选择性必修 第二册2.3 空间向量基本定理及坐标表示优秀复习练习题

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1．在空间直角坐标系中，若，，则点的坐标为
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设，则，所以，，．点的坐标为．即故选D．
2．已知的三个顶点坐标分别为，，，则的重心坐标为
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由三角形的重心坐标公式得，的重心坐标为，
即．故选B．
3．在平行六面体中，与的交点为点，设，，，则
下列向量中与相等的向量是
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】．故选C．
4．在标准正交基下，已知向量，，，则向量
在上的投影为
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，
所以在上的投影为．故选A．
5．若向量在空间的的一组基下的坐标是，则在基下的坐标是
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为在基底下的坐标是，所以．
设在基底下的坐标为，则
．
因此，所以，即．
即设在基底下的坐标为．故选C．
6．（多选）关于空间向量，以下说法正确的是
A．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面
B．已知，则，与任何向量都不构成空间的一组基
C．若，，不构成空间的一组基，那么空间四点，，，共面；
D．设是空间的一组基，则也是空间的一组基
【答案】ACD
【解析】根据共线向量的概念，可知空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面，故选项正确；当时，若与、不共面，则、、可构成空间的一个基底，故选项B错误；
若、、不构成空间的一个基底，则、、这个向量在同一平面内，故、、、共面，故选项C正确；
由是空间中的一组基底，则向量不共面，可得向量也不共面，所以也是空间中的一组基底，故选项D正确；故选ACD．
二．填空题．
7．已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为，，，则顶点的
坐标为 ．
【答案】
【解析】因为，且，所以．
8．已知在标准正交基下，，，则 ．
【答案】
【解析】因为，
所以，所以．
9．在四面体中，空间的一点满足，若，，共面，则
．
【答案】
【解析】（解法一）由题意，
，，
因为，，共面，
所以存在实数唯一实数对，使得，
即，
所以，解得．
（解法二）由四点共线的充要条件可得，，即．
10．已知单位向量两两的夹角均为（，且），若空间向量满足，
则有序实数组称为向量在“仿射”坐标系（O为坐标原点）下的“仿射”坐标，记作．若，，，则三棱锥的表面积为 ．
【答案】
【解析】由已知可知三棱锥为正四面体，棱长为，其表面积为．
三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
11．如图，在四面体ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点．
（1）求证：平面EFGH；
（2）设M是EG和FH的交点，
求证：对空间任意一点O，有．
【答案】证明详见解析．
【解析】（1）因为E，H分别是AB，AD的中点，
所以，所以，所以，
因为平面，平面，所以平面．
（2）由（1）知四边形EFGH为平行四边形，所以为EG中点，
因为E，G分别是AB，CD的中点，
所以．
12．已知是空间的一组基，且，，，
．
（1）能否构成空间的一组基？若能，试用这一组基向量表示；若不能，请说明理由．
（2）判断，，，四点是否共面．
【答案】（1）可以构成空间的一组基；（2），，，四点不共面．
【解析】（1）假设向量，，共面，则存在实数，，使，
即，
所以，方程组无解，所以向量，，不共面，
因此可以构成空间的一组基．
令，，，
（解法一）由，得，
所以．
（解法二）令，即，
所以，解得，所以．
（2）假设，，，四点共面，则存在实数，，，使，且．
由（1）可知，所以，，，四点不共面．