初二数学北师大版春季班 第12讲 平行四边形--提高班 试卷

第12讲  平行四边形

知识点1：平行四边形与全等三角形

【典例】

例1（2020•启东市三模）如图，已知，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在边AB，CD上，CF＝AE，连接CE，AF．求证：△BCE≌△DAF．

【方法总结】

本题考查了平行四边形性质，平行线性质，全等三角形的性质和判定的应用，关键是求出BE＝DF．

例2（2020秋•龙凤区校级期末）已知：如图所示，在平行四边形ABCD中，DE、BF分别是∠ADC和∠ABC的角平分线，交AB、CD于点E、F，连接BD、EF．

（1）求证：BD、EF互相平分；

（2）若∠A＝60°，AE＝2EB，AD＝4，求线段BD的长．

【方法总结】

本题考查平行四边形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

【随堂练习】

1．（2020•太原二模）如图，已知▱ABCD，点E，F分别是边AD，BC上的点，且AE＝CF．分别过点B，D作BM⊥EF，DN⊥EF，垂足为点M，N．求证：BM＝DN．

2．（2020•射阳县二模）如图，在▱ABCD中，点E为BC上一点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，AD＝DF，连接DE．

（1）求证：AE平分∠BAD；

（2）若点E为BC中点，∠B＝60°，AD＝4，求▱ABCD的面积．

知识点2：平行四边形与等腰三角形

【典例】

例1（2020•宿迁二模）如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的角平分线AF交CD于点E，交BC的延长线于点F．

（1）求证：BF＝CD；

（2）连接BE，若BE⊥AF，∠BFA＝60°，BE＝4，求平行四边形ABCD的周长．

【方法总结】

本题考查了平行四边形的性质和判定，平行线的性质，解直角三角形，等边三角形的性质和判定等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．

【随堂练习】

1．（2020秋•锦江区期末）如图1，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC交BC于点E，连接ED，且ED平分∠AEC．

（1）求证：AE＝BC；

（2）如图2，过点C作CF⊥DE交DE于点F，连接AF，BF，猜想△ABF的形状并证明．

知识点3：平行四边形的动点问题

【典例】

例1（2020•顺平县一模）如图，▱ABCD中，AB＝7，BC＝5．CH⊥AB于点H，CH＝4，点P从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿DC﹣CH向点H运动，到点H停止，设点P的运动时间为t．

（1）AH＝_________；

（2）若△PBC是等腰三角形，则t的值为_________．

【方法总结】

本题考查平行四边形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．

例2（2020春•九江期末）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC＝105°，对角线AC、BD交于点O，∠DAC＝30°，AC＝4，点P从B点出发，沿着边BC、CD运动到点D停止，在点P运动过程中，若△OPC是直角三角形，则CP的长是__________________．

【方法总结】

本题考查了平行四边形的性质、含30°角的直角三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握平行四边形的性质和直角三角形的性质是解题的关键．

【随堂练习】

1．（2019春•光明区期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，BC＝8，DC＝6，AD＝10．动点P从点D出发，沿线段DA的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长的速度向点B运动，点P，Q分别从点D，C同时出发，当点P运动到点A时，点Q随之停止运动．设运动的时间为t（秒）．

（1）若四边形ABQP为平行四边形，求运动时间t．

（2）当t为何值时，三角形BPQ是以BQ或BP为底边的等腰三角形？

2．（2020秋•南关区校级期中）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠BCD＝90°，AB＝DC＝4，AD＝BC＝8．延长BC到E，使CE＝3，连接DE，由直角三角形的性质可知DE＝5．动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC﹣CD﹣DA向终点A运动，设点P运动的时间为t秒．（t＞0）

（1）当t＝3时，BP＝_________；

（2）当t＝_________时，点P运动到∠B的角平分线上；

（3）请用含t的代数式表示△ABP的面积S；

（4）当0＜t＜6时，直接写出点P到四边形ABED相邻两边距离相等时t的值．

综合运用

1．（2020春•钦州期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝12cm，BC＝15cm，点P自点A向D以1cm/s的速度运动，到D点即停止．点Q自点C向B以2cm/s的速度运动，到B点即停止，点P，Q同时出发，设运动时间为t（s）．当t＝__________s时，四边形APQB是平行四边形．

2．（2020春•清江浦区期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC且AD＝9cm，BC＝6cm，点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以1cm/s的速度由A向D运动，点Q以2cm/s的速度由C向B运动．问几秒后直线PQ将四边形ABCD截出一个平行四边形？

3．（2020秋•南宁期中）如图，△ADE和△BCF是平行四边形ABCD外的两个等边三角形，BD是对角线．

（1）求证：DE＝BF；

（2）连接BE，DF，求证四边形DEBF是平行四边形．

4．（2020秋•锦江区期末）如图1，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC交BC于点E，连接ED，且ED平分∠AEC．

（1）求证：AE＝BC；

（2）如图2，过点C作CF⊥DE交DE于点F，连接AF，BF，猜想△ABF的形状并证明．

5．（2020•吉林二模）如图，平行四边形ABCD，延长AD到点E，使DE＝AD，连接BE与DC相交于点O．求证：△BOC≌△EOD．

6．（2020春•建平县期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝12cm，BC＝15cm，点P自点A向D以1cm/s的速度运动，到D点即停止．点Q自点C向B以2cm/s的速度运动，到B点即停止，点P，Q同时出发，设运动时间为t（s）．

（1）用含t的代数式表示：

AP＝__________；DP＝__________；BQ＝__________；CQ＝__________．

（2）当t为何值时，四边形APQB是平行四边形？

（3）当t为何值时，四边形PDCQ是平行四边形？