浙教版八年级上册1.5 三角形全等的判定复习练习题

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专题09 角平分线与线段的垂直平分线结合
1．如图，在△ABC中，AF平分∠BAC，AC的垂直平分线交BC于点E，∠B=70°，∠FAE=19°，则∠C=______度．

【答案】24
【解析】
【分析】
根据角平分线和垂直平分线的性质得到角之间的关系，再利用三角形内角和180度求角.
【详解】
∵DE是AC的垂直平分线,
∴EA=EC，
∠EAC=∠C,
∴∠FAC=∠FAE+∠EAC=19°+∠EAC，
∵AF平分∠BAC，
∴∠FAB=∠FAC.
在△ABC中,∠B+∠C+∠BAC=180°所以70°+∠C+2∠FAC=180°，
∴70°+∠EAC+2×(19°+∠EAC)=180°       ，
∴∠C=∠EAC=24°，
故本题正确答案为24.
【点睛】
本题主要考查角平分线和垂直平分线的性质、三角形内角和等于180度的应用、角的概念及其计算.
2．如图，已知：∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，AB＝6，AC＝3，则BE＝_______．

【答案】
【解析】
【分析】
连接CD、BD，由∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相较于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，根据角平分线的性质与线段垂直平分线的性质，易得CD=BD，DF=DE，从而得到AF=AE，可证的Rt△CDF≌Rt△BDE，则可得BE=CF，即可得到结果．
【详解】
解：如图所示，连接CD、BD，

∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DF=DE，∠F=∠DEB=90°，∠ADF=∠ADE，
∴AE=AF，
∵DG是BC的垂直平分线，
∴CD=BD，
在Rt△CDF和Rt△BDE中

∴Rt△CDF≌Rt△BDE
∴BE=CF，
∴AB=AE+BE=AF+BE=AC+CF+BE=AC+2BE，
∵AB=6，AC=3，
∴BE=．
故答案为：
【点睛】
本题主要考查的是线段垂直平分线的性质、角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质，掌握以上知识点是解题的关键．
3．如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与AC的垂直平分线相交于点D，过点D作DF⊥BC，DG⊥AB，垂足分别为 F、G．若BG＝5，AC＝6，则△ABC 的周长是_____．

【答案】16
【解析】
【分析】
连接AD、DC．证明Rt△DGA≌Rt△DFC（HL）可得出AG＝CF，再证明Rt△BDG≌Rt△BDF（HL），得出BG＝BF，则可求出答案
【详解】
解：连接AD、DC．

∵BD平分∠ABC，DG⊥AB，DF⊥BC，
∴DG＝DF．
∵D在AC的中垂线上，
∴DA＝DC．
在Rt△DGA与Rt△DFC中，
∵DG＝DF，DA＝DC，
∴Rt△DGA≌Rt△DFC（HL）．
∴AG＝CF．
又∵BD＝BD，DG＝DF．
∴Rt△BDG≌Rt△BDF（HL）．
∴BG＝BF．
又∵AG＝CF，
∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝BG﹣AG+BF+FC+AC＝2BG+AC＝2×5+6＝16．
故答案为：16．
【点睛】
此题考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质，属于中考常考题型．
4．如图，中，，，请依据尺规作图的痕迹，计算________．

【答案】75°
【解析】
【详解】
解：，，，根据作图痕迹可得是的平分线，，根据作图痕迹可得是线段的垂直平分线，，，．
5．如图，点A为的平分线上一点，过A任意作一条直线分别与的两边相交于B、C，P为中点，过P作的垂线交射线于点D，若，则的度数为_度．

【答案】75
【解析】
【分析】
过D作DE⊥OM于E，DF⊥ON于F，求出∠EDF，根据角平分线性质求出DE＝DF，根据线段垂直平分线性质求出BD＝CD，证Rt△DEB≌Rt△DFC，求出∠EDB＝∠CDF，推出∠BDC＝∠EDF，即可得出答案．
【详解】
如图：过D作DE⊥OM于E，DF⊥ON于F，

则∠DEB＝∠DFC＝∠DFO＝90°，
∵∠MON＝105°，
∴∠EDF＝360°−90°−90°−105°＝75°，
∵DE⊥OM，DF⊥ON，OD∠MON，
∴DE＝DF，
∵P为BC中点，DP⊥BC，
∴BD＝CD，
在Rt△DEB和Rt△DFC中，
，
∴Rt△DEB≌Rt△DFC（HL），
∴∠EDB＝∠CDF，
∴∠BDC＝∠BDF＋CDF＝∠BDF＋∠EDB＝∠EDF＝75°．
故答案为：75．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线性质，线段垂直平分线性质的应用，能正确作出辅助线是解此题的关键，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，角平分线上的点到角的两边的距离相等．
6．如图，△ABC中，∠BAC的平分线与边BC的垂直平分线交于点D，过点D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，求证：BE＝CF．

【答案】证明见解析．
【解析】
【分析】
连接DB，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得BD=CD，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=DF，然后利用“HL”证明Rt△BED≌Rt△CFD，根据全等三角形对应边相等证明即可．
【详解】
证明：如图，连接BD．

∵DM是BC的垂直平分线，
∴BD＝CD．
∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF．
在Rt△BED和Rt△CFD中，
，
∴Rt△BED≌Rt△CFD(HL)．
∴BE＝CF．
【点睛】
本题考查的是全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质有关知识，能综合运用性质进行推理是解此题的关键，题目比较典型，难度适中．
7．利用网格线作图：在BC上找一点P，使点P到AB和AC的距离相等．然后，在射线AP上找一点Q，使QB＝QC．

【答案】见解析
【解析】
【分析】
根据网格特点先作出∠A的角平分线与BC的交点就是点P，再作BC的垂直平分线与AP的交点就是点Q．
【详解】
解：如图，点P就是所要求作的到AB和AC的距离相等的点，
点Q就是所要求作的使QB＝QC的点．

【点睛】
本题主要考查了利用网格结构作角的平分线，线段的垂直平分线，找出相应的点是解题的关键．
8．如图，已知∠AOB及点E、F，在∠AOB的内部求作点P，使点P到OA、OB的距离相等，且PE=PF．（请尺规作图，保留作图痕迹，并写结论）

【答案】见解析图
【解析】
【分析】
分别作∠AOB的角平分线以及线段EF的中垂线，两条线的交点即为所求．
【详解】
如图所示，先作出∠AOB的角平分线OQ，根据角平分线的性质可知，在OQ上的所有点均满足到OA、OB的距离相等，
再作线段EF的中垂线MN，根据中垂线的性质可知，MN上的所有点均满足到E，F的距离相等，
此时OQ与MN 交点，既满足到OA、OB的距离相等，也满足到E，F的距离相等，即为所求的点P．

【点睛】
本题考查角平分线及垂直平分线的画法及实际应用，理解它们的性质是解题关键．
9．如图，中，点D为AC的中点，的平分线与AC的中垂线交于点E，连接DE，过点E分别作AB、BC所在直线的垂线，垂足分别为M、N．
（1）求证：；
（2）若，，求BC的长．

【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】
【分析】
（1）先根据角平分线的性质可得，再根据直角三角形全等的判定定理即可得证；
（2）如图（见解析），先根据线段的和差可得，再根据全等三角形的性质可得，然后根据线段垂直平分线的性质可得，最后根据直角三角形全等的判定定理与性质可得，据此利用线段的和差即可得．
【详解】
（1）平分，，
，和都是直角三角形，
在和中，，
；
（2）如图，连接AE、CE，
，
，
由（1）已证：，
，
是AC的中垂线，
，
在和中，，
，
，
，
即BC的长为．

【点睛】
本题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质、直角三角形全等的判定定理与性质等知识点，较难的是题（2），通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．
10．如图，中，AD平分∠BAC，且平分BC，于E，于F．

（1）判断BE与CF的数量关系，并说明理由．
（2）如果，，求AE、BE的长．
【答案】（1）BE=CF，理由见详解；（2）AE=，BE=．
【解析】
【分析】
（1）连接BD，CD，由AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，根据角平分线的性质，可得DE=DF，又由DG⊥BC且平分BC，根据线段垂直平分线的性质，可得BD=CD，进而可证得Rt△BED≌Rt△CFD，则可得BE=CF；
（2）先证△AED≌△AFD，即可得AE=AF，然后设BE=CF =x，由AB-BE=AC+CF，即可得关于x的方程，解方程即可求得答案．
【详解】
（1）BE=CF，理由如下：
连接BD，CD，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，∠BED=∠CFD=90°，
∵DG⊥BC且平分BC，
∴BD=CD，
在Rt△BED与Rt△CFD中，
∵，
∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），
∴BE=CF；
（2）在△AED和△AFD中，
，
∴△AED≌△AFD(AAS)，
∴AE=AF，
设BE=CF=x，
∵AB=4，AC=3，AE=AB−BE，AF=AC+CF，
∴4−x=3+x，
解得：x=，
∴BE=，AE=AB−BE=4−=．

【点睛】
本题主要考查角平分线的性质定理，中垂线的性质定理以及三角形全等的判定和性质定理，添加辅助线，构造全等三角形，是解题的关键．
11．如图，△ABC中，BE平分∠ABC，E在AC垂直平分线上，EF⊥BC于F，EG⊥AB于G，

求证： （1）AG＝CF；
（2）BC﹣AB＝2FC．
【答案】见详解．
【解析】
【分析】
（1）连接AE、EC，证明RT△AGE≌RT△CFE，即可证明AG=CF．
（2）先证BG=BF，现由（1）的结论得BC-AB=BF+FC-AB=BG-AB+FC=AG+CF=2CF．
【详解】
证明：（1）如图1

连接AE、EC
∵E在AC的垂直平分线上
∴AE=CE
∵BE平分∠ABC，EF⊥BC于F，EG⊥AB于G，
∴GE=FE
在RT△AGE和RT△CFE中
∵
∴RT△AGE≌RT△CFE（斜边直角边对应相等的直角三角形全等）
∴AG＝CF．
（2）由（1）知GE=EF
在RT△BGE和RT△BFE中
∵
∴RT△BGE≌RT△BFE（斜边直角边对应相等的直角三角形全等）
∴BG=BF
∴BC-AB=BF+FC-AB
=BG-AB+FC
=GA+FC
由（1）知GA=FC代入得
BC﹣AB＝2FC．
【点睛】
本题综合考查角平分线的性质定理和垂直平分线的性质定理．本题关键是寻找条件运用“斜边直角边对应相等的直角三角形全等”证明全等．
12．如图，△ABC 中， AB=11 ， AC= 5 ，∠ BAC 的平分线 AD 与边 BC 的垂直平分线 DG 相 交于点 D ，过点 D 分别作 DE⊥AB ，DF⊥AC ，垂足分别为 E 、F，求BE的长度.

【答案】BE=3．
【解析】
【分析】
连接CD，BD，由角平分线定理得到DF=DE，∠F=∠DEB=90°，∠ADF=∠ADE，由DG是BC的垂直平分线得到CD=BD，由此证明Rt△CDF≌Rt△BDE，推出BE=CF，再根据AB=11 ， AC= 5即可求出答案.
【详解】
如图，连接CD，BD，

∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DF=DE,∠F=∠DEB=90°，∠ADF=∠ADE，
∴AE=AF，
∵DG是BC的垂直平分线，
∴CD=BD，
在Rt△CDF和Rt△BDE中，
，
∴Rt△CDF≌Rt△BDE（HL），
∴BE=CF，
∴AB=AE+BE=AF+BE=AC+CF+BE=AC+2BE，
∵AB=11，AC=5，
∴BE=×（11-5）=3．
【点睛】
此题考查线段垂直平分线的性质，三角形全等的判定及性质，角平分线性质定理的运用，此题辅助线的连接是解题的关键.
13．已知在△ABC中，∠CAB的平分线AD与BC的垂直平分线DE交于点D，DM⊥AB于M，DN⊥AC的延长线于N．

（1）证明：BM=CN；
（2）当∠BAC=70°时，求∠DCB的度数．
【答案】（1）见解析；（2）∠DCB=35°
【解析】
【分析】
（1）根据角平分线的性质和线段垂直平分线的性质可得到DM=DN，DB=DC，根据HL证明Rt△DMB≌Rt△DNC，即可得出BM=CN；
（2）由HL证明Rt△DMA≌Rt△DNA，得出∠ADM=∠ADN=55°，由于∠BDM=∠CDN，因此∠BDC=110°，因此∠EDC=55°，根据两角互余的关系即可求得∠DCB的度数．
【详解】
（1）证明：连接BD、CD，如图所示：
∵AD是∠CAB的平分线，DM⊥AB，DN⊥AC，
∴DM=DN，

∵DE垂直平分线BC，
∴DB=DC，
在Rt△DMB和Rt△DNC中，

∴Rt△DMB≌Rt△DNC(HL)，
∴BM=CN；
（2）由（1）得：∠BDM=∠CDN，
∵AD是∠CAB的平分线，DM⊥AB，DN⊥AC，
∴DM=DN，
在Rt△DMA和Rt△DNA中，

∴Rt△DMA≌Rt△DNA(HL)，
∴∠ADM=∠ADN
∵∠BAC=70°
∴∠MDN=110°，∠ADM=∠ADN=55°，
∵∠BDM=∠CDN
∴∠BDC=∠MDN=110°
∵AD是BC的垂直平分线
∴∠EDC=55°
∴∠DCB=90°-∠EDC=35°
∴∠DCB=35°
故答案为∠DCB=35°．
【点睛】
考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及全等三角形的判定与性质，熟悉角平分线的性质和线段垂直平分线的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
14．如图，已知内部有C、D．两点，要求作一点P使，且点P到两边的距离相等，用尺规作图先作_____________，再作_____________，则_____________为所求．（不写作法，保留作图痕迹．）

【答案】线段的垂直平分线，的平分线，两线的交点，见解析
【解析】
【分析】
根据线段垂直平分线和角平分线的性质求解即可．
【详解】
解：∵线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，
∴用尺规作图先 作线段CD的垂直平分线，
∵角平分线上的点到角两边的距离相等，
∴再作∠AOB的角平分线，则两线的交点即为所求；
故答案为：线段的垂直平分线，的平分线，两线的交点；

【点睛】
本题主要考查了线段垂直平分线和角平分线的性质，线段垂直平分线和角平分线的尺规作图，熟知相关知识是解题的关键．
15．如图，已知在△ABC中，AC＝6，BC＝8，AB＝10，∠BCA的平分线与AB边的垂直平分线相交于点D，DE⊥AC，DF⊥BC，DG⊥AB，垂足分别是E，F，G.
(1)求证：AE＝BF；
(2)求AE的长．

【答案】(1)证明见解析；（2）AE＝1.
【解析】
【分析】
（1）根据中垂线、角平分线的性质来证明Rt△DEA≌Rt△DFB，然后根据全等三角形的对应边相等推知AE=BF；
（2）设AE＝BF＝x，根据HL可证得Rt△CDE≌Rt△CDF，根据全等三角形对应边相等可得CE＝CF，可得关于x的方程，解方程即可得．
【详解】
(1)如图，连接AD，BD，

∵CD为∠BCA的平分线，∴∠DCE＝∠DCB，
又∵DE⊥CA，DF⊥CB，∴DE＝DF，∠AED＝∠DFB＝90°，
∵DG垂直平分AB，∴DA＝DB，
在Rt△DEA和Rt△DFB中，
，
∴Rt△DEA≌Rt△DFB，
∴AE＝BF；
(2)设AE＝BF＝x，
在Rt△CDE和Rt△CDF中，
，
∴Rt△CDE≌Rt△CDF，
∴CE＝CF，
∴6＋x＝8－x，
∴x＝1，∴AE＝1.
【点睛】
本题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．
16．尺规作图：某学校正在进行校园环境的改造工程设计，准备在校内一块四边形花坛内栽上一棵桂花树．如图，要求桂花树的位置点P，到花坛的两边AB，BC的距离相等，并且点P到点A，D的距离也相等.请用尺规作图作出栽种桂花树的位置点P（不写作法，保留作图痕迹）．

【答案】见解析
【解析】
【分析】
作出∠ABC的角平分线和线段AD的垂直平分线，即可得出栽种桂花树的位置．
【详解】
解：如图，点P即为所求．

【点睛】
本题考查学生对角平分线及线段垂直平分线的理解；用到的知识点为：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上；到一个角两边距离相等的点，在这个角的平分线上．
17．已知：如图，AD是BC的垂直平分线，于点E，于点F．求证：
（1）；
（2）．

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据垂直平分线的性质可得AB=AC，BD=CD，再根据AD为公共边，可利用三边对应相等的三角形全等证明≌；
（2）根据全等三角形的性质可得∠BAD=∠CAD，再结合DE⊥AB，DF⊥AC，可利用角平分线上的点到角两边距离相等可得DE=DF．
【详解】
证明：（1）∵AD是BC的垂直平分线，
∴AB=AC，BD=CD，
又∵AD=AD，
∴≌（SSS）
（2）∵≌
∴∠BAD=∠CAD，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF．
【点睛】
本题考查线段垂直平分线的性质定理，角平分线的性质定理，全等三角形的性质和判定．熟记角平分线上的点到角两边距离相等和线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等是解决此题的关键．