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高中数学湘教版（2019）选择性必修 第二册2.3 空间向量基本定理及坐标表示教课内容ppt课件
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这是一份高中数学湘教版（2019）选择性必修 第二册2.3 空间向量基本定理及坐标表示教课内容ppt课件，共26页。PPT课件主要包含了共面向量，问题引入，空间向量基本定理，新知讲解，即时巩固，向量共面问题，用基表示向量，所以x＋y＝0，反思感悟，跟踪训练等内容，欢迎下载使用。
1.掌握空间向量基本定理.2.会用空间向量基本定理对向量进行分解.3. 会用基底法表示空间向量.4. 掌握空间向量的正交分解及坐标表示..核心素养：数学运算、直观想象
思考 空间中的任意三个向量是不是共面的？
问题 空间中的任意三个向量，在什么情况下才共面？
思考 空间中的任意两个向量是不是共面的？
是，空间中的任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成为同一平面内的两个向量.
空间中的任意三个向量可能共面，也可能不共面.
提示：首先我们要知道共面向量的概念一般地，能平移到同一平面内的向量叫作共面向量.
共面向量定理如果两个向量e1，e2不共线，那么向量p与向量e1，e2共面的充要条件是存在有序实数组（x，y），使得p＝xe1+ye2.这就是说，向量p可以用两个不共线的向量e1，e2线性表示.
提示（1）共面向量定理中， e1与e2 是不共线的，若e1与e2共线，则不成立.（2）向量共面不具有传递性.（3）定理中的有序实数组（x，y）是唯一的.
点评共面向量定理是判定三个向量共面的依据，四点共面问题可以转化为三个向量共面问题去解决.
思考 零向量能否作为基向量？
不能. 零向量与任意两个向量a，b都共面.
1.空间向量基本定理设e1，e2，e3是空间中三个不共面向量，则空间中任意一个向量p可以分解成这三个向量的实数倍之和：p＝xe1+ye2+ze3，上述表达式中的系数x，y，z由p唯一确定，即若p＝xe1+ye2+ze3＝x′e1+y′e2+z′e3，则x＝x′，y＝y′，z＝z′.2.基与基向量如果向量e1，e2，e3是空间三个不共面的向量，那么所有的空间向量组成的集合就是{p|p＝xe1+ye2+ze3，x，y，z∈R}.这个集合可以看成是由向量e1，e2，e3生成的，这时{e1，e2，e3}叫作空间的一组基，e1，e2，e3叫作基向量，（x，y，z）称为向量p＝xe1+ye2+ze3在基{e1，e2，e3}下的坐标.
判断正误：1.只有两两垂直的三个向量才能作为空间的一个基底.( )2.若{a，b，c}为空间的一个基底，则a，b，c全不是零向量.( )3.如果向量a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底，则一定有a与b共线.( )4.对于三个不共面向量a1，a2，a3，不存在实数组(x，y，z)，使0＝xa1＋ya2＋za3.( )
三、空间向量的直角坐标表示
(2)判断M是否在平面ABC内.
而它们有共同的起点M，且A，B，C三点不共线，∴M，A，B，C共面，即M在平面ABC内.
反思感悟 解决向量共面的策略
(2)证明三个向量共面(或四点共面)，需利用共面向量定理，证明过程中要灵活进行向量的分解与合成，将其中一个向量用另外两个向量来表示.
∴e1＋2e2－e3＝λ(－3e1＋e2＋2e3)＋μ(e1＋e2－e3)＝(－3λ＋μ)e1＋(λ＋μ)e2＋(2λ－μ)e3，∵e1，e2，e3不共面，
反思感悟 基的判断思路(1)判断一组向量能否作为空间的一个基，实质是判断这三个向量是否共面，若不共面，就可以作为一个基.(2)判断基时，常常依托正方体、长方体、平行六面体、四面体等几何体，用它们从同一顶点出发的三条棱对应的向量为基，并在此基础上构造其他向量进行相关的判断.
跟踪训练 (1)设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一组基，给出下列向量组：①{a，b，x}，②{b，c，z}，③{x，y，a＋b＋c}，其中可以作为空间一组基的向量组有（ ）A.1个 B.2个C.3个 D.0个
解析 因为x＝a＋b，所以向量x，a，b共面.如图，
(2)已知空间的一组基{a，b，c}，m＝a－b＋c，n＝xa＋yb＋c，若m与n共线，则x＋y＝_____.
解析 因为m与n共线，所以xa＋yb＋c＝z(a－b＋c).
解 连接A′N(图略).
反思感悟 用基底表示向量的步骤(1)定基：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一组基.(2)找目标：用确定的基(或已知基)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果.(3)下结论：利用空间的一组基{a，b，c}可以表示出空间所有向量.表示要彻底，结果中只能含有a，b，c，不能含有其他形式的向量.
1.已知a，b，c是不共面的三个向量，则能构成空间的一组基的一组向量是（ ）A.3a，a－b，a＋2b B.2b，b－2a，b＋2a C.a，2b，b－c D.c，a＋c，a－c
解析 对于A，有3a＝2(a－b)＋a＋2b，则3a，a－b，a＋2b共面，不能作为基；同理可判断B，D中的向量共面.故选C.
解析 取PC的中点E，连接NE，
4.(多选题)已知A，B，C三点不共线，O为平面ABC外的任一点，则“点M与点A，B，C共面”的充分条件是（ ）
因为2＋(－1)＋(－1)＝0≠1,1＋1＋(－1)＝1,
由上可知，BD满足要求.
5.如图，已知▱ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠D＝60°，PA⊥平面ABCD，且PA＝6，则PC的长为________.
1.掌握空间向量基本定理.2.会用空间向量基本定理对向量进行分解.3. 会用基底法表示空间向量.4. 掌握空间向量的正交分解及坐标表示..核心素养：数学运算、直观想象
思考 空间中的任意三个向量是不是共面的？
问题 空间中的任意三个向量，在什么情况下才共面？
思考 空间中的任意两个向量是不是共面的？
是，空间中的任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成为同一平面内的两个向量.
空间中的任意三个向量可能共面，也可能不共面.
提示：首先我们要知道共面向量的概念一般地，能平移到同一平面内的向量叫作共面向量.
共面向量定理如果两个向量e1，e2不共线，那么向量p与向量e1，e2共面的充要条件是存在有序实数组（x，y），使得p＝xe1+ye2.这就是说，向量p可以用两个不共线的向量e1，e2线性表示.
提示（1）共面向量定理中， e1与e2 是不共线的，若e1与e2共线，则不成立.（2）向量共面不具有传递性.（3）定理中的有序实数组（x，y）是唯一的.
点评共面向量定理是判定三个向量共面的依据，四点共面问题可以转化为三个向量共面问题去解决.
思考 零向量能否作为基向量？
不能. 零向量与任意两个向量a，b都共面.
1.空间向量基本定理设e1，e2，e3是空间中三个不共面向量，则空间中任意一个向量p可以分解成这三个向量的实数倍之和：p＝xe1+ye2+ze3，上述表达式中的系数x，y，z由p唯一确定，即若p＝xe1+ye2+ze3＝x′e1+y′e2+z′e3，则x＝x′，y＝y′，z＝z′.2.基与基向量如果向量e1，e2，e3是空间三个不共面的向量，那么所有的空间向量组成的集合就是{p|p＝xe1+ye2+ze3，x，y，z∈R}.这个集合可以看成是由向量e1，e2，e3生成的，这时{e1，e2，e3}叫作空间的一组基，e1，e2，e3叫作基向量，（x，y，z）称为向量p＝xe1+ye2+ze3在基{e1，e2，e3}下的坐标.
判断正误：1.只有两两垂直的三个向量才能作为空间的一个基底.( )2.若{a，b，c}为空间的一个基底，则a，b，c全不是零向量.( )3.如果向量a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底，则一定有a与b共线.( )4.对于三个不共面向量a1，a2，a3，不存在实数组(x，y，z)，使0＝xa1＋ya2＋za3.( )
三、空间向量的直角坐标表示
(2)判断M是否在平面ABC内.
而它们有共同的起点M，且A，B，C三点不共线，∴M，A，B，C共面，即M在平面ABC内.
反思感悟 解决向量共面的策略
(2)证明三个向量共面(或四点共面)，需利用共面向量定理，证明过程中要灵活进行向量的分解与合成，将其中一个向量用另外两个向量来表示.
∴e1＋2e2－e3＝λ(－3e1＋e2＋2e3)＋μ(e1＋e2－e3)＝(－3λ＋μ)e1＋(λ＋μ)e2＋(2λ－μ)e3，∵e1，e2，e3不共面，
反思感悟 基的判断思路(1)判断一组向量能否作为空间的一个基，实质是判断这三个向量是否共面，若不共面，就可以作为一个基.(2)判断基时，常常依托正方体、长方体、平行六面体、四面体等几何体，用它们从同一顶点出发的三条棱对应的向量为基，并在此基础上构造其他向量进行相关的判断.
跟踪训练 (1)设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一组基，给出下列向量组：①{a，b，x}，②{b，c，z}，③{x，y，a＋b＋c}，其中可以作为空间一组基的向量组有（ ）A.1个 B.2个C.3个 D.0个
解析 因为x＝a＋b，所以向量x，a，b共面.如图，
(2)已知空间的一组基{a，b，c}，m＝a－b＋c，n＝xa＋yb＋c，若m与n共线，则x＋y＝_____.
解析 因为m与n共线，所以xa＋yb＋c＝z(a－b＋c).
解 连接A′N(图略).
反思感悟 用基底表示向量的步骤(1)定基：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一组基.(2)找目标：用确定的基(或已知基)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果.(3)下结论：利用空间的一组基{a，b，c}可以表示出空间所有向量.表示要彻底，结果中只能含有a，b，c，不能含有其他形式的向量.
1.已知a，b，c是不共面的三个向量，则能构成空间的一组基的一组向量是（ ）A.3a，a－b，a＋2b B.2b，b－2a，b＋2a C.a，2b，b－c D.c，a＋c，a－c
解析 对于A，有3a＝2(a－b)＋a＋2b，则3a，a－b，a＋2b共面，不能作为基；同理可判断B，D中的向量共面.故选C.
解析 取PC的中点E，连接NE，
4.(多选题)已知A，B，C三点不共线，O为平面ABC外的任一点，则“点M与点A，B，C共面”的充分条件是（ ）
因为2＋(－1)＋(－1)＝0≠1,1＋1＋(－1)＝1,
由上可知，BD满足要求.
5.如图，已知▱ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠D＝60°，PA⊥平面ABCD，且PA＝6，则PC的长为________.
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