高中数学新教材必修第一册 第5章 5.1.1　任意角课件PPT

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高中数学新教材 同步课件（必修第一册）5.1.1　任意角第五章　§5.1　任意角和弧度制1.了解任意角的概念，区分正角、负角与零角.2.了解象限角的概念，理解并掌握终边相同的角的概念，能写出 终边相同的角所组成的集合.3.利用象限角和终边相同角的概念解决简单的问题.学习目标同学们，钟表是帮助我们掌握时间的好帮手，生活中我们经常听到时钟慢了5分钟，或时钟快了30分钟，应该如何校准？再比如，我们一节课45分钟，时针、分针以及秒针分别旋转了多少度？再比如在体操、花样游泳、跳水等项目中，我们也常常听到“前空翻转体540度”“后空翻转体720度”等这样的解说，这些问题都和角度是分不开的，为了研究这些问题，我们开始今天的新课.导语随堂演练课时对点练一、任意角的概念二、象限角三、终边相同的角内容索引四、区域角以及终边在已知直线上的角的表示一、任意角的概念问题1　在初中是如何定义角的？角的范围是多少？提示　角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形，角的范围是0°～360°.当然，我们还学习过锐角、直角、钝角、平角和周角，我们现在要研究的问题是这条射线旋转的方向问题、大小问题，还有是否可以任意旋转的问题.1.角的概念角可以看成平面内一条 绕着它的端点 所成的 .2.角的表示如图所示，角α可记为“α”或“∠α”或“∠AOB”，始边： ，终边： ，顶点： .射线旋转图形OAOBO3.角的分类逆时针顺时针没有4.任意角我们把角的概念推广到了 ，包括 、 和 .5.相反角我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角，角α的相反角记为 .任意角正角负角零角－α例1　若手表时针走过4小时，则时针转过的角度为A.120° B.－120° C.－60° D.60°解析　由于时针是顺时针旋转，故时针转过的角度为负数，√反思感悟　正确理解锐角、直角、钝角、平角、周角等概念，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小.逆时针旋转形成一个正角，顺时针旋转形成一个负角.正角与负角是表示具有相反意义的旋转量，它的正负规定纯属习惯，就好象正数和负数的规定一样.跟踪训练1　经过2个小时，钟表的时针和分针转过的角度分别是A.60°，720° B.－60°，－720°C.－30°，－360° D.－60°，720°解析　钟表的时针和分针都是顺时针旋转，因此转过的角度都是负的，而 ×360°＝60°，2×360°＝720°，故钟表的时针和分针转过的角度分别是－60°，－720°.√二、象限角问题2　现在，我们把角的概念推广到了任意角，如何更形象的表示一个角？提示　我们通常在直角坐标系内讨论角，为了方便，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角.注意点：(1)锐角是第一象限角，钝角是第二象限角，直角的终边在坐标轴上，它不属于任何一个象限；(2)每一个象限都有正角和负角；(3)无法比较哪一个象限角的大小.例2　在①160°；②480°；③－960°；④1 530°这四个角中，属于第二象限角的是A.① B.①② C.①②③ D.①②③④解析　①160°很显然是第二象限角；②480°＝120°＋360°是第二象限角；③－960°＝－3×360°＋120°是第二象限角；④1 530°＝4×360°＋90°不是第二象限角，故选C.√反思感悟　正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念的关系，需要掌握判断结论正确与否的技巧，判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需举一个反例即可.跟踪训练2　(多选)下列叙述不正确的是A.三角形的内角是第一象限角或第二象限角B.钝角是第二象限角C.第二象限角比第一象限角大D.小于180°的角是钝角、直角或锐角解析　直角不属于任何一个象限，故A不正确；钝角是大于90°小于180°的角，是第二象限角，故B正确；由于120°是第二象限角，390°是第一象限角，120°<390°，故C不正确；由于零角和负角也小于180°，故D不正确.√√√三、终边相同的角问题3　给定一个角，它的终边是否唯一？若两角的终边相同，那么这两个角相等吗？提示　给定一个角，它的终边唯一；两角终边相同，这两个角不一定相等，比如30°的终边和390°的终边相同，它们正好相差了360°的整数倍.终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和.例3　已知α＝－1 845°，在与α终边相同的角中，求满足下列条件的角.(1)最小的正角；解　因为－1 845°＝－45°＋(－5)×360°，即－1 845°角与－45°角的终边相同，所以与角α终边相同的角的集合是{β|β＝－45°＋k·360°，k∈Z}，最小的正角为315°.(2)最大的负角；解　最大的负角为－45°.(3)－360°～720°之间的角.解　－360°～720°之间的角分别是－45°，315°，675°.反思感悟　终边相同的角的表示(1)终边相同的角都可以表示成α＋k·360°(k∈Z)的形式.(2)终边相同的角相差360°的整数倍.跟踪训练3　(1)下列角的终边与－53°角的终边在同一直线上的是A.－37° B.53° C.233° D.127°解析　与－53°角的终边在同一直线上的角可表示为－53°＋k·180°，k∈Z，当k＝1时，－53°＋180°＝127°.√(2)若角2α与240°角的终边相同，则α等于A.120°＋k·360°，k∈Z B.120°＋k·180°，k∈ZC.240°＋k·360°，k∈Z D.240°＋k·180°，k∈Z解析　角2α与240°角的终边相同，则2α＝240°＋k·360°，k∈Z，则α＝120°＋k·180°，k∈Z.√四、区域角以及终边在已知直线上的角的表示例4　已知角α的终边在图中阴影部分内，试指出角α的取值范围.解　终边在30°角的终边所在直线上的角的集合为S1＝{α|α＝30°＋k·180°，k∈Z}，终边在180°－75°＝105°角的终边所在直线上的角的集合为S2＝{α|α＝105°＋k·180°，k∈Z}，因此，终边在图中阴影部分内的角α的取值范围为{α|30°＋k·180°≤ α<105°＋k·180°，k∈Z}.反思感悟　(1)象限角的判定方法①根据图象判定.利用图象实际操作时，依据是终边相同的角的思想，因为0°～360°之间的角与坐标系中的射线可建立一一对应的关系.②将角转化到0°～360°范围内.在直角坐标平面内，在0°～360°之间没有两个角终边是相同的.(2)表示区域角的三个步骤第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界.第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α