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高中数学湘教版（2019）选择性必修 第二册2.2 空间向量及其运算完美版ppt课件
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这是一份高中数学湘教版（2019）选择性必修 第二册2.2 空间向量及其运算完美版ppt课件，共27页。PPT课件主要包含了新知讲解，投影向量，即时巩固，数量积的计算，反思感悟，随堂小测等内容，欢迎下载使用。
1.会识别空间向量的夹角.2.掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律及计算方法.3.能用空间向量数量积解决简单的立体几何问题.核心素养：数学运算、逻辑推理、直观想象
思考 空间中的任意两个向量是不是共面的？
是，空间中的任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成为同一平面内的两个向量.
(2)范围： .
规定 零向量与任意向量垂直.
二 、两个向量的数量积
三 、空间向量数量积运算律
（1） （2） （3）
解读：向量b在向量a方向上的投影|b|cs〈a，b〉的符号由夹角〈a，b〉的余弦值的符号决定.
＝cs 60°－cs 60°＝0.
跟踪训练 (1)已知a＝3p－2q，b＝p＋q，p和q是相互垂直的单位向量，则a·b等于（ ）A.1 B.2C.3 D.4
＝4－0＋0－2＝2.
二、利用数量积证明垂直问题
例2 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，G为CC1的中点，求证：A1O⊥平面GBD.
则a·b＝0，b·c＝0，a·c＝0，|a|＝|b|＝|c|.
又∵OG∩BD＝O，OG⊂平面GBD，BD⊂平面GBD，∴A1O⊥平面GBD.
反思感悟 用向量法证明几何中垂直关系问题的思路(1)要证两直线垂直，可分别构造与两直线平行的向量，只要证明这两个向量的数量积为0即可.(2)用向量法证明线面垂直，需将线面垂直转化为线线垂直，然后利用向量数量积证明线线垂直即可.
跟踪训练 如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB＝60°，AB＝2AD，PD⊥底面ABCD.求证：PA⊥BD.
证明 在△ADB中，∠DAB＝60°，AB＝2AD，
所以AD2＋BD2＝AB2，
三、用数量积求解夹角和模
例3 如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，点N为AA1的中点.
2.(变条件)本例中，若CA＝CB＝AA1＝1，其他条件不变，求异面直线CA1与AB的夹角.
所以异面直线CA1与AB的夹角为60°.
A.30° B.60°C.90° D.120°
1.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列各组向量的夹角为45°的是（ ）
2.设ABCD－A1B1C1D1是棱长为a的正方体，则有（ ）
4.若a，b，c为空间两两夹角都是60°的三个单位向量，则|a－b＋2c|＝_____.
解析 |a－b＋2c|2＝(a－b＋2c)2＝a2＋b2＋4c2－2a·b＋4a·c－4b·c＝5.
即△PA1D为等边三角形，从而∠PA1D＝60°，
方法二 根据向量的线性运算可得
7.如图所示，已知线段AB在平面α内，线段AC⊥α，线段BD⊥AB，且AB＝7，AC＝BD＝24，线段BD与α所成的角为30°，求CD的长.
解 由AC⊥α，可知AC⊥AB，过点D作DD1⊥α，D1为垂足，连接BD1，则∠DBD1为BD与α所成的角，即∠DBD1＝30°，所以∠BDD1＝60°，因为AC⊥α，DD1⊥α，所以AC∥DD1，
因为BD⊥AB，AC⊥AB，
＝242＋72＋242＋2×24×24×cs 120°＝625，
1.会识别空间向量的夹角.2.掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律及计算方法.3.能用空间向量数量积解决简单的立体几何问题.核心素养：数学运算、逻辑推理、直观想象
思考 空间中的任意两个向量是不是共面的？
是，空间中的任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成为同一平面内的两个向量.
(2)范围： .
规定 零向量与任意向量垂直.
二 、两个向量的数量积
三 、空间向量数量积运算律
（1） （2） （3）
解读：向量b在向量a方向上的投影|b|cs〈a，b〉的符号由夹角〈a，b〉的余弦值的符号决定.
＝cs 60°－cs 60°＝0.
跟踪训练 (1)已知a＝3p－2q，b＝p＋q，p和q是相互垂直的单位向量，则a·b等于（ ）A.1 B.2C.3 D.4
＝4－0＋0－2＝2.
二、利用数量积证明垂直问题
例2 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，G为CC1的中点，求证：A1O⊥平面GBD.
则a·b＝0，b·c＝0，a·c＝0，|a|＝|b|＝|c|.
又∵OG∩BD＝O，OG⊂平面GBD，BD⊂平面GBD，∴A1O⊥平面GBD.
反思感悟 用向量法证明几何中垂直关系问题的思路(1)要证两直线垂直，可分别构造与两直线平行的向量，只要证明这两个向量的数量积为0即可.(2)用向量法证明线面垂直，需将线面垂直转化为线线垂直，然后利用向量数量积证明线线垂直即可.
跟踪训练 如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB＝60°，AB＝2AD，PD⊥底面ABCD.求证：PA⊥BD.
证明 在△ADB中，∠DAB＝60°，AB＝2AD，
所以AD2＋BD2＝AB2，
三、用数量积求解夹角和模
例3 如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，点N为AA1的中点.
2.(变条件)本例中，若CA＝CB＝AA1＝1，其他条件不变，求异面直线CA1与AB的夹角.
所以异面直线CA1与AB的夹角为60°.
A.30° B.60°C.90° D.120°
1.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列各组向量的夹角为45°的是（ ）
2.设ABCD－A1B1C1D1是棱长为a的正方体，则有（ ）
4.若a，b，c为空间两两夹角都是60°的三个单位向量，则|a－b＋2c|＝_____.
解析 |a－b＋2c|2＝(a－b＋2c)2＝a2＋b2＋4c2－2a·b＋4a·c－4b·c＝5.
即△PA1D为等边三角形，从而∠PA1D＝60°，
方法二 根据向量的线性运算可得
7.如图所示，已知线段AB在平面α内，线段AC⊥α，线段BD⊥AB，且AB＝7，AC＝BD＝24，线段BD与α所成的角为30°，求CD的长.
解 由AC⊥α，可知AC⊥AB，过点D作DD1⊥α，D1为垂足，连接BD1，则∠DBD1为BD与α所成的角，即∠DBD1＝30°，所以∠BDD1＝60°，因为AC⊥α，DD1⊥α，所以AC∥DD1，
因为BD⊥AB，AC⊥AB，
＝242＋72＋242＋2×24×24×cs 120°＝625，
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