把分式方程化为整式方程，再解出整式方程，然后检验，即可求解；（2）先去分母，把分式方程化为整式方程，再解出整式方程，然后检验，即可求解．【详解】（1）解：去分母得：解得：，检验：当时，，∴原方程无解；（2）解：∴去分母得：，解得：，检验：当时，，∴原方程的解为．【点睛】本题主要考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的基本步骤，并注意验根是解题的关键．13．（2023春·山东德州·九年级校考阶段练习）若关于x的方程 (1)若，解这个分式方程；(2)若原分式方程无解，求m的值．【答案】(1)(2)4或0【分析】（1）先将分式方程化为整式方程，求出解后进行检验即可；（2）将分式方程化为，根据方程无解，可得或当时，，由此可解．【详解】（1）解：当时，，两边同乘，得，整理，得，移项、合并同类项，得，解得，当时，，因此这个分式方程的解为；（2）解：方程，两边同乘，得，整理，得，移项、合并同类项，得，方程无解，或当时，，即或或，上述方程的解依次为，，无解．m的值为4或0．【点睛】本题考查解分式方程，分式方程无解问题，根据分式方程无解，得出关于m的方程是解题的关键．14．（2023春·河南周口·八年级统考阶段练习）定义一种法则“”，如下：．例如：(1)求；(2)若，求P的值．【答案】(1)0；(2)．【分析】（1）根据新定义列出算式，再进一步计算即可；（2）由，知，解之即可．【详解】（1）解：；（2）解：∵，∴，解得，经检验是方程的根．【点睛】本题主要考查有理数的混合运算和解分式方程，解题的关键是根据新定义列出算式和方程．15．（2023春·八年级课时练习）已知关于x的方程(1)当时，求方程的解；(2)当m取何值时，此方程无解；(3)当此方程的解是正数时，求m的取值范围．【答案】(1)；(2)；(3)且【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，将代入计算即可求出x的值；（2）分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，将代入计算，即可求出m的值；（3）表示出分式方程的解，由解为正数确定出m的范围即可．【详解】（1）解：分式方程去分母得：，整理得：，（1）当时，，解得：，经检验：是原方程的解；（2）解：∵分式方程无解，∴，∴，当时，，∴时该分式方程无解；（3）解：解关于x的分式方程得：，∵方程有解，且解为正数，∴ ，解得：且．【点睛】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．16．（2023秋·河北保定·八年级校考期末）甲、乙两个工程队共同承担一项筑路任务，甲队单独完成此项任务比乙队单独完成此项任务多用10天，且乙队每天的工作效率是甲队每天工作效率的1.5倍．(1)甲、乙两队单独完成此项任务需要多少天？(2)若甲、乙两队共同工作4天后，乙队因工作需要停止施工，由甲队继续施工，为了不影响工程进度，甲队的工作效率提高到原来的2倍，如果要完成任务，那么甲队再单独施工多少天？【答案】(1)甲队单独完成此项任务需要30天，乙队单独完成此项任务需要20天(2)10天【分析】（1）设乙队单独完成此项任务需要x天，则甲队单独完成此项任务需要（x+10）天，根据 “乙队每天的工作效率是甲队每天工作效率的1.5倍”找到等量关系，建立方程，求出其解即可；（2）设甲队再单独施工a天，根据甲、乙两队共同工作4天，甲队的工作效率提高到原来的2倍，利用总工作量为1，建立方程求出其解即可．【详解】（1）解：设乙队单独完成此项任务需要x天，则甲队单独完成此项任务需要（x+10）天，由题意可得： ，解得：x＝20，经检验，x＝20是原方程的解，∴x+10＝30（天），答：甲队单独完成此项任务需要30天，乙队单独完成此项任务需要20天；（2）设甲队再单独施工a天，由题意可得：，解得：a＝10，答：甲队再单独施工10天．【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，解答本题的关键是掌握工作时间×工作效率=工作总量，利用此关系等式列出分式方程．